Топология Зарисского - Zariski topology

В топологии Зарисского на аффинная плоскость, этот график многочлена замкнут.

В алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра, то Топология Зарисского это топология на алгебраические многообразия, представленный в первую очередь Оскар Зариски а затем обобщен для создания набора главные идеалы из коммутативное кольцо топологическое пространство, называемое спектр кольца.

Топология Зариского позволяет использовать инструменты из топология использоваться для изучения алгебраических многообразий, даже если лежащие в основе поле это не топологическое поле. Это одна из основных идей теория схем, что позволяет строить общие алгебраические многообразия путем склеивания аффинные разновидности аналогично тому, как в многообразие теория, где многообразия строятся склейкой графики, которые представляют собой открытые подмножества реальных аффинные пространства.

Топология Зарисского алгебраического многообразия - это топология, закрытые наборы являются алгебраические подмножества разновидности. В случае алгебраического многообразия над сложные числа, топология Зарисского, таким образом, более грубая, чем обычная топология, так как каждое алгебраическое множество замкнуто для обычной топологии.

Обобщение топологии Зарисского на множество простых идеалов коммутативного кольца следует из Nullstellensatz Гильберта, который устанавливает биективное соответствие между точками аффинного многообразия, определенного над алгебраически замкнутое поле и максимальные идеалы кольца его регулярные функции. Это предлагает определить топологию Зарисского на множестве максимальных идеалов коммутативного кольца как топологию, такую, что множество максимальных идеалов замкнуто тогда и только тогда, когда это множество всех максимальных идеалов, содержащих данный идеал. Еще одна основная идея Гротендик теория схем должна рассматривать как точки, не только обычные точки, соответствующие максимальным идеалам, но и все (неприводимые) алгебраические многообразия, соответствующие простым идеалам. Таким образом Топология Зарисского на множестве первичных идеалов (спектре) коммутативного кольца называется топология, такая что множество первичных идеалов замкнуто тогда и только тогда, когда это множество всех первичных идеалов, содержащих фиксированный идеал.

Топология многообразий Зарисского

В классической алгебраической геометрии (то есть в той части алгебраической геометрии, в которой не используются схемы, которые были введены Гротендик около 1960 г.) топология Зарисского определена на алгебраические многообразия.^[1] Топология Зарисского, определенная в точках многообразия, - это топология такая, что закрытые наборы являются алгебраические подмножества разновидности. Поскольку самые элементарные алгебраические многообразия аффинный и проективные многообразия, полезно сделать это определение более явным в обоих случаях. Мы предполагаем, что мы работаем над фиксированным, алгебраически замкнутое поле k (в классической геометрии k почти всегда сложные числа ).

Аффинные разновидности

Сначала определим топологию на аффинное пространство ${ displaystyle mathbb {A} ^ {n},}$ сформированный $п$ - пары элементов $k$ . Топология определяется указанием его замкнутых множеств, а не его открытых множеств, и они принимаются просто как все алгебраические множества в ${ displaystyle mathbb {A} ^ {n}.}$ То есть замкнутые множества имеют вид

{ Displaystyle V (S) = {х in mathbb {A} ^ {n} mid f (x) = 0, forall f in S }}

куда S - это любой набор многочленов от п переменные над k. Это прямая проверка, чтобы показать, что:

V(S) = V((S)), куда (S) это идеальный порожденный элементами S;
Для любых двух идеалов многочленов я, J, у нас есть
1. ${ Displaystyle V (I) чашка V (J) , = , V (IJ);}$
2. ${ Displaystyle V (I) cap V (J) , = , V (I + J).}$

Отсюда следует, что конечные объединения и произвольные пересечения множеств V(S) также имеют этот вид, так что эти множества образуют замкнутые множества топологии (то есть их дополнения, обозначаемые D(S) и назвал основные открытые множества, формируем саму топологию). Это топология Зариского на ${ displaystyle mathbb {A} ^ {n}.}$

Если Икс является аффинным алгебраическим множеством (неприводимым или неприводимым), то топология Зарисского на нем определяется просто как топология подпространства индуцированный его включением в некоторые ${ displaystyle mathbb {A} ^ {n}.}$ Точно так же можно проверить, что:

Элементы аффинного координатного кольца

{ Displaystyle А (Х) , = , к [x_ {1}, точки, x_ {n}] / I (X)}

действовать как функции на Икс так же, как элементы ${ Displaystyle к [х_ {1}, точки, х_ {п}]}$ действовать как функции на ${ Displaystyle mathbb {A} ^ {n};}$

Для любого набора многочленов S, позволять Т быть набором их изображений в А (Х). Тогда подмножество Икс

{ Displaystyle V '(T) = {x in X mid f (x) = 0, forall f in T }}

(эти обозначения нестандартны) равно пересечению с Икс из ПРОТИВ).

Это устанавливает, что указанное выше уравнение, явно являющееся обобщением предыдущего, определяет топологию Зарисского на любом аффинном многообразии.

Проективные многообразия

Напомним, что п-размерный проективное пространство ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ определяется как множество классов эквивалентности ненулевых точек в ${ Displaystyle mathbb {А} ^ {п + 1}}$ путем определения двух точек, которые различаются скалярным кратным в k. Элементы кольца многочленов ${ Displaystyle к [х_ {0}, точки, х_ {п}]}$ не являются функциями на ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ потому что у любой точки есть много представителей, которые дают разные значения в многочлене; однако для однородные многочлены условие наличия нулевого или ненулевого значения в любой заданной проективной точке четко определено, поскольку скалярное множественное множитель выходит из полинома. Поэтому если S - это любой набор однородных многочленов, о котором мы можем разумно говорить

{ Displaystyle V (S) = {x in mathbb {P} ^ {n} mid f (x) = 0, forall f in S }.}

Для этих наборов могут быть установлены те же факты, что и выше, за исключением того, что слово «идеальный» необходимо заменить фразой «однородный идеал ", таким образом V(S), для множеств S однородных многочленов, определим топологию на ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}.}$ Как и выше, дополнения этих множеств обозначены D(S), или, если это может привести к путанице, D ′(S).

Проективная топология Зарисского определяется для проективных алгебраических множеств так же, как аффинная топология для аффинных алгебраических множеств, путем взятия топологии подпространств. Точно так же можно показать, что эта топология внутренне определяется наборами элементов проективного координатного кольца по той же формуле, что и выше.

Характеристики

Очень полезный факт об этих топологиях заключается в том, что мы можем продемонстрировать основа для них состоящие из особо простых элементов, а именно D(ж) для отдельных многочленов (или для проективных многообразий однородных многочленов) ж. В самом деле, то, что они образуют базис, следует из формулы пересечения двух замкнутых по Зарисскому множеств, приведенной выше (многократно применяйте ее к главным идеалам, порожденным генераторами (S)). Они называются выдающийся или же базовый открытые наборы.

К Базисная теорема Гильберта и некоторые элементарные свойства Нётерские кольца, всякое аффинное или проективное координатное кольцо нётерово. Как следствие, аффинные или проективные пространства с топологией Зарисского являются Нетеровы топологические пространства, откуда следует, что любое замкнутое подмножество этих пространств компактный.

Однако, за исключением конечных алгебраических множеств, никакое алгебраическое множество никогда не является Пространство Хаусдорфа. В старой топологической литературе понятие «компактность» означало свойство Хаусдорфа, и это соглашение все еще соблюдается в алгебраической геометрии; поэтому компактность в современном понимании называется «квазикомпактностью» в алгебраической геометрии. Однако, поскольку каждая точка (а₁, ..., а_п) - нулевое множество многочленов Икс₁ - а₁, ..., Икс_п - а_п, точки замкнуты, поэтому каждое многообразие удовлетворяет Т₁ аксиома.

Каждый обычная карта разновидностей непрерывный в топологии Зарисского. Фактически, топология Зарисского является самой слабой топологией (с наименьшим количеством открытых множеств), в которой это верно, а точки замкнуты. В этом легко убедиться, заметив, что замкнутые по Зарисскому множества - это просто пересечения прообразов 0 полиномиальными функциями, рассматриваемые как регулярные отображения в ${ displaystyle mathbb {A} ^ {1}.}$

Спектр кольца

В современной алгебраической геометрии алгебраическое многообразие часто представляется ассоциированным с ним схема, что является топологическое пространство (оборудован дополнительными конструкциями), то есть локально гомеоморфный к спектр кольца.^[2] В спектр коммутативного кольца А, обозначенный $Спецификация (А)$ , - множество простых идеалов А, оснащенный Топология Зарисского, для которых замкнутыми множествами являются множества

{ Displaystyle V (I) = {P in operatorname {Spec} , (A) mid I substeq P }}

куда я это идеал.

Чтобы увидеть связь с классической картинкой, обратите внимание, что для любого набора S полиномов (над алгебраически замкнутым полем) следует из Nullstellensatz Гильберта что точки V(S) (в старом смысле) - это в точности наборы (а₁, ..., а_п) такой, что идеал, порожденный многочленами Икс₁ - а₁, ..., Икс_п - а_п содержит S; более того, это максимальные идеалы, и, согласно «слабому» Nullstellensatz, идеал любого аффинного координатного кольца максимален тогда и только тогда, когда он имеет эту форму. Таким образом, V(S) "то же самое, что" максимальные идеалы, содержащие S. Новаторство Гротендика в определении Spec заключалось в замене максимальных идеалов на все основные идеалы; в этой формулировке естественно просто обобщить это наблюдение до определения замкнутого множества в спектре кольца.

Другой способ, возможно, более похожий на оригинал, интерпретировать современное определение - это осознать, что элементы А на самом деле можно рассматривать как функции от основных идеалов А; а именно, как функции на Spec А. Проще говоря, любой главный идеал п имеет соответствующий поле вычетов, какой поле дробей частного А/п, и любой элемент А имеет отражение в этом поле вычетов. Кроме того, элементы, которые на самом деле п именно те, отражение которых исчезает при п. Итак, если мы подумаем о карте, связанной с любым элементом а из А:

{ displaystyle e_ {a} двоеточие { bigl (} P in operatorname {Spec} (A) { bigr)} mapsto left ({ frac {a ; { bmod {P}}} {1}} in operatorname {Frac} (A / P) right)}

("оценка а"), который присваивает каждой точке ее отражение в поле вычетов в качестве функции на Spec А (значения которых, правда, лежат в разных полях в разных точках), то имеем

{ displaystyle e_ {a} (P) = 0 Leftrightarrow P in V (a)}

В более общем смысле, V(я) для любого идеала я это общий набор, на котором все "функции" в я исчезают, что формально аналогично классическому определению. Фактически, они согласны в том смысле, что когда А кольцо многочленов над некоторым алгебраически замкнутым полем k, максимальные идеалы А (как обсуждалось в предыдущем абзаце) идентифицируются с п-наборы элементов k, их поля вычетов просто k, а «оценочные» карты - это фактически вычисление многочленов в соответствующих п- пары. Поскольку, как показано выше, классическое определение - это, по сути, современное определение, учитывающее только максимальные идеалы, это показывает, что интерпретация современного определения как «нулевых наборов функций» согласуется с классическим определением, в котором они оба имеют смысл.

Так же, как Spec заменяет аффинные разновидности, Строительство проекта заменяет проективные многообразия в современной алгебраической геометрии. Как и в классическом случае, чтобы перейти от аффинного к проективному определению, нам нужно всего лишь заменить «идеальный» на «однородный идеал», хотя есть осложнение, связанное с «нерелевантным максимальным идеалом», которое обсуждается в цитируемой статье.

Примеры

Спектр ℤ

Спецификация k, спектр поле k - топологическое пространство с одним элементом.
Spec ℤ, спектр целые числа имеет закрытый пункт для каждого простое число п соответствующий максимальный идеал (п) ⊂ ℤ и один незамкнутый общая точка (т. е. замыканием которого является все пространство), соответствующий нулевому идеалу (0). Таким образом, замкнутые подмножества Spec ℤ - это в точности все пространство и конечные объединения замкнутых точек.
Спецификация k[т], спектр кольцо многочленов через поле k: такое кольцо многочленов называется главная идеальная область и неприводимые многочлены являются основные элементы из k[т]. Если k является алгебраически замкнутый, например, поле сложные числа непостоянный многочлен неприводим тогда и только тогда, когда он линейный, вида т − а, для некоторого элемента а из k. Итак, спектр состоит из одной замкнутой точки для каждого элемента а из k и общая точка, соответствующая нулевому идеалу, а множество замкнутых точек есть гомеоморфный с аффинная линия k оснащен топологией Зарисского. Из-за этого гомеоморфизма некоторые авторы называют аффинная линия спектр k[т]. Если k не является алгебраически замкнутым, например, поле действительные числа картина усложняется из-за существования нелинейных неприводимых многочленов. Например, спектр ℝ [т] состоит из замкнутых точек (Икс − а), за а в замкнутые точки (Икс² + px + q) куда п, q находятся в ℝ и с отрицательным дискриминант п² − 4q <0, и, наконец, общая точка (0). Для любого поля замкнутые подмножества Spec k[т] - конечные объединения замкнутых точек и всего пространства. (Это ясно из приведенного выше обсуждения для алгебраически замкнутых полей. Доказательство общего случая требует некоторого коммутативная алгебра, а именно тот факт, что Измерение Крулля из k[т] один - см. Теорема Крулля о главном идеале ).

Характеристики

Наиболее резкое изменение топологии от классической картины к новой состоит в том, что точки больше не обязательно закрыты; расширив определение, Гротендик ввел общие точки, которые являются точками с максимальным замыканием, то есть минимальные простые идеалы. Замкнутые точки соответствуют максимальным идеалам А. Однако спектр и проективный спектр все еще остаются Т₀ пробелы: даны два балла п, Q, которые являются основными идеалами А, по крайней мере, один из них, скажем п, не содержит другого. потом D(Q) содержит п но, конечно, не Q.

Как и в классической алгебраической геометрии, любой спектр или проективный спектр является (квази) компактным, и если рассматриваемое кольцо нётерово, то пространство является нётеровым пространством. Однако эти факты противоречат здравому смыслу: обычно мы не ожидаем открытых множеств, кроме связанные компоненты, быть компактным, а для аффинных многообразий (например, евклидова пространства) мы даже не ожидаем компактности самого пространства. Это один из примеров геометрической непригодности топологии Зарисского. Гротендик решил эту проблему, определив понятие правильность из схема (фактически, морфизма схем), который восстанавливает интуитивное представление о компактности: Proj является правильным, а Spec - нет.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МИСТЕР 0463157, OCLC 13348052
Тодд Роуленд. «Топология Зарисского». MathWorld.

[1] Мамфорд, Дэвид (1999) [1967], Красная книга разновидностей и схем, Конспект лекций по математике, 1358 (расширено, включает лекции в Мичигане (1974) по кривым и их якобианцам под ред.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / b62130, ISBN 978-3-540-63293-1, МИСТЕР 1748380

[2] Dummit, D. S .; Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Вайли. С. 71–72. ISBN 9780471433347.

[1]

[2]

Топология Зарисского - Zariski topology

Содержание

Топология многообразий Зарисского

Аффинные разновидности

Проективные многообразия

Характеристики

Спектр кольца

Примеры

Характеристики

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение