Широкий линейный комплект - Ample line bundle

В математике отличительной чертой алгебраическая геометрия это некоторые линейные пакеты на проективное разнообразие могут считаться «положительными», а другие - «отрицательными» (или их смесью). Самым важным понятием позитивности является понятие обильная линейка, хотя существует несколько связанных классов линейных связок. Грубо говоря, свойства положительности линейного расслоения связаны с наличием множества глобальных разделы. Понимание множества линейных связок для данного сорта Икс сводится к пониманию различных способов отображения Икс в проективное пространство. Ввиду соответствия линейных пучков и делители (построен из коразмерность -1 подмногообразия) существует эквивалентное понятие обильный делитель.

Более подробно линейный пучок называется без базовых точек если в нем достаточно разделов, чтобы дать морфизм в проективное пространство. Линейный пакет полуобъятный если некоторая его положительная сила не содержит базовых точек; полуобобильность - это своего рода «неотрицательность». Более того, линейный пакет на Икс является очень обильный если в нем достаточно разделов, чтобы дать закрытое погружение (или «встраивание») Икс в проективное пространство. Линейный пакет обильный если какой-то положительной силы очень много.

Обильное линейное расслоение на проективном многообразии Икс имеет положительную степень по каждому изгиб в Икс. Обратное не совсем верно, но есть исправленные версии обратного, критериев полноты Накаи – Мойшезона и Клеймана.

Вступление

Откат линейного расслоения и делители гиперплоскостей

Учитывая морфизм ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ из схемы, а векторный набор E на Y (или в более общем смысле связный пучок на Y) имеет откат к Икс, ${ displaystyle f ^ {*} E}$ (видеть Связка модулей # Операции ). Обратный вызов векторного расслоения - это векторное расслоение того же ранга. В частности, откат линейного пучка - это линейный пучок. (Вкратце, волокно ${ displaystyle f ^ {*} E}$ в какой-то момент Икс в Икс это волокно E в ж(Икс).)

Описанные в статье понятия связаны с этой конструкцией в случае морфизма в проективное пространство

${ displaystyle f двоеточие X to mathbb {P} ^ {n},}$

с E = О(1) линейное расслоение на проективном пространстве чьи глобальные разделы являются однородные многочлены степени 1 (т. е. линейные функции) от переменных ${ displaystyle x_ {0}, ldots, x_ {n}}$. Линейный комплект О(1) также можно описать как линейный пучок, связанный с гиперплоскость в ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ (потому что нулевой набор секции О(1) - гиперплоскость). Если ж является закрытым погружением, например, следует, что откат ${ displaystyle f ^ {*} О (1)}$ это линейный пучок на Икс связанный с гиперплоскостью сечения (пересечение Икс с гиперплоскостью в ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$).

Пакеты линий без базовых точек

Позволять Икс быть схемой над поле k (например, алгебраическое многообразие) с линейным расслоением L. (Линейный пакет также можно назвать обратимая связка.) Позволять ${ displaystyle a_ {0}, ..., a_ {n}}$ быть элементами k-векторное пространство ${ displaystyle H ^ {0} (X, L)}$ из глобальные разделы из L. Нулевой набор каждой секции представляет собой замкнутое подмножество Икс; позволять U - открытое подмножество точек, в которых хотя бы одна из ${ displaystyle a_ {0}, ldots, a_ {n}}$ не равно нулю. Тогда эти секции определяют морфизм

${ displaystyle f двоеточие U to mathbb {P} _ {k} ^ {n}, x mapsto [a_ {0} (x), ldots, a_ {n} (x)].}$

Подробнее: по каждой точке Икс из U, волокно L над Икс - одномерное векторное пространство над полем вычетов k(Икс). Выбор основы для этого волокна делает ${ Displaystyle а_ {0} (х), ldots, а_ {п} (х)}$ в последовательность п+1 числа, не все ноль, и, следовательно, точка в проективном пространстве. При изменении выбора базиса все числа масштабируются на одну и ту же ненулевую константу, поэтому точка в проективном пространстве не зависит от выбора.

Более того, этот морфизм обладает тем свойством, что ограничение L к U изоморфен откату ${ displaystyle f ^ {*} О (1)}$.^[1]

В базовый локус линейного пучка L по схеме Икс является пересечением нулевых множеств всех глобальных сечений L. Линейный пакет L называется без базовых точек если его базовый локус пуст. То есть за каждую точку Икс из Икс есть глобальный раздел L которая отлична от нуля при Икс. Если Икс является правильный над полем k, то векторное пространство ${ displaystyle H ^ {0} (X, L)}$ глобальных сечений имеет конечную размерность; размер называется ${ displaystyle h ^ {0} (X, L)}$.^[2] Итак, линейный пакет без базовых точек L определяет морфизм ${ displaystyle f двоеточие X to mathbb {P} ^ {n}}$ над k, куда ${ Displaystyle п = час ^ {0} (X, L) -1}$, задаваемого выбором основы для ${ displaystyle H ^ {0} (X, L)}$. Не делая выбора, это можно описать как морфизм

${ Displaystyle е двоеточие X к mathbb {P} (H ^ {0} (X, L))}$

из Икс в пространство гиперплоскостей в ${ displaystyle H ^ {0} (X, L)}$, канонически связанный с линейным пучком без базовых точек L. Этот морфизм обладает тем свойством, что L это откат ${ displaystyle f ^ {*} О (1)}$.

Наоборот, для любого морфизма ж из схемы Икс в проективное пространство ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ над k, пучок линии отката ${ displaystyle f ^ {*} О (1)}$ не содержит базовых точек. В самом деле, О(1) не содержит базовых точек на ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$, потому что для каждой точки у в ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ есть гиперплоскость, не содержащая у. Следовательно, для каждой точки Икс в Икс, есть раздел s из О(1) более ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ это не ноль в ж(Икс), и откат s это глобальный раздел ${ displaystyle f ^ {*} О (1)}$ это не ноль в Икс. Короче говоря, линейные пакеты без базовых точек - это именно те, которые можно выразить как откат О(1) некоторым морфизмом в проективное пространство.

Nef, глобально генерируемый, полуобильный

В степень линейного пучка L на правильной кривой C над k определяется как степень дивизора (s) любого ненулевого рационального сечения s из L. Коэффициенты этого дивизора положительны в точках, где s исчезает и отрицательно, где s есть шест. Следовательно, любой линейный пучок L на кривой C такой, что ${ displaystyle H ^ {0} (C, L) neq 0}$ имеет неотрицательную степень (поскольку разделы L над C, в отличие от рациональных участков, полюсов не имеют).^[3] В частности, любое линейное расслоение без базовых точек на кривой имеет неотрицательную степень. В результате линейный пучок без базовых точек L по любой правильной схеме Икс над полем неф, означающий, что L имеет неотрицательную степень на каждой (неприводимой) кривой в Икс.^[4]

В общем, связка F из ${ displaystyle O_ {X}}$-модули на схеме Икс как говорят глобально созданный если есть набор я глобальных разделов ${ displaystyle s_ {i} in H ^ {0} (X, F)}$ такой, что соответствующий морфизм

${ displaystyle bigoplus _ {я in I} O_ {X} to F}$

пучков сюръективно.^[5] Линейный пакет генерируется глобально тогда и только тогда, когда он не содержит базовых точек.

Например, каждый квазикогерентный пучок на аффинная схема генерируется глобально.^[6] Аналогично в сложная геометрия, Теорема Картана A говорит, что каждая связная связка на Многообразие Штейна генерируется глобально.

Линейный пакет L на правильной схеме над полем полуобъятный если есть положительное целое число р так что тензорная мощность ${ displaystyle L ^ { otimes r}}$ не содержит базовых точек. Полуобильное линейное расслоение является nef (по соответствующему факту для линейных расслоений без базовых точек).^[7]

Очень широкие линейные наборы

Линейный пакет L по правильной схеме Икс над полем k как говорят очень обильный если он не имеет базовых точек и связанный с ним морфизм

${ displaystyle f двоеточие X to mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$

закрытое погружение. Здесь ${ Displaystyle п = час ^ {0} (X, L) -1}$. Эквивалентно, L очень много, если Икс может быть вложено в проективное пространство некоторой размерности над k таким образом, что L ограничение линейного пучка О(1) к Икс.^[8] Последнее определение используется для определения очень обильности линейного расслоения на правильной схеме над любым коммутативное кольцо.^[9]

Название «очень просторный» ввел Александр Гротендик в 1961 г.^[10] Различные имена использовались ранее в контексте линейные системы делителей.

Для очень обширного линейного набора L по правильной схеме Икс над полем с ассоциированным морфизмом ж, степень L на кривой C в Икс это степень из ж(C) как кривую в ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$. Так L имеет положительную степень на каждой кривой в Икс (потому что каждое подмногообразие проективного пространства имеет положительную степень).^[11]

Определения

Линейный пакет L по правильной схеме Икс над коммутативным кольцом р как говорят обильный если есть положительное целое число р такая, что тензорная степень ${ displaystyle L ^ { otimes r}}$ очень много.^[12] В частности, правильная схема над р имеет обильное линейное расслоение тогда и только тогда, когда оно проективно над р. Обильный линейный пучок по правильной схеме Икс над полем имеет положительную степень на каждой кривой в Икс, по соответствующему утверждению для очень обильных линейных связок.

А Делитель Картье D по правильной схеме Икс над полем k называется обильным, если соответствующее линейное расслоение О(D) достаточно. (Например, если Икс сглаживается k, то дивизор Картье можно отождествить с конечным линейная комбинация замкнутых подмногообразий коразмерности 1 в Икс с целыми коэффициентами.)

По произвольной схеме Икс, Гротендик определил линейный пучок L быть достаточно, если Икс является квазикомпактный и за каждую точку Икс в Икс есть положительное целое число р и раздел ${ displaystyle s in H ^ {0} (X, L ^ { otimes r})}$ такой, что s отличен от нуля в Икс и открытая подсхема ${ Displaystyle {s neq 0 } подмножество X}$ аффинно.^[13] Например, тривиальное линейное расслоение ${ displaystyle O_ {X}}$ обильно тогда и только тогда, когда Икс является квазиаффинный.^[14] Остальная часть этой статьи будет сосредоточена на изобилии правильных схем над полем.

Ослабление понятия «очень обширный» на «вполне достаточный» дает гибкую концепцию с широким спектром различных характеристик. Во-первых, тензорные высокие степени обильного линейного пучка с любым когерентным пучком вообще дают пучок с множеством глобальных секций. Точнее, линейный пучок L по правильной схеме Икс над полем (или, в более общем смысле, над Кольцо Нётериана ) обильна тогда и только тогда, когда для каждого когерентного пучка F на Икс, есть целое число s такой, что связка ${ displaystyle F otimes L ^ { otimes r}}$ генерируется глобально для всех ${ displaystyle r geq s}$. Здесь s может зависеть от F.^[15][16]

Другая характеристика полноты, известная как Картан –Серр –Гротендик теорема, в терминах когерентные когомологии пучков. А именно линейный пучок L по правильной схеме Икс над полем (или, в более общем смысле, над нётеровым кольцом) является обильным тогда и только тогда, когда для каждого когерентного пучка F на Икс, есть целое число s такой, что

${ displaystyle H ^ {i} (X, F otimes L ^ { otimes r}) = 0}$

для всех ${ displaystyle i> 0}$ и все ${ displaystyle r geq s}$.^[17][16] В частности, большие степени обильного линейного расслоения убивают когомологии в положительных степенях. Это следствие называется Теорема об исчезновении Серра, доказано Жан-Пьер Серр в его статье 1955 года Faisceaux algébriques cohérents.

Примеры / Не примеры

• Тривиальное линейное расслоение ${ displaystyle O_ {X}}$ на проективном многообразии Икс положительной размерности не имеет базовых точек, но не обильна. В общем, для любого морфизма ж из проективного разнообразия Икс в какое-то проективное пространство ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ над полем пучок откатных строк ${ Displaystyle L = е ^ {*} О (1)}$ всегда без базовых точек, тогда как L обильно тогда и только тогда, когда морфизм ж является конечный (то есть все волокна ж имеют размерность 0 или пусты).^[18]
• Для целого числа d, пространство сечений линейного расслоения О(d) над ${ Displaystyle mathbb {P} _ { mathbb {C}} ^ {1}}$ это сложный векторное пространство однородных многочленов степени d в переменных Икс,у. В частности, это пространство равно нулю при d <0. Для ${ displaystyle d geq 0}$, морфизм проективного пространства, заданный формулой О(d) является

${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1} to mathbb {P} ^ {d}}$

к

${ displaystyle [x, y] mapsto [x ^ {d}, x ^ {d-1} y, ldots, y ^ {d}].}$

Это закрытое погружение для ${ displaystyle d geq 1}$, с изображением a рациональная нормальная кривая степени d в ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {d}}$. Следовательно, О(d) не имеет базовых точек тогда и только тогда, когда ${ displaystyle d geq 0}$, и очень обильно тогда и только тогда, когда ${ displaystyle d geq 1}$. Следует, что О(d) обильно тогда и только тогда, когда ${ displaystyle d geq 1}$.

• В качестве примера, где "достаточно" и "очень много" различаются, пусть Икс - гладкая проективная кривая род 1 (ан эллиптическая кривая ) над C, и разреши п быть сложной точкой Икс. Позволять О(п) - ассоциированное линейное расслоение степени 1 на Икс. Тогда комплексное векторное пространство глобальных сечений О(п) имеет размерность 1, натянутую на сечение, которое обращается в нуль в п.^[19] Итак, базовый локус О(п) равно п. С другой стороны, О(2п) не имеет базовых точек, и О(дп) очень много для ${ displaystyle d geq 3}$ (что дает вложение Икс как эллиптическая кривая степени d в ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {d-1}}$). Следовательно, О(п) достаточно, но не очень. Также, О(2п) достаточно много и не содержит базовых точек, но не очень много; ассоциированный морфизм проективного пространства - это разветвленный двойная крышка ${ displaystyle X to mathbb {P} ^ {1}}$.
• На кривых высшего рода имеются обильные линейные расслоения L для которого каждый глобальный раздел равен нулю. (Но высокие кратные L имеет много секций по определению.) Например, пусть Икс - гладкая плоская кривая квартики (степени 4 в ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {2}}$) над C, и разреши п и q быть различными комплексными точками Икс. Тогда линейный пучок ${ Displaystyle L = O (2p-q)}$ достаточно, но имеет ${ displaystyle H ^ {0} (X, L) = 0}$.^[20]

Критерии полноты линейных пучков

Теория пересечения

Чтобы определить, является ли данное линейное расслоение на проективном многообразии Икс достаточно, следующие числовые критерии (с точки зрения номеров перекрестков) часто являются наиболее полезными. Это эквивалентно спросить, когда делитель Картье D на Икс является обильным, что означает, что связанный линейный пучок О(D) достаточно. Номер перекрестка ${ Displaystyle D cdot C}$ можно определить как степень линейного расслоения О(D) ограниченный C. В обратном направлении для линейного пучка L на проективном многообразии первый класс Черна ${ displaystyle c_ {1} (L)}$ означает ассоциированный дивизор Картье (определенный с точностью до линейной эквивалентности), дивизор любого ненулевого рационального сечения L.

На гладкий проективная кривая Икс над алгебраически замкнутое поле k, линейный пакет L очень много, если и только если ${ displaystyle h ^ {0} (X, L otimes O (-x-y)) = h ^ {0} (X, L) -2}$ для всех k-рациональные точки Икс,у в Икс.^[21] Позволять грамм быть родом Икс. Посредством Теорема Римана – Роха, каждое линейное расслоение степени не меньше 2грамм + 1 удовлетворяет этому условию и, следовательно, очень обильно. В результате линейное расслоение на кривой является обильным тогда и только тогда, когда оно имеет положительную степень.^[22]

Например, канонический пакет ${ displaystyle K_ {X}}$ кривой Икс имеет степень 2грамм - 2, и поэтому достаточно тогда и только тогда, когда ${ displaystyle g geq 2}$. Кривые с обильным каноническим расслоением составляют важный класс; например, над комплексными числами это кривые с метрикой отрицательного кривизна. Канонический набор очень обширен тогда и только тогда, когда ${ displaystyle g geq 2}$ и кривая не гиперэллиптический.^[23]

В Критерий Накаи – Мойшезона (назван в честь Ёсиказу Накаи (1963) и Борис Мойшезон (1964)) утверждает, что линейный пучок L по правильной схеме Икс над полем обильно тогда и только тогда, когда ${ displaystyle int _ {Y} c_ {1} (L) ^ {{ text {dim}} (Y)}> 0}$ для каждого (несводимый ) замкнутое подмногообразие Y из Икс (Y не допускается быть точкой).^[24] В терминах дивизоров дивизор Картье D обильно тогда и только тогда, когда ${ displaystyle D ^ {{ text {dim}} (Y)} cdot Y> 0}$ для всякого (ненулевого) подмногообразия Y из Икс. За Икс кривая, это означает, что дивизор обилен тогда и только тогда, когда он имеет положительную степень. За Икс поверхность, критерий говорит, что дивизор D обильно тогда и только тогда, когда его число самопересечения ${ displaystyle D ^ {2}}$ положительна и каждая кривая C на Икс имеет ${ Displaystyle D cdot C> 0}$.

Критерий Клеймана

Заявить Критерий Клеймана (1966), пусть Икс - проективная схема над полем. Позволять ${ displaystyle N_ {1} (X)}$ быть настоящий векторное пространство 1-циклов (вещественные линейные комбинации кривых в Икс) по модулю числовой эквивалентности, что означает, что два 1-цикла А и B равны в ${ displaystyle N_ {1} (X)}$ тогда и только тогда, когда каждый линейный пучок имеет одинаковую степень на А и дальше B. Посредством Теорема Нерона – Севери, реальное векторное пространство ${ displaystyle N_ {1} (X)}$ имеет конечную размерность. Критерий Клеймана утверждает, что линейный пучок L на Икс обильно тогда и только тогда, когда L имеет положительную степень на каждом ненулевом элементе C из закрытие из конус кривых NE (Икс) в ${ displaystyle N_ {1} (X)}$. (Это немного сильнее, чем сказать, что L имеет положительную степень на каждой кривой.) Эквивалентно линейное расслоение является обильным тогда и только тогда, когда его класс в двойное векторное пространство ${ Displaystyle N ^ {1} (X)}$ находится в интерьере неф конус.^[25]

Критерий Клеймана в целом не работает для правильных (а не проективных) схем Икс над полем, хотя это верно, если Икс гладко или в более общем смысле Q-факториал.^[26]

Линейное расслоение на проективном многообразии называется строго неф если он имеет положительную степень на каждой кривой. Нагата (1959) и Дэвид Мамфорд построенные линейные расслоения на гладких проективных поверхностях, которые являются строго плоскими, но не обильными. Это показывает, что условие ${ displaystyle c_ {1} (L) ^ {2}> 0}$ нельзя пропустить в критерии Накаи – Мойшезона, и необходимо использовать замыкание NE (Икс), а не NE (Икс) в критерии Клеймана. ^[27] Каждое линейное расслоение nef на поверхности имеет ${ Displaystyle c_ {1} (L) ^ {2} geq 0}$, а примеры Нагаты и Мамфорда ${ displaystyle c_ {1} (L) ^ {2} = 0}$.

К. С. Сешадри показал, что линейный пучок L на собственной схеме над алгебраически замкнутым полем обильно тогда и только тогда, когда существует положительное вещественное число ε такое, что deg (L|_C) ≥ εм(C) для всех (неприводимых) кривых C в Икс, куда м(C) - максимум кратностей в точках C.^[28]

Несколько характеристик обильности справедливы в более общем случае для линейных пучков на собственном алгебраическое пространство над полем k. В частности, критерий Накаи-Мойшезона применим в этой общности.^[29] Критерий Картана-Серра-Гротендика выполняется даже в более общем случае для собственного алгебраического пространства над нётеровым кольцом р.^[30] (Если собственное алгебраическое пространство над р имеет обильное линейное расслоение, то на самом деле это проективная схема над р.) Критерий Клеймана не выполняется для собственных алгебраических пространств. Икс над полем, даже если Икс гладко.^[31]

Открытость изобилия

По проективной схеме Икс над полем из критерия Клеймана следует, что обильность является открытым условием на классе р-дивизор ( р-линейная комбинация дивизоров Картье) в ${ Displaystyle N ^ {1} (X)}$, с его топологией, основанной на топологии действительных чисел. (An р-дивизор определяется как обильный, если он может быть записан как положительная линейная комбинация обильных дивизоров Картье.^[32]) Элементарный частный случай: для обильного делителя ЧАС и любой делитель E, есть положительное действительное число б такой, что ${ displaystyle H + aE}$ достаточно для всех действительных чисел а по абсолютной величине меньше чем б. В терминах делителей с целыми коэффициентами (или линейных расслоений) это означает, что нГ + E обильна для всех достаточно больших натуральных чисел п.

Полнота также является открытым условием в совершенно другом смысле, когда разнообразие или линейное расслоение варьируется в алгебраической семье. А именно пусть ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ - собственный морфизм схем, и пусть L быть линейным пучком на Икс. Тогда набор точек у в Y такой, что L достаточно на волокно ${ displaystyle X_ {y}}$ открыто (в Топология Зарисского ). Сильнее, если L достаточно на одно волокно ${ displaystyle X_ {y}}$, то существует аффинная открытая окрестность U из у такой, что L достаточно на ${ displaystyle f ^ {- 1} (U)}$ над U.^[33]

Другие характеристики полноты Клеймана

Клейман также доказал следующие характеристики полноты, которые можно рассматривать как промежуточные шаги между определением полноты и числовыми критериями. А именно для линейного пучка L по правильной схеме Икс над полем следующие эквиваленты:^[34]

• L достаточно.
• Для всякого (неприводимого) подмногообразия ${ Displaystyle Y подмножество X}$ положительной размерности, есть положительное целое число р и раздел ${ displaystyle s in H ^ {0} (Y, { mathcal {L}} ^ { otimes r})}$ который не равен тождественно нулю, но обращается в нуль в некоторой точке Y.
• Для всякого (неприводимого) подмногообразия ${ Displaystyle Y подмножество X}$ положительного измерения, голоморфные эйлеровы характеристики полномочий L на Y перейти в бесконечность:

${ displaystyle chi (Y, { mathcal {L}} ^ { otimes r}) to infty}$ в качестве ${ Displaystyle г к infty}$.

Обобщения

Обильные векторные пакеты

Робин Хартшорн определил векторный набор F по проективной схеме Икс над полем быть обильный если линейный пакет ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ на пространстве ${ Displaystyle mathbb {P} (F)}$ гиперплоскостей в F достаточно.^[35]

Некоторые свойства обильных линейных расслоений распространяются на обильные векторные расслоения. Например, векторный пучок F обилен тогда и только тогда, когда высокие симметричные степени F убить когомологию ${ displaystyle H ^ {i}}$ когерентных пучков для всех ${ displaystyle i> 0}$.^[36] Так же Черн класс ${ displaystyle c_ {r} (F)}$ обильного векторного расслоения имеет положительную степень на каждом р-мерное подмногообразие Икс, за ${ displaystyle 1 leq r leq { text {rank}} (F)}$.^[37]

Связки больших линий

Полезное ослабление полноты, особенно в бирациональная геометрия, это понятие большой линейный пакет. Линейный пакет L на проективном многообразии Икс измерения п над полем считается большим, если есть положительное действительное число а и положительное целое число ${ displaystyle j_ {0}}$ такой, что ${ displaystyle h ^ {0} (X, L ^ { otimes j}) geq aj ^ {n}}$ для всех ${ displaystyle j geq j_ {0}}$. Это максимально возможная скорость роста пространств сечений степеней L, в том смысле, что для каждого линейного пучка L на Икс есть положительное число б с ${ displaystyle h ^ {0} (X, L ^ { otimes j}) leq bj ^ {n}}$ для всех j > 0.^[38]

Есть несколько других характеристик больших линейных связок. Во-первых, линейная связка велика тогда и только тогда, когда есть положительное целое число р так что рациональная карта из Икс к ${ displaystyle mathbb {P} (H ^ {0} (X, L ^ { otimes r}))}$ данные разделами ${ displaystyle L ^ { otimes r}}$ является бирациональный на свой образ.^[39] Также линейка L является большим тогда и только тогда, когда он имеет положительную тензорную степень, которая является тензорным произведением обильного линейного пучка А и эффективный линейный пакет B (означающий, что ${ displaystyle H ^ {0} (X, B) neq 0}$).^[40] Наконец, линейный набор велик тогда и только тогда, когда его класс в ${ Displaystyle N ^ {1} (X)}$ находится внутри конуса эффективных делителей.^[41]

Крупность можно рассматривать как бирационально инвариантный аналог обильности. Например, если ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ является доминирующим рациональным отображением между гладкими проективными многообразиями одинаковой размерности, то возврат большого линейного расслоения на Y большой на Икс. (На первый взгляд, откат - это только набор строк на открытом подмножестве Икс куда ж является морфизмом, но он однозначно распространяется на линейное расслоение на всех Икс.) Для обильных линейных расслоений можно только сказать, что обратное преобразование обильного линейного расслоения с помощью конечного морфизма обильно.^[18]

Пример: пусть Икс быть Взрывать проективной плоскости ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {2}}$ в точке над комплексными числами. Позволять ЧАС быть откатом к Икс линии на ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {2}}$, и разреши E - исключительная кривая разрушения ${ displaystyle pi двоеточие X to mathbb {P} ^ {2}}$. Тогда делитель ЧАС + E большой, но не обильный (или даже неплохой) на Икс, потому что

${ displaystyle (H + E) cdot E = E ^ {2} = - 1 <0.}$

Эта негативность также подразумевает, что базовый локус ЧАС + E (или любого положительного кратного) содержит кривую E. Фактически, этот базовый локус равен E.

Относительная полнота

Для квазикомпактного морфизма схем ${ displaystyle f: X to S}$, обратимая связка L на Икс как говорят богатый родственник к ж или же ж-пример если выполняются следующие эквивалентные условия:^[42][43]

1. Для каждого открытого аффинного подмножества ${ displaystyle U subset S}$, ограничение L к ${ displaystyle f ^ {- 1} (U)}$ является обильный (в обычном смысле).
2. ж является квазиотделенный и есть открытое погружение ${ displaystyle X hookrightarrow operatorname {Proj} _ {S} ({ mathcal {R}}), , { mathcal {R}}: = f _ {*} left ( bigoplus _ {0} ^ { infty} L ^ { otimes n} right)}$ вызванный карта примыкания:

   ${ displaystyle f ^ {*} { mathcal {R}} to bigoplus _ {0} ^ { infty} L ^ { otimes n}}$.

3. Условие 2. без «открытого».

Условие 2 говорит (примерно), что Икс может быть открыто компактифицирован в проективная схема с ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1) = L}$ (не только по правильной схеме).

Смотрите также

Общая алгебраическая геометрия

• Алгебраическая геометрия проективных пространств
• Сорт Фано: разновидность, каноническая связка которой антиобильна
• Большая теорема Мацусаки
• Дивизориальная схема: схема, допускающая обширное семейство линейных пучков

Полнота в сложной геометрии

• Голоморфное векторное расслоение
• Теорема вложения Кодаира: на компактном комплексном многообразии обильность и положительность совпадают.
• Кодаира теорема об исчезновении
• Теорема Лефшеца о гиперплоскости: обильный дивизор в комплексном проективном многообразии Икс топологически похож на Икс.

Примечания

Рекомендации

• Фуджино, Осаму (2005), «На конусе Клеймана-Мори», Труды Японской академии, серия А, математические науки, 81: 80–84, Дои:10.3792 / pjaa.81.80, МИСТЕР  2143547
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 8: 5–222. Дои:10.1007 / bf02699291. МИСТЕР  0217084.
• Хартсхорн, Робин (1970), Обильные подмногообразия алгебраических многообразий, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0067839, ISBN  978-3-540-05184-8, МИСТЕР  0282977
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157
• Клейман, Стивен Л. (1966), «К численной теории изобилия», Анналы математики, Вторая серия, Анналы математики, 84 (3): 293–344, Дои:10.2307/1970447, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970447, МИСТЕР  0206009
• Коллар, Янош (1990), "Проективность полных модулей", Журнал дифференциальной геометрии, 32, Дои:10.4310 / jdg / 1214445046, МИСТЕР  1064874
• Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые на алгебраических многообразиях, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN  978-3-642-08219-1, МИСТЕР  1440180
• Лазарсфельд, Роберт (2004), Положительность в алгебраической геометрии (2 тт.), Берлин: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN  3-540-22533-1, МИСТЕР  2095471
• Нагата, Масаёши (1959), «О 14-й проблеме Гильберта», Американский журнал математики, Издательство Университета Джона Хопкинса, 81 (3): 766–772, Дои:10.2307/2372927, JSTOR  2372927, МИСТЕР  0154867

внешняя ссылка

• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project