Первичный идеал - Википедия - Primary ideal

В математика, конкретно коммутативная алгебра, правильный идеальный Q из коммутативное кольцо А как говорят начальный если когда-нибудь ху является элементом Q тогда Икс или же у^п также является элементом Q, для некоторых п > 0. Например, в кольцо целых чисел Z, (п^п) является примарным идеалом, если п - простое число.

Понятие примарных идеалов важно в теории коммутативных колец, потому что каждый идеал Кольцо Нётериана имеет первичное разложение, то есть может быть записано как пересечение конечного числа примарных идеалов. Этот результат известен как Теорема Ласкера – Нётер. Как следствие,^[1] ан неприводимый идеал нётерского кольца является первичным.

Существуют различные методы обобщения примарных идеалов на некоммутативные кольца,^[2] но чаще всего эта тема исследуется для коммутативных колец. Поэтому кольца в этой статье предполагаются коммутативными кольцами с единицей.

Примеры и свойства

Определение можно перефразировать более симметрично: идеальный ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ является первичным, если и когда ${ displaystyle xy in { mathfrak {q}}}$ , у нас есть ${ displaystyle x in { mathfrak {q}}}$ или же ${ displaystyle y in { mathfrak {q}}}$ или же ${ displaystyle x, y in { sqrt { mathfrak {q}}}}$ . (Здесь ${ displaystyle { sqrt { mathfrak {q}}}}$ обозначает радикальный из ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ .)
Идеальный Q из р является первичным тогда и только тогда, когда каждый делитель нуля в р/Q нильпотентен. (Сравните это со случаем простых идеалов, где п простое тогда и только тогда, когда каждый делитель нуля в р/п фактически равен нулю.)
Любой главный идеал первична, причем идеал первичен тогда и только тогда, когда он первичен и полупервичный.
Каждый первичный идеал первобытный.^[3]
Если Q первичный идеал, то радикальный из Q обязательно первичный идеал п, и этот идеал называется связанный основной идеал из Q. В этой ситуации, Q как говорят п-начальный.
- С другой стороны, идеал с простым радикалом не обязательно первичен: например, если ${ Displaystyle R = к [х, y, z] / (ху-z ^ {2})}$ $R = k [x, y, z] / (xy-z ^ {2})$ , ${ Displaystyle { mathfrak {p}} = ({ overline {x}}, { overline {z}})}$ ${ mathfrak {p}} = ( overline {x}, overline {z})$ , и ${ Displaystyle { mathfrak {q}} = { mathfrak {p}} ^ {2}}$ ${ mathfrak {q}} = { mathfrak {p}} ^ {2}$ , тогда ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ ${ mathfrak {p}}$ прост и ${ Displaystyle { sqrt { mathfrak {q}}} = { mathfrak {p}}}$ ${ sqrt {{ mathfrak {q}}}} = { mathfrak {p}}$ , но у нас есть ${ displaystyle { overline {x}} { overline {y}} = { overline {z}} ^ {2} in { mathfrak {p}} ^ {2} = { mathfrak {q}} }$ $overline {x} overline {y} = { overline {z}} ^ {2} in { mathfrak {p}} ^ {2} = { mathfrak {q}}$ , ${ displaystyle { overline {x}} not in { mathfrak {q}}}$ $overline {x} not in { mathfrak {q}}$ , и ${ displaystyle { overline {y}} ^ {n} not in { mathfrak {q}}}$ ${ overline {y}} ^ {n} not in { mathfrak {q}}$ для всех n> 0, поэтому ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ ${ mathfrak {q}}$ не является первичным. Первичное разложение ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ ${ mathfrak {q}}$ является ${ displaystyle ({ overline {x}}) cap ({ overline {x}} ^ {2}, { overline {x}} { overline {z}}, { overline {y}}) }$ $( overline {x}) cap ({ overline {x}} ^ {2}, overline {x} overline {z}, overline {y})$ ; Вот ${ displaystyle ({ overline {x}})}$ $( overline {x})$ является ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ ${ mathfrak {p}}$ -первичный и ${ displaystyle ({ overline {x}} ^ {2}, { overline {x}} { overline {z}}, { overline {y}})}$ $({ overline {x}} ^ {2}, overline {x} overline {z}, overline {y})$ является ${ displaystyle ({ overline {x}}, { overline {y}}, { overline {z}})}$ $( overline {x}, overline {y}, overline {z})$ -начальный.
  - Идеал, радикал которого максимальныйвпрочем, первична.
  - Каждый идеал $Q$ с радикальным $п$ является содержится в самом маленьком $п$ -первоначальный идеал: все элементы $а$ такой, что $топор \in Q$ для некоторых $Икс \notin п$ . Наименьший $п$ -первичный идеал, содержащий $п п$ называется $п$ th символическая сила из $п$ .
Если п является максимальным простым идеалом, то любой идеал, содержащий степень п является п-начальный. Не все п-первичные идеалы должны быть п; например идеальный (Икс, у²) является п-первоначально для идеала п = (Икс, у) в ринге k[Икс, у], но это не сила п.
Если А это Кольцо Нётериана и п простой идеал, то ядро ${ Displaystyle от А до А_ {P}}$ , карта из А к локализация из А в п, является пересечением всех п-первичные идеалы.^[4]
Конечное непустое произведение ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ -первичные идеалы ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ -первичное, но бесконечное произведение ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ -первичные идеалы не могут быть ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ -начальный; поскольку, например, в нётеровом локальном кольце с максимальным идеалом ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ , ${ displaystyle cap _ {n> 0} { mathfrak {m}} ^ {n} = 0}$ (Теорема Крулля о пересечении ) где каждый ${ displaystyle { mathfrak {m}} ^ {n}}$ является ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ -начальный. Фактически, в нётеровом кольце непустое произведение ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ -первоначальные идеалы ${ displaystyle Q_ {i}}$ является ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ -первичный тогда и только тогда, когда существует некоторое целое число ${ displaystyle n> 0}$ такой, что ${ displaystyle { mathfrak {p}} ^ {n} subset cap _ {i} Q_ {i}}$ .^[5]