Связка модулей - Википедия - Sheaf of modules

В математике пучок О-модули или просто О-модуль через окольцованное пространство (Икс, О) это пучок F так что для любого открытого подмножества U из Икс, F(U) является О(U) -модуль и отображения ограничений F(U) → F(V) совместимы с ограничительными отображениями О(U) → О(V): ограничение фс это ограничение ж раз, что из s для любого ж в О(U) и s в F(U).

Стандартный случай - когда Икс это схема и О его структура связка. Если О это постоянная связка , затем пачка О-модули - это то же самое, что пучок абелевых групп (т. е. абелева связка).

Если Икс это простой спектр кольца р, то любой р-модуль определяет ОИкс-модуль (называемый связанный пучок) естественным образом. Аналогично, если р это градуированное кольцо и Икс это Проект из р, то любой оцениваемый модуль определяет ОИкс-модуль естественным образом. О-модули, возникающие таким образом, являются примерами квазикогерентные пучки, и фактически на аффинных или проективных схемах все квазикогерентные пучки получаются таким образом.

Пучки модулей над окольцованным пространством образуют абелева категория.[1] Кроме того, в этой категории достаточно инъекций,[2] и, следовательно, можно определить и определяет когомологии пучков как яправый производный функтор из функтор глобального раздела .[3]

Примеры

Операции

Позволять (Икс, О) - окольцованное пространство. Если F и грамм находятся О-модули, то их тензорное произведение, обозначаемое

или же ,

это О-модуль, который является связкой, связанной с предпучком (Чтобы увидеть, что связки нельзя избежать, вычислите глобальные разделы куда О(1) есть Скручивающаяся связка Серра на проективном пространстве.)

Аналогично, если F и грамм находятся О-модули, затем

обозначает О-модуль, являющийся пучком .[4] В частности, О-модуль

называется двойной модуль из F и обозначается . Примечание: для любого О-модули E, F, существует канонический гомоморфизм

,

который является изоморфизмом, если E это локально свободная связка конечного ранга. В частности, если L локально не имеет ранга один (такой L называется обратимая связка или линейный пакет ),[5] тогда это гласит:

из которых следует, что классы изоморфизма обратимых пучков образуют группу. Эта группа называется Группа Пикард из Икс и канонически отождествляется с первой группой когомологий (стандартным аргументом с Когомологии Чеха ).

Если E является локально свободным пучком конечного ранга, то существует О-линейная карта дано парой; это называется карта трассировки из E.

Для любого О-модуль F, то тензорная алгебра, внешняя алгебра и симметрическая алгебра из F определяются таким же образом. Например, k-я внешняя мощность

связка связанная с предпучком . Если F локально свободен от ранга п, тогда называется детерминантный линейный пучок (хотя технически обратимая связка ) из F, обозначаемый det (F). Возникает естественное идеальное сочетание:

Позволять ж: (Икс, О) →(Икс', О') - морфизм окольцованных пространств. Если F является О-модуль, затем связка прямого изображения является О'-модуль по естественной карте О'ж*О (такое естественное отображение является частью данных морфизма окольцованных пространств.)

Если грамм является О'-модуль, то прообраз модуля из грамм это О-модуль задан как тензорное произведение модулей:

куда это связка обратного изображения из грамм и получается из к постановление.

Между и : для любого О-модуль F и О '-модуль грамм,

как абелева группа. Также есть формула проекции: для О-модуль F и локально бесплатный О '-модуль E конечного ранга,

Характеристики

Позволять (Икс, О) - окольцованное пространство. An О-модуль F как говорят генерируется глобальными разделами если есть сюрприз О-модули:

.

Явно это означает, что есть глобальные разделы sя из F такие, что изображения sя в каждом стебле FИкс генерирует FИкс в качестве ОИкс-модуль.

Примером такого пучка является связка, связанная с алгебраическая геометрия для р-модуль M, р быть любым коммутативное кольцо, на спектр кольца Спецификация(рДругой пример: согласно Теорема Картана A, любой связный пучок на Многообразие Штейна охватывает глобальные разделы. (см. теорему Серра А ниже.) В теории схемы, родственное понятие обильная линейка. (Например, если L представляет собой обширный линейный пучок, некоторая его мощность создается глобальными секциями.)

Инъекционный О-модуль фляга (т.е. все ограничения отображаются F(U) → F(V) сюръективны.)[6] Поскольку плоский пучок ацикличен в категории абелевых пучков, отсюда следует, что я-й правый производный функтор от функтора глобального сечения в категории О-модулей совпадает с обычными яКогомологии -го пучка в категории абелевых пучков.[7]

Связка связанная с модулем

Позволять M быть модулем над кольцом А. Положить Икс = Спецификация А и писать . Для каждой пары , по универсальному свойству локализации существует естественная карта

имея свойство, которое . потом

- контравариантный функтор из категории, объектами которой являются множества D(ж) и морфизирует включения множеств в категория абелевых групп. Можно показать[8] это на самом деле B-связка (т. е. удовлетворяет аксиоме склейки) и тем самым определяет пучок на Икс называется связкой, связанной с M.

Самый простой пример - структурный пучок на Икс; т.е. . Более того, имеет структуру -модуль и, таким образом, точный функтор из модаА, то категория модулей над А в категорию модулей над . Он определяет эквивалентность ModА в категорию квазикогерентные пучки на Икс, с обратным , то функтор глобального раздела. Когда Икс является Нётерян, функтор является эквивалентностью из категории конечно порожденных А-модули в категорию когерентных пучков на Икс.

Конструкция обладает следующими свойствами: для любых А-модули M, N,

  • .[9]
  • Для любого первоклассного идеала п из А, в качестве Оп = Ап-модуль.
  • .[10]
  • Если M является конечно представленный, .[10]
  • , поскольку эквивалентность ModА и категория квазикогерентных пучков на Икс.
  • ;[11] в частности, взяв прямую сумму и ~ коммутируют.

Связка, связанная с градуированным модулем

Есть градуированный аналог конструкции и эквивалентности из предыдущего раздела. Позволять р - градуированное кольцо, порожденное элементами степени один при р0-алгебра (р0 означает кусок нулевой степени) и M оцененный р-модуль. Позволять Икс быть Проект из р (так Икс это проективная схема если р является нётерским). Тогда есть О-модуль такое, что для любого однородного элемента ж положительной степени р, существует естественный изоморфизм

как пучки модулей на аффинной схеме ;[12] на самом деле это определяет приклеиванием.

Пример: Позволять р(1) быть оцененным р-модуль предоставлен р(1)п = рп+1. потом называется Скручивающаяся связка Серра, который является двойником пучок тавтологических линий если р конечно порожден в степени один.

Если F является О-модуль на Икс, затем, написав , существует канонический гомоморфизм:

,

который является изоморфизмом тогда и только тогда, когда F квазикогерентен.

Вычисление когомологий пучков

Когомологии пучков известны тем, что их трудно вычислить. По этой причине следующий общий факт является фундаментальным для любых практических вычислений:

Теорема — Позволять Икс быть топологическим пространством, F на нем абелев сноп и открытая крышка Икс такой, что для любого я, п и в . Тогда для любого я,

где правая часть - это яКогомологии Чеха.

Теорема Серра A заявляет, что если Икс является проективным многообразием и F связный пучок на нем, то для достаточно больших п, F(п) порождается конечным числом глобальных секций. Более того,

а) Для каждого я, Hя(Икс, F) конечно порождена над р0, и
(б) (Теорема Серра B ) Есть целое число п0, в зависимости от F, так что
.

Расширение связки

Позволять (Икс, О) - окольцованное пространство, и пусть F, ЧАС быть снопами О-модули на Икс. An расширение из ЧАС к F это короткая точная последовательность из О-модули

Как и в случае с расширениями группы, если мы исправим F и ЧАС, то все классы эквивалентности расширений ЧАС к F для мужчин абелева группа (ср. Сумма Бэра ), который изоморфен Внешняя группа , где элемент идентичности в соответствует тривиальному расширению.

В случае, когда ЧАС является О, у нас есть: для любого я ≥ 0,

поскольку обе стороны являются правыми производными функторами одного и того же функтора

Примечание: Некоторые авторы, особенно Хартшорн, опускают нижний индекс О.

Предполагать Икс является проективной схемой над нётеровым кольцом. Позволять F, грамм быть связными пучками на Икс и я целое число. Тогда существует п0 такой, что

.[13]

Локально бесплатные разрешения

легко вычисляется для любого когерентного пучка используя локально свободное разрешение[14]: учитывая комплекс

тогда

следовательно

Примеры

Гиперповерхность

Рассмотрим гладкую гиперповерхность степени . Затем мы можем вычислить разрешение

и найди это

Союз гладких полных пересечений

Рассмотрим схему

куда является гладким полным пересечением и , . У нас есть комплекс

разрешение который мы можем использовать для вычисления .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Вакиль, Math 216: Основы алгебраической геометрии, 2.5.
  2. ^ Hartshorne, Гл. III, предложение 2.2.
  3. ^ Этот функтор когомологий совпадает с правым производным функтором глобального функтора сечения в категории абелевых пучков; ср. Hartshorne, Гл. III, предложение 2.6.
  4. ^ Есть канонический гомоморфизм:
    который является изоморфизмом, если F имеет конечное представление (EGA, Ch. 0, 5.2.6.)
  5. ^ Для когерентных пучков наличие тензорного инверсного равносильно локальному отсутствию ранга один; на самом деле есть следующий факт: если и если F когерентно, то F, грамм локально свободны от первого ранга. (см. EGA, Глава 0, 5.4.3.)
  6. ^ Hartshorne, Гл III, лемма 2.4.
  7. ^ смотрите также: https://math.stackexchange.com/q/447234
  8. ^ Hartshorne, Гл. II, предложение 5.1.
  9. ^ EGA I, Гл. I, предложение 1.3.6.
  10. ^ а б EGA I, Гл. Я, Corollaire 1.3.12.
  11. ^ EGA I, Гл. Я, Corollaire 1.3.9.
  12. ^ Hartshorne, Гл. II, предложение 5.11.
  13. ^ Hartshorne, Гл. III, предложение 6.9.
  14. ^ Хартсхорн, Робин. Алгебраическая геометрия. С. 233–235.

Рекомендации