Первичное разложение - Primary decomposition

В математика, то Теорема Ласкера – Нётер заявляет, что каждый Кольцо Нётериана это Кольцо ласкера, что означает, что каждый идеал может быть разложен как пересечение, называемое первичное разложениеиз конечного числа основные идеалы (которые связаны, но не совсем так же, как полномочия главные идеалы ). Теорема была впервые доказана Эмануэль Ласкер (1905 ) для частного случая кольца многочленов и сходящихся колец степенных рядов, и была доказана во всей своей общности Эмми Нётер (1921 ).

Теорема Ласкера – Нётер является расширением основная теорема арифметики, и в более общем плане основная теорема о конечно порожденных абелевых группах ко всем нётерским кольцам. Теорема Ласкера – Нётер играет важную роль в алгебраическая геометрия, утверждая, что каждый алгебраический набор можно однозначно разложить в конечное объединение неприводимые компоненты.

Он имеет прямое расширение на модули утверждая, что каждый подмодуль конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом является конечным пересечением примарных подмодулей. Это включает случай колец как частный случай, рассматривая кольцо как модуль над самим собой, так что идеалы являются подмодулями. Это также обобщает форму первичного разложения структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов, а для частного случая колец полиномов над полем он обобщает разложение алгебраического множества в конечное объединение (неприводимых) многообразий.

Первый алгоритм вычисления примарных разложений для колец многочленов над полем характеристики 0^{[Примечание 1]} был опубликован ученицей Нётер Грета Германн (1926 ).^[1]^{[нужен лучший источник ]} Для некоммутативных нётеровых колец, вообще говоря, разложение не выполняется. Нётер привела пример некоммутативного нётерова кольца с правым идеалом, не являющегося пересечением примарных идеалов.

Первичное разложение идеала

Позволять р - нётерово коммутативное кольцо. Идеальный я из р называется начальный если это правильный идеал и для каждой пары элементов Икс и у в р такой ху в я, либо Икс или некоторая сила у в я; эквивалентно, каждый делитель нуля в частное р/я нильпотентен. В радикальный первичного идеала Q это главный идеал и Q как говорят ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ -первичная для ${ displaystyle { mathfrak {p}} = { sqrt {Q}}}$ .

Позволять я быть идеалом в р. потом я имеет неизбыточное первичное разложение на первичные идеалы:

{ Displaystyle I = Q_ {1} cap cdots cap Q_ {п} }

.

Избыточность означает:

Удаление любого из ${ displaystyle Q_ {i}}$ меняет пересечение, т.е. для каждого я у нас есть: ${ displaystyle cap _ {j neq i} Q_ {j} not subset Q_ {i}}$ .
В главные идеалы ${ displaystyle { sqrt {Q_ {i}}}}$ все разные.

Причем это разложение уникально по двум причинам:

Набор ${ displaystyle {{ sqrt {Q_ {i}}} mid i }}$ однозначно определяется я, и
Если ${ displaystyle { mathfrak {p}} = { sqrt {Q_ {i}}}}$ является минимальным элементом указанного выше множества, то ${ displaystyle Q_ {i}}$ однозначно определяется ${ displaystyle I}$ ; по факту, ${ displaystyle Q_ {i}}$ это прообраз ${ displaystyle IR _ { mathfrak {p}}}$ под карта локализации ${ displaystyle R to R _ { mathfrak {p}}}$ .

Первичные идеалы, соответствующие неминимальным первичным идеалам над я в общем случае не уникальны (см. пример ниже). О существовании разложения см. # Первичное разложение по ассоциированным простым числам ниже.

Элементы ${ displaystyle {{ sqrt {Q_ {i}}} mid i }}$ называются простые делители из я или простые числа, принадлежащие я. На языке теории модулей, как обсуждается ниже, множество ${ displaystyle {{ sqrt {Q_ {i}}} mid i }}$ также является набором ассоциированных простых чисел ${ displaystyle R}$ -модуль ${ displaystyle R / I}$ . В явном виде это означает, что существуют элементы ${ displaystyle g_ {1}, dots, g_ {n}}$ в р такой, что

{ displaystyle { sqrt {Q_ {i}}} = {f in R mid fg_ {i} in I }.}

^[2]

Для сокращения некоторые авторы называют связанный штрих ${ displaystyle R / I}$ просто ассоциированное простое число я (обратите внимание, что эта практика будет противоречить использованию в теории модулей).

Минимальные элементы ${ displaystyle {{ sqrt {Q_ {i}}} mid i }}$ такие же, как минимальные простые идеалы содержащий я и называются изолированные простые числа.
С другой стороны, неминимальные элементы называются встроенные простые числа.

В случае кольца целых чисел ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ , теорема Ласкера – Нётер эквивалентна основная теорема арифметики. Если целое число п имеет простую факторизацию ${ displaystyle n = pm p_ {1} ^ {d_ {1}} cdots p_ {r} ^ {d_ {r}}}$ , то первичное разложение идеала ${ Displaystyle langle п rangle}$ создано $п$ в ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ , является

{ displaystyle langle n rangle = langle p_ {1} ^ {d_ {1}} rangle cap cdots cap langle p_ {r} ^ {d_ {r}} rangle.}

Точно так же в уникальная область факторизации, если элемент имеет разложение на простые множители ${ displaystyle f = up_ {1} ^ {d_ {1}} cdots p_ {r} ^ {d_ {r}},}$ куда $ты$ это единица измерения, то первичное разложение главный идеал создано $ж$ является

{ displaystyle langle f rangle = langle p_ {1} ^ {d_ {1}} rangle cap cdots cap langle p_ {r} ^ {d_ {r}} rangle.}

Примеры

Примеры этого раздела предназначены для иллюстрации некоторых свойств первичных разложений, которые могут показаться неожиданными или противоречащими интуиции. Все примеры идеалы в кольцо многочленов через поле $k$ .

Пересечение vs. продукт

Первичное разложение в ${ Displaystyle к [х, у, г]}$ идеального ${ Displaystyle I = langle x, yz rangle}$ является

{ displaystyle I = langle x, yz rangle = langle x, y rangle cap langle x, z rangle.}

Из-за генератора первой степени $я$ не является продуктом двух больших идеалов. Аналогичный пример приводится в двух неопределенных

{ Displaystyle I = langle x, y (y + 1) rangle = langle x, y rangle cap langle x, y + 1 rangle.}

Первичная и основная власть

В ${ Displaystyle к [х, у]}$ , идеал ${ Displaystyle langle х, у ^ {2} rangle}$ первичный идеал, имеющий ${ Displaystyle langle х, у rangle}$ как связанное простое число. Это не сила связанного с ней прайма.

Неединственность и вложенное простое число

Для каждого положительного целого числа $п$ , примарное разложение в ${ Displaystyle к [х, у]}$ идеального ${ displaystyle I = langle x ^ {2}, xy rangle}$ является

{ displaystyle I = langle x ^ {2}, xy rangle = langle x rangle cap langle x ^ {2}, xy, y ^ {n} rangle.}

Связанные простые числа

{ displaystyle langle x rangle subset langle x, y rangle.}

Пример: пусть N = р = k[Икс, у] для некоторого поля k, и разреши M быть идеалом (ху, у²). потом M имеет два разных минимальных примарных разложенияM = (у) ∩ (Икс, у²) = (у) ∩ (Икс + у, у²Минимальное простое число равно (у), а вложенное простое число - это (Икс, у).

Несвязанное простое число между двумя связанными простыми числами

В ${ Displaystyle к [х, у, г],}$ идеал ${ displaystyle I = langle x ^ {2}, xy, xz rangle}$ имеет (неединственное) примарное разложение

{ displaystyle I = langle x ^ {2}, xy, xz rangle = langle x rangle cap langle x ^ {2}, y ^ {2}, z ^ {2}, xy, xz, yz rangle.}

Соответствующие простые идеалы ${ displaystyle langle x rangle subset langle x, y, z rangle,}$ и ${ Displaystyle langle х, у rangle}$ не связанный первичный идеал такой, что

{ displaystyle langle x rangle subset langle x, y rangle subset langle x, y, z rangle.}

Сложный пример

За исключением очень простых примеров, первичное разложение может быть трудно вычислить и может иметь очень сложный результат. Следующий пример был разработан для обеспечения такого сложного вывода и, тем не менее, доступного для рукописных вычислений.

Позволять

{ displaystyle { begin {align} P & = a_ {0} x ^ {m} + a_ {1} x ^ {m-1} y + cdots + a_ {m} y ^ {m} Q & = b_ {0} x ^ {n} + b_ {1} x ^ {n-1} y + cdots + b_ {n} y ^ {n} end {выровнено}}}

быть двумя однородные многочлены в $Икс, у$ , коэффициенты которого ${ displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {m}, b_ {0}, ldots, b_ {n}}$ являются многочленами от других неопределенных ${ displaystyle z_ {1}, ldots, z_ {h}}$ над полем $k$ . То есть, $п$ и $Q$ принадлежать ${ Displaystyle R = к [х, y, z_ {1}, ldots, z_ {h}],}$ и именно в этом кольце происходит примарное разложение идеала ${ Displaystyle I = langle P, Q rangle}$ ищется. Для вычисления первичного разложения мы сначала предполагаем, что 1 является наибольший общий делитель из $п$ и $Q$ .

Из этого условия следует, что $я$ не имеет основного компонента высота один. В качестве $я$ порождается двумя элементами, это означает, что это полное пересечение (точнее, определяет алгебраический набор, которое является полным пересечением), поэтому все главные компоненты имеют высоту два. Следовательно, ассоциированные простые числа $я$ - это в точности простые идеалы высоты два, содержащие $я$ .

Следует, что ${ Displaystyle langle х, у rangle}$ является ассоциированным простым числом $я$ .

Позволять ${ Displaystyle D в к [z_ {1}, ldots, z_ {h}]}$ быть однородный результат в $Икс, у$ из $п$ и $Q$ . Как наибольший общий делитель $п$ и $Q$ постоянная, результирующая $D$ не равно нулю, и из полученной теории следует, что $я$ содержит все продукты $D$ по одночлен в $Икс, у$ степени $м + п - 1$ . В качестве ${ Displaystyle D not in langle x, y rangle,}$ все эти мономы принадлежат примарному компоненту, содержащемуся в ${ displaystyle langle x, y rangle.}$ Этот основной компонент содержит $п$ и $Q$ , и поведение первичных разложений при локализация показывает, что этот основной компонент

{ displaystyle {t | существует e, D ^ {e} t in I }.}

Короче говоря, у нас есть первичный компонент с очень простым связанным простым числом ${ displaystyle langle x, y rangle,}$ таким образом, все его порождающие наборы включают в себя все неопределенные.

Другой основной компонент содержит $D$ . Можно доказать, что если $п$ и $Q$ достаточно общий (например, если коэффициенты $п$ и $Q$ являются различными неопределенными), то есть только другой первичный компонент, который является первичным идеалом и порождается $п$ , $Q$ и $D$ .

Геометрическая интерпретация

В алгебраическая геометрия, аффинное алгебраическое множество $V (я)$ определяется как совокупность общих нули идеального $я$ из кольцо многочленов ${ displaystyle R = k [x_ {1}, ldots, x_ {n}].}$

Неизбыточное примарное разложение

{ Displaystyle I = Q_ {1} cap cdots cap Q_ {r}}

из $я$ определяет разложение $V (я)$ в объединение алгебраических множеств $V (Q я)$ , которые неприводимы, как не объединение двух меньших алгебраических множеств.

Если ${ displaystyle P_ {i}}$ это связанный премьер из ${ displaystyle Q_ {i}}$ , тогда ${ Displaystyle V (P_ {i}) = V (Q_ {i}),}$ и теорема Ласкера – Нётер показывает, что $V (я)$ имеет единственное неизбыточное разложение на неприводимые алгебраические многообразия

{ Displaystyle V (I) = bigcup V (P_ {i}),}

где объединение ограничено минимальными ассоциированными простыми числами. Эти минимальные ассоциированные простые числа являются основными компонентами радикальный из $я$ . По этой причине первичное разложение радикала $я$ иногда называют разложение на простые числа из $я$ .

Компоненты примарного разложения (а также разложения алгебраических множеств), соответствующие минимальным простым числам, называются изолированные, а остальные говорят встроенный.

Для разложения алгебраических многообразий интересны только минимальные простые числа, но в теория пересечений, и, в более общем плане, в теория схем, полное примарное разложение имеет геометрический смысл.

Первичное разложение от связанных простых чисел

В настоящее время обычным делом является первичная декомпозиция идеалов и модулей в рамках теории связанные простые числа. Учебник влиятельного Бурбаки Коммутативный альгебр, в частности, придерживается такого подхода.

Позволять р быть кольцом и M модуль над ним. По определению связанный премьер простой идеал, входящий в множество ${ displaystyle { operatorname {Ann} (m) | 0 neq m in M }}$ = набор аннигиляторы ненулевых элементов M. Точно так же главный идеал ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ является ассоциированным простым числом M если есть инъекция р-модуль ${ Displaystyle R / { mathfrak {p}} hookrightarrow M}$ .

Максимальный элемент множества аннуляторов ненулевых элементов M можно показать как первичный идеал и, таким образом, когда р кольцо Нётер, M отличен от нуля тогда и только тогда, когда существует ассоциированное простое число M.

Множество связанных простых чисел M обозначается ${ displaystyle operatorname {Ass} _ {R} (M)}$ или же ${ displaystyle operatorname {Ass} (M)}$ . Прямо из определения,

Если ${ displaystyle M = bigoplus _ {i} M_ {i}}$ , тогда ${ displaystyle operatorname {Ass} (M) = bigcup _ {i} operatorname {Ass} (M_ {i})}$ .
Для точной последовательности ${ Displaystyle 0 к N к M к L к 0}$ , ${ displaystyle operatorname {Ass} (N) subset Operatorname {Ass} (M) subset operatorname {Ass} (N) cup operatorname {Ass} (L)}$ .^[3]
Если р является нётеровым кольцом, то ${ Displaystyle OperatorName {Ass} (M) subset OperatorName {Supp} (M)}$ куда ${ displaystyle operatorname {Supp}}$ относится к поддерживать.^[4] Также набор минимальных элементов ${ displaystyle operatorname {Ass} (M)}$ совпадает с набором минимальных элементов ${ displaystyle operatorname {Supp} (M)}$ .^[4]

Если M является конечно порожденным модулем над р, то существует конечная возрастающая последовательность подмодулей

{ Displaystyle 0 = M_ {0} subsetneq M_ {1} subsetneq cdots subsetneq M_ {n-1} subsetneq M_ {n} = M ,}

такое, что каждое частное M_я/M_я-1 изоморфен ${ displaystyle R / { mathfrak {p}} _ {i}}$ для некоторых главных идеалов ${ displaystyle { mathfrak {p}} _ {i}}$ , каждый из которых обязательно поддерживает M.^[5] Более того, каждое ассоциированное простое число M встречается среди множества простых чисел ${ displaystyle { mathfrak {p}} _ {i}}$ ; т.е.

{ displaystyle operatorname {Ass} (M) subset {{ mathfrak {p}} _ {0}, dots, { mathfrak {p}} _ {n} } subset operatorname {Supp} (M)}

.^[6]

(В общем, эти включения не являются равенствами.) В частности, ${ displaystyle operatorname {Ass} (M)}$ является конечным множеством, когда M конечно порожден.

Позволять ${ displaystyle M}$ - конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом р и N подмодуль M. Данный ${ displaystyle operatorname {Ass} (M / N) = {{ mathfrak {p}} _ {1}, dots, { mathfrak {p}} _ {n} }}$ , набор ассоциированных простых чисел ${ Displaystyle M / N}$ , существуют подмодули ${ displaystyle Q_ {i} subset M}$ такой, что ${ displaystyle operatorname {Ass} (M / Q_ {i}) = {{ mathfrak {p}} _ {i} }}$ и

{ displaystyle N = bigcap _ {i = 1} ^ {n} Q_ {i}.}

^[7]^[8]

Подмодуль N из M называется ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ -начальный если ${ displaystyle operatorname {Ass} (M / N) = {{ mathfrak {p}} }}$ . Подмодуль р-модуль р является ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ -primary как подмодуль тогда и только тогда, когда это ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ -первоначальный идеал; таким образом, когда ${ Displaystyle M = R}$ , указанное выше разложение является в точности первичным разложением идеала.

Принимая ${ displaystyle N = 0}$ , приведенное выше разложение говорит, что набор ассоциированных простых чисел конечно порожденного модуля M такой же как ${ displaystyle { operatorname {Ass} (M / Q_ {i}) | я }}$ когда ${ displaystyle 0 = cap _ {1} ^ {n} Q_ {i}}$ (без конечного поколения может быть бесконечно много связанных простых чисел.)

Свойства связанных простых чисел

Позволять ${ displaystyle R}$ быть нётеровым кольцом. потом

Набор делители нуля на р совпадает с объединением связанных простых чисел р (это потому, что набор нулевых делителей р представляет собой объединение множества аннуляторов ненулевых элементов, максимальные элементы которых являются ассоциированными простыми числами).^[9]
По той же причине объединение связанных простых чисел р-модуль M - это в точности множество делителей нуля на M, то есть элемент р такой, что эндоморфизм ${ displaystyle m mapsto rm, от M до M}$ не является инъективным.^[10]
Учитывая подмножество ${ Displaystyle Phi subset OperatorName {Ass} (M)}$ , M ан р-модуль существует подмодуль ${ Displaystyle N подмножество M}$ такой, что ${ displaystyle operatorname {Ass} (N) = operatorname {Ass} (M) - Phi}$ и ${ displaystyle operatorname {Ass} (M / N) = Phi}$ .^[11]
Позволять ${ displaystyle S subset R}$ быть мультипликативным подмножеством, ${ displaystyle M}$ ан ${ displaystyle R}$ -модуль и ${ displaystyle Phi}$ множество всех простых идеалов ${ displaystyle R}$ не пересекаются ${ displaystyle S}$ . потом
${ displaystyle { mathfrak {p}} mapsto S ^ {- 1} { mathfrak {p}}, , operatorname {Ass} _ {R} (M) cap Phi to operatorname {Ass } _ {S ^ {- 1} R} (S ^ {- 1} M)}$

это биекция.^[12] Также,

{ displaystyle operatorname {Ass} _ {R} (M) cap Phi = operatorname {Ass} _ {R} (S ^ {- 1} M)}

.^[13]

Любой простой идеал минимальный относительно содержания идеала J в ${ displaystyle mathrm {Ass} _ {R} (R / J).}$ Эти простые числа и есть изолированные простые числа.
Модуль M над р имеет конечная длина если и только если M конечно порожден и ${ displaystyle mathrm {Ass} (M)}$ состоит из максимальных идеалов.^[14]
Позволять ${ displaystyle от A до B}$ - гомоморфизм колец между нётеровыми кольцами и F а B-модуль, который плоский над А. Затем для каждого А-модуль E,

{ displaystyle operatorname {Ass} _ {B} (E otimes _ {A} F) = bigcup _ {{ mathfrak {p}} in operatorname {Ass} (E)} operatorname {Ass} _ {B} (F / { mathfrak {p}} F)}

.^[15]

Ненётерианский случай

Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы кольцо имело примарные разложения своих идеалов.

Теорема — Позволять р коммутативное кольцо. Тогда следующие эквивалентны.

Каждый идеал в р имеет первичное разложение.
р обладает следующими свойствами:
- (L1) Для каждого собственного идеала я и главный идеал п, существует Икс в р - п такой, что (я : Икс) является прообразом я р_п под картой локализации р → р_п.
- (L2) Для любого идеала я, набор всех прообразов я S⁻¹р под картой локализации р → S⁻¹р, S пробегая все мультипликативно замкнутые подмножества р, конечно.

Доказательство приводится в главе 4 книги Атья – Макдональда в виде серии упражнений.^[16]

Существует следующая теорема единственности идеала, имеющего примарное разложение.

Теорема — Позволять р коммутативное кольцо и я идеальный. Предполагать я имеет минимальное примарное разложение ${ displaystyle I = cap _ {1} ^ {r} Q_ {i}}$ (примечание: "минимальный" подразумевает ${ displaystyle { sqrt {Q_ {i}}}}$ различны.) Тогда

Набор ${ displaystyle E = left {{ sqrt {Q_ {i}}} | 1 leq i leq r right }}$ - множество всех простых идеалов в множестве ${ displaystyle left {{ sqrt {(I: x)}} | x in R right }}$ .
Набор минимальных элементов E такой же, как набор минимальные простые идеалы над я. Более того, первичный идеал, соответствующий минимальному простому числу п это прообраз я р_п и, таким образом, однозначно определяется я.

Теперь для любого коммутативного кольца р, идеальный я и минимальное простое число п над я, прообраз я р_п под картой локализации самая маленькая п-первичный идеал, содержащий я.^[17] Таким образом, в условиях предыдущей теоремы первичный идеал Q соответствующему минимальному простому числу п также самый маленький п-первичный идеал, содержащий я и называется п-основной компонент я.

Например, если мощность п^п премьер п имеет примарное разложение, то его п-основным компонентом является п-й символическая сила из п.

Аддитивная теория идеалов

Этот результат является первым в области, известной сейчас как аддитивная теория идеалов, которая изучает способы представления идеала как пересечения особого класса идеалов. Решение об «особом классе», например, об основных идеалах, само по себе является проблемой. В случае некоммутативных колец класс высшие идеалы является полезным заменителем класса первичных идеалов.

Примечания

^ Первичная декомпозиция требует проверки неприводимости многочленов, что не всегда алгоритмически возможно в ненулевой характеристике.

^ Чилиберто, Чиро; Хирцебрух, Фридрих; Миранда, Рик; Тейхер, Мина, ред. (2001). Приложения алгебраической геометрии к теории кодирования, физике и вычислениям. Дордрехт: Springer, Нидерланды. ISBN 978-94-010-1011-5.
^ Другими словами, ${ displaystyle { sqrt {Q_ {i}}} = (I: g_ {i})}$ идеальное частное.
^ Бурбаки, Гл. IV, § 1, № 1, предложение 3.
^ ^а ^б Бурбаки, Гл. IV, § 1, № 3, Corollaire 1.
^ Бурбаки, Гл. IV, § 1, № 4, Теорема 1.
^ Бурбаки, Гл. IV, § 1, № 4, Теорема 2.
^ Бурбаки, Гл. IV, § 2, нет. 2. Теорема 1.
^ Вот доказательство существования разложения (по Бурбаки). Позволять M - конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом р и N подмодуль. Показывать N допускает первичное разложение, заменяя M к ${ Displaystyle M / N}$ , достаточно показать, что когда ${ displaystyle N = 0}$ . Сейчас же,
${ displaystyle 0 = cap Q_ {i} iff emptyset = operatorname {Ass} ( cap Q_ {i}) = cap operatorname {Ass} (Q_ {i})}$
куда ${ displaystyle Q_ {i}}$ являются первичными подмодулями M. Другими словами, 0 имеет первичное разложение, если для каждого ассоциированного простого числа п из M, есть первичный подмодуль Q такой, что ${ displaystyle P not in operatorname {Ass} (Q)}$ . Теперь рассмотрим множество ${ displaystyle {N substeq M | P not in operatorname {Ass} (N) }}$ (которое непусто, поскольку в нем ноль). В наборе есть максимальный элемент Q поскольку M является нётеровым модулем. Если Q не является п-первичный, скажем, ${ Displaystyle P ' neq P}$ связан с ${ displaystyle M / Q}$ , тогда ${ Displaystyle R / P ' simeq Q' / Q}$ для какого-то подмодуля Q ', что противоречит максимальности. Таким образом, Q является первичным, и доказательство завершено. Примечание: то же доказательство показывает, что если р, M, N все оцениваются, то ${ displaystyle Q_ {i}}$ в разложении также можно считать градуированным.
^ Бурбаки, Гл. IV, § 1, следствие 3.
^ Бурбаки, Гл. IV, § 1, следствие 2.
^ Бурбаки, Гл. IV, § 1, предложение 4.
^ Бурбаки, Гл. IV, § 1, нет. 2, предложение 5.
^ Мацумура 1970, 7.C Лемма
^ Кон, П. М. (2003), Основы алгебры, Springer, Упражнение 10.9.7, стр. 391, ISBN 9780857294289.
^ Бурбаки, Гл. IV, § 2. Теорема 2.
^ Атья-Макдональд 1969
^ Атья-Макдональд 1969, Гл. 4. Упражнение 11.

внешняя ссылка

"Первичное разложение по-прежнему важно?". MathOverflow. 21 августа 2012 г.

[1] Первичная декомпозиция требует проверки неприводимости многочленов, что не всегда алгоритмически возможно в ненулевой характеристике.

[2] Чилиберто, Чиро; Хирцебрух, Фридрих; Миранда, Рик; Тейхер, Мина, ред. (2001). Приложения алгебраической геометрии к теории кодирования, физике и вычислениям. Дордрехт: Springer, Нидерланды. ISBN 978-94-010-1011-5.

[3] Другими словами, ${ displaystyle { sqrt {Q_ {i}}} = (I: g_ {i})}$ идеальное частное.

[4] Бурбаки, Гл. IV, § 1, № 1, предложение 3.

[Supp-5] а ^б Бурбаки, Гл. IV, § 1, № 3, Corollaire 1.

[6] Бурбаки, Гл. IV, § 1, № 4, Теорема 1.

[7] Бурбаки, Гл. IV, § 1, № 4, Теорема 2.

[8] Бурбаки, Гл. IV, § 2, нет. 2. Теорема 1.

[9] Вот доказательство существования разложения (по Бурбаки). Позволять M - конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом р и N подмодуль. Показывать N допускает первичное разложение, заменяя M к ${ Displaystyle M / N}$ , достаточно показать, что когда ${ displaystyle N = 0}$ . Сейчас же,
${ displaystyle 0 = cap Q_ {i} iff emptyset = operatorname {Ass} ( cap Q_ {i}) = cap operatorname {Ass} (Q_ {i})}$
куда ${ displaystyle Q_ {i}}$ являются первичными подмодулями M. Другими словами, 0 имеет первичное разложение, если для каждого ассоциированного простого числа п из M, есть первичный подмодуль Q такой, что ${ displaystyle P not in operatorname {Ass} (Q)}$ . Теперь рассмотрим множество ${ displaystyle {N substeq M | P not in operatorname {Ass} (N) }}$ (которое непусто, поскольку в нем ноль). В наборе есть максимальный элемент Q поскольку M является нётеровым модулем. Если Q не является п-первичный, скажем, ${ Displaystyle P ' neq P}$ связан с ${ displaystyle M / Q}$ , тогда ${ Displaystyle R / P ' simeq Q' / Q}$ для какого-то подмодуля Q ', что противоречит максимальности. Таким образом, Q является первичным, и доказательство завершено. Примечание: то же доказательство показывает, что если р, M, N все оцениваются, то ${ displaystyle Q_ {i}}$ в разложении также можно считать градуированным.

[10] Бурбаки, Гл. IV, § 1, следствие 3.

[11] Бурбаки, Гл. IV, § 1, следствие 2.

[12] Бурбаки, Гл. IV, § 1, предложение 4.

[13] Бурбаки, Гл. IV, § 1, нет. 2, предложение 5.

[14] Мацумура 1970, 7.C Лемма

[15] Кон, П. М. (2003), Основы алгебры, Springer, Упражнение 10.9.7, стр. 391, ISBN 9780857294289.

[16] Бурбаки, Гл. IV, § 2. Теорема 2.

[17] Атья-Макдональд 1969

[18] Атья-Макдональд 1969, Гл. 4. Упражнение 11.

[Примечание 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]