Неснижаемый компонент - Irreducible component

В алгебраическая геометрия, неприводимое алгебраическое множество или же неприводимое разнообразие является алгебраический набор это не может быть записано как союз из двух правильный алгебраические подмножества. An неприводимая составляющая неприводимое и максимальное алгебраическое подмножество (при установить включение ) для этого свойства. Например, множество решений уравнения ху = 0 не является неприводимым, и его неприводимые компоненты представляют собой две строки уравнений Икс = 0 и у =0.

Фундаментальная теорема классической алгебраической геометрии состоит в том, что каждое алгебраическое множество может быть записано уникальным образом как конечное объединение неприводимых компонентов.

Эти концепции можно переформулировать в чисто топологический условия, используя Топология Зарисского, для чего закрытые наборы - алгебраические подмножества: A топологическое пространство является несводимый если это не объединение двух собственных замкнутых подмножеств, и неприводимая составляющая - максимальное подпространство (обязательно замкнутое), неприводимое для индуцированная топология. Хотя эти концепции можно рассматривать для любого топологического пространства, это редко делается вне алгебраической геометрии, поскольку наиболее распространенными топологическими пространствами являются Хаусдорфовы пространства, а в хаусдорфовом пространстве неприводимые компоненты - это синглтоны.

В топологии

А топологическое пространство Икс является сводимый если это можно записать как союз ${ Displaystyle X = X_ {1} чашка X_ {2}}$ из двух закрыто правильные подмножества ${ displaystyle X_ {1}}$, ${ displaystyle X_ {2}}$ из ${ displaystyle X.}$Топологическое пространство - это несводимый (или же сверхсвязанный), если он не сводится. Эквивалентно все непустые открыто подмножества Икс находятся плотный или любые два непустых открытых набора имеют непустые пересечение.

Подмножество F топологического пространства Икс называется неприводимым или приводимым, если F рассматривается как топологическое пространство через топология подпространства обладает соответствующим свойством в указанном выше смысле. То есть, ${ displaystyle F}$ приводимо, если его можно записать как объединение ${ Displaystyle F = (G_ {1} cap F) cup (G_ {2} cap F),}$ куда ${ displaystyle G_ {1}, G_ {2}}$ замкнутые подмножества ${ displaystyle X}$, ни один из которых не содержит ${ displaystyle F.}$

An неприводимая составляющая топологического пространства есть максимальный неприводимое подмножество. Если подмножество неприводимо, его закрытие также неприводимо, поэтому неприводимые компоненты замкнуты.

Каждое неприводимое подмножество пространства Икс содержится в (не обязательно единственной) неприводимой компоненте Икс.^[1] Каждая точка Икс содержится в некоторой неприводимой компоненте Икс.

В алгебраической геометрии

Каждый аффинный или же проективное алгебраическое множество определяется как множество нулей идеальный в кольцо многочленов. В этом случае неприводимые компоненты - это многообразия, ассоциированные с минимальными простыми числами над идеалом. Это отождествление, позволяющее доказать единственность и конечность разложения. Это разложение сильно связано с первичное разложение идеала.

В целом теория схем, каждая схема представляет собой объединение своих неприводимых компонентов, но число компонентов не обязательно конечно. Однако в большинстве случаев, встречающихся на «практике», а именно для всех нётерские схемы, неприводимых компонент конечное число.

Примеры

В Пространство Хаусдорфа, неприводимые подмножества и неприводимые компоненты суть синглтоны. Так, в частности, действительные числа. Фактически, если Икс представляет собой набор действительных чисел, который не является одноэлементным, существует три действительных числа, такие что Икс ∈ Икс, у ∈ Икс, и Икс < а < у. Набор Икс не может быть неприводимым, поскольку ${ displaystyle X = (X cap ,] infty, a]) cup (X cap [a, infty [).}$

Понятие неприводимой компоненты является фундаментальным в алгебраическая геометрия и редко рассматривается за пределами этой области математики: рассмотрите алгебраическое подмножество самолета

Икс = {(Икс, у) | ху = 0}.

Для Топология Зарисского, его замкнутые подмножества - это само себя, пустое множество, синглтоны и две прямые, определяемые Икс = 0 и у = 0. Набор Икс таким образом сводится к этим двум прямым как неприводимым компонентам.

В спектр из коммутативное кольцо это набор главные идеалы кольца, наделенного Топология Зарисского, для которого множество простых идеалов замкнуто тогда и только тогда, когда это множество всех простых идеалов, содержащих фиксированный идеальный. В этом случае неприводимое подмножество - это множество всех простых идеалов, содержащих простой идеал.

Примечания

Эта статья включает в себя материалы из несводимого по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.Эта статья включает материал из материала Irreducible component на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.