Спектр кольца - Википедия - Spectrum of a ring

В алгебра и алгебраическая геометрия, то спектр из коммутативное кольцо р, обозначаемый ${ displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ , это набор всех главные идеалы из р. Обычно его дополняют Топология Зарисского и со структурой пучок превратив его в локально окольцованное пространство. Локально окольцованное пространство такого вида называется аффинная схема.

Топология Зарисского

Для любого идеальный я из р, определять ${ displaystyle V_ {I}}$ быть множеством простых идеалов, содержащим я. Мы можем поставить топологию на ${ displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ путем определения сборник закрытых наборов быть

{ displaystyle {V_ {I} двоеточие I { text {является идеалом}} R }.}

Эта топология называется Топология Зарисского.

А основа для топологии Зарисского можно построить следующим образом. За ж ∈ р, определять D_ж быть множеством простых идеалов р не содержащий ж. Тогда каждый D_ж открытое подмножество ${ displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ , и ${ displaystyle {D_ {f}: f in R }}$ является основой топологии Зарисского.

${ displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ это компактное пространство, но почти никогда Хаусдорф: на самом деле максимальные идеалы в р в точности замкнутые точки в этой топологии. По тем же соображениям, в общем, это не Т₁ Космос.^[1] Тем не мение, ${ displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ всегда Колмогоровское пространство (удовлетворяет T₀ аксиома); это также спектральное пространство.

Связки и схемы

Учитывая пространство ${ Displaystyle X = OperatorName {Spec} (R)}$ с топологией Зариского структурный пучок О_Икс определено на выделенных открытых подмножествах D_ж положив Γ (D_ж, О_Икс) = р_ж, то локализация из р силами ж. Можно показать, что это определяет B-связка и поэтому он определяет пучок. Более подробно, выделенные открытые подмножества представляют собой основа топологии Зарисского, поэтому для произвольного открытого множества U, записанный как объединение {D_фи}_я∈я, положим Γ (U,О_Икс) = lim_я∈я р_фи. Можно проверить, что этот предпучок является пучком, поэтому ${ displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ это окольцованное пространство. Любое окольцованное пространство, изоморфное одной из этих форм, называется аффинная схема. Общий схемы получаются склейкой аффинных схем.

Аналогично для модуля M над кольцом р, мы можем определить пучок ${ displaystyle { tilde {M}}}$ на ${ displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ . На выделенных открытых подмножествах Γ (D_ж, ${ displaystyle { tilde {M}}}$ ) = M_ж, с использованием локализация модуля. Как и выше, эта конструкция распространяется на предпучок на всех открытых подмножествах ${ displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ и удовлетворяет аксиомам склеивания. Пучок такой формы называется квазикогерентный пучок.

Если п это точка в ${ displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ , то есть простой идеал, то стержень структурного пучка в точке п равно локализация из р в идеале п, а это местное кольцо. Как следствие, ${ displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ это локально окольцованное пространство.

Если р является областью целостности, с полем дробей K, то можно описать кольцо Γ (U,О_Икс) более конкретно следующим образом. Мы говорим, что элемент ж в K регулярно в какой-то момент п в Икс если его можно представить в виде дроби ж = а/б с б не в п. Обратите внимание, что это согласуется с понятием обычная функция в алгебраической геометрии. Используя это определение, мы можем описать Γ (U,О_Икс) как и множество элементов K которые регулярны в каждой точке п в U.

Функциональная перспектива

Полезно использовать язык теория категорий и обратите внимание, что ${ displaystyle operatorname {Spec}}$ это функтор. Каждый гомоморфизм колец ${ displaystyle f: R to S}$ вызывает непрерывный карта ${ displaystyle operatorname {Spec} (f): operatorname {Spec} (S) to operatorname {Spec} (R)}$ (поскольку прообраз любого простого идеала в ${ displaystyle S}$ главный идеал в ${ displaystyle R}$ ). Таким образом, ${ displaystyle operatorname {Spec}}$ можно рассматривать как контравариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию топологических пространств. Более того, для каждого простого числа ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ гомоморфизм ${ displaystyle f}$ спускается до гомоморфизмов

{ displaystyle { mathcal {O}} _ {f ^ {- 1} ({ mathfrak {p}})} to { mathcal {O}} _ { mathfrak {p}}}

местных колец. Таким образом ${ displaystyle operatorname {Spec}}$ даже определяет контравариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию локально окольцованные пространства. Фактически, это универсальный такой функтор, поэтому его можно использовать для определения функтора ${ displaystyle operatorname {Spec}}$ с точностью до естественного изоморфизма.^{[нужна цитата ]}

Функтор ${ displaystyle operatorname {Spec}}$ дает контравариантную эквивалентность между категория коммутативных колец и категория аффинных схем; каждая из этих категорий часто рассматривается как противоположная категория другого.

Мотивация из алгебраической геометрии

Следуя примеру, в алгебраическая геометрия один учится алгебраические множества, т.е. подмножества K^п (куда K является алгебраически замкнутое поле ), которые определяются как общие нули набора многочлены в п переменные. Если А является таким алгебраическим множеством, рассматривается коммутативное кольцо р всех полиномиальных функций А → K. В максимальные идеалы из р соответствуют точкам А (потому что K алгебраически замкнуто), а главные идеалы из р соответствуют подмножества из А (алгебраическое множество называется несводимый или многообразие, если оно не может быть записано как объединение двух собственных алгебраических подмножеств).

Спектр р поэтому состоит из точек А вместе с элементами для всех подмногообразий А. Пункты А замкнуты в спектре, а элементы, соответствующие подмногообразиям, имеют замыкание, состоящее из всех их точек и подмногообразий. Если принять во внимание только точки А, т.е. максимальные идеалы в р, то топология Зарисского, определенная выше, совпадает с топологией Зарисского, определенной на алгебраических множествах (которая имеет в точности алгебраические подмножества как замкнутые множества). В частности, максимальные идеалы в р, т.е. ${ displaystyle operatorname {MaxSpec} (R)}$ вместе с топологией Зарисского гомеоморфна А также с топологией Зарисского.

Таким образом, можно увидеть топологическое пространство ${ displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ как «обогащение» топологического пространства А (с топологией Зарисского): для каждого подмногообразия Авведена еще одна незамкнутая точка, которая «отслеживает» соответствующее подмногообразие. Можно думать об этом как о общая точка для подмногообразия. Кроме того, связка на ${ displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ и пучок полиномиальных функций на А по сути идентичны. Изучая спектры колец многочленов вместо алгебраических множеств с топологией Зарисского, можно обобщить понятия алгебраической геометрии на неалгебраически замкнутые поля и не только, в конечном итоге придя к языку схемы.

Примеры

Аффинная схема ${ displaystyle operatorname {Spec} ( mathbb {Z})}$ последний объект в категории аффинных схем, поскольку ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ - исходный объект в категории коммутативных колец.
Аффинная схема ${ displaystyle mathbb {A} _ { mathbb {C}} ^ {n} = operatorname {Spec} ( mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}])}$ является теоретико-схемным аналогом ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ . С точки зрения функтора точек точка ${ displaystyle ( alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n}) in mathbb {C} ^ {n}}$ можно отождествить с оценочным морфизмом ${ displaystyle mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}] { xrightarrow {ev _ {( alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n})}}}} mathbb {C}}$ . Это фундаментальное наблюдение позволяет нам придать смысл другим аффинным схемам.
${ displaystyle operatorname {Spec} ( mathbb {C} [x, y] / (xy))}$ выглядит топологически как поперечное пересечение двух сложных плоскостей в точке, хотя обычно это изображается как ${ displaystyle +}$ поскольку единственные корректно определенные морфизмы к ${ displaystyle mathbb {C}}$ оценочные морфизмы, связанные с точками ${ displaystyle {( alpha _ {1}, 0), (0, alpha _ {2}): alpha _ {1}, alpha _ {2} in mathbb {C} }}$ .
Простой спектр Логическое кольцо (например, кольцо питания ) является (Хаусдорфом) компактное пространство.^[2]
(М. Хохстер) Топологическое пространство гомеоморфно простому спектру коммутативного кольца (т. Е. спектральное пространство ) тогда и только тогда, когда он квазикомпактен, квазиотделенный и трезвый.^[3]

Неаффинные примеры

Вот несколько примеров схем, которые не являются аффинными схемами. Они построены из склеивания аффинных схем.

Проективный ${ displaystyle n}$ -Космос ${ displaystyle mathbb {P} _ {k} ^ {n} = operatorname {Proj} k [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$ над полем ${ displaystyle k}$ . Это можно легко обобщить на любое базовое кольцо, см. Строительство проекта (фактически, мы можем определить проективное пространство для любой базовой схемы). Проективный ${ displaystyle n}$ -Пространство для ${ Displaystyle п geq 1}$ не является аффинным как глобальная секция ${ displaystyle mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$ является ${ displaystyle k}$ .
Аффинная плоскость минус начало координат.^[4] Внутри ${ displaystyle mathbb {A} _ {k} ^ {2} = operatorname {Spec} , k [x, y]}$ выделяются открытые аффинные подсхемы ${ displaystyle D_ {x}, D_ {y}}$ . Их союз ${ Displaystyle D_ {x} чашка D_ {y} = U}$ - аффинная плоскость с вынесенным началом. Глобальные разделы ${ displaystyle U}$ пары многочленов на ${ displaystyle D_ {x}, D_ {y}}$ которые ограничиваются одним и тем же полиномом на ${ displaystyle D_ {xy}}$ , который можно показать как ${ Displaystyle к [х, у]}$ , глобальный раздел ${ displaystyle mathbb {A} _ {k} ^ {2}}$ . ${ displaystyle U}$ не аффинно как ${ Displaystyle V _ {(x)} cap V _ {(y)} = varnothing}$ в ${ displaystyle U}$ .

Топологии, отличные от Зарисского на простом спектре

Некоторые авторы (особенно М. Хохстер) рассматривают топологии на простых спектрах, отличные от топологии Зарисского.

Во-первых, это понятие конструктивная топология: дано кольцо А, подмножества ${ displaystyle operatorname {Spec} (A)}$ формы ${ displaystyle varphi ^ {*} ( operatorname {Spec} B), varphi: от A до B}$ удовлетворяют аксиомам замкнутых множеств в топологическом пространстве. Эта топология на ${ displaystyle operatorname {Spec} (A)}$ называется конструктивной топологией.^[5]^[6]

В (Хохстер 1969 ), Хохстер рассматривает то, что он называет топологией заплат на простом спектре.^[7]^[8]^[9] По определению, патч-топология - это наименьшая топология, в которой наборы форм ${ Displaystyle V (I)}$ и ${ displaystyle operatorname {Spec} (A) -V (f)}$ закрыты.

Глобальная или относительная спецификация

Существует относительная версия функтора ${ displaystyle operatorname {Spec}}$ называется глобальным ${ displaystyle operatorname {Spec}}$ , или родственник ${ displaystyle operatorname {Spec}}$ . Если ${ displaystyle S}$ схема, то относительная ${ displaystyle operatorname {Spec}}$ обозначается ${ displaystyle { underline { operatorname {Spec}}} _ {S}}$ или же ${ displaystyle mathbf {Spec} _ {S}}$ . Если ${ displaystyle S}$ ясно из контекста, то относительный Spec можно обозначить как ${ displaystyle { underline { operatorname {Spec}}}}$ или же ${ displaystyle mathbf {Spec}}$ . Для схемы ${ displaystyle S}$ и квазикогерентный пучок ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {S}}$ -алгебры ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ , есть схема ${ displaystyle { underline { operatorname {Spec}}} _ {S} ({ mathcal {A}})}$ и морфизм ${ displaystyle f: { underline { operatorname {Spec}}} _ {S} ({ mathcal {A}}) to S}$ так что для каждого открытого аффинного ${ displaystyle U substeq S}$ , существует изоморфизм ${ displaystyle f ^ {- 1} (U) cong operatorname {Spec} ({ mathcal {A}} (U))}$ , и такие, что для открытых аффинных ${ Displaystyle V substeq U}$ , включение ${ Displaystyle f ^ {- 1} (V) к f ^ {- 1} (U)}$ индуцировано отображением ограничения ${ Displaystyle { mathcal {A}} (U) to { mathcal {A}} (V)}$ . То есть, поскольку гомоморфизмы колец индуцируют противоположные отображения спектров, отображения ограничения пучка алгебр индуцируют отображения включения спектров, составляющих Спецификация связки.

Global Spec обладает универсальным свойством, аналогичным универсальному свойству для обычного Spec. Точнее, так же, как Spec и глобальный функтор сечения являются контравариантными правыми сопряжениями между категорией коммутативных колец и схем, глобальный Spec и функтор прямого изображения для структурного отображения являются контравариантными правыми сопряжениями между категорией коммутативных ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {S}}$ -алгебры и схемы над ${ displaystyle S}$ .^{[сомнительный – обсуждать]} В формулах

{ displaystyle operatorname {Hom} _ {{ mathcal {O}} _ {S} { text {-alg}}} ({ mathcal {A}}, pi _ {*} { mathcal {O }} _ {X}) cong operatorname {Hom} _ {{ text {Sch}} / S} (X, mathbf {Spec} ({ mathcal {A}})),}

куда ${ displaystyle pi двоеточие X to S}$ это морфизм схем.

Пример относительной спецификации

Относительная спецификация - это правильный инструмент для параметризации семейства линий через начало координат. ${ Displaystyle mathbb {A} _ { mathbb {C}} ^ {2}}$ над ${ displaystyle X = mathbb {P} _ {a, b} ^ {1}.}$ Рассмотрим пучок алгебр ${ Displaystyle { mathcal {A}} = { mathcal {O}} _ {X} [x, y],}$ и разреши ${ displaystyle { mathcal {I}} = (ay-bx)}$ быть пучком идеалов ${ displaystyle { mathcal {A}}.}$ Тогда относительная спецификация ${ displaystyle { underline { operatorname {Spec}}} _ {X} ({ mathcal {A}} / { mathcal {I}}) to mathbb {P} _ {a, b} ^ { 1}}$ параметризует желаемое семейство. Фактически, волокно закончилось ${ displaystyle [ alpha: beta]}$ линия, проходящая через начало ${ displaystyle mathbb {A} ^ {2}}$ содержащий точку ${ Displaystyle ( альфа, бета).}$ Предполагая ${ displaystyle alpha neq 0,}$ волокно можно рассчитать, посмотрев на состав диаграмм обратного движения

{ displaystyle { begin {matrix} operatorname {Spec} left ({ frac { mathbb {C} [x, y]} { left (y - { frac { beta} { alpha}}) x right)}} right) & to & operatorname {Spec} left ({ frac { mathbb {C} left [{ frac {b} {a}} right] [x, y ]} { left (y - { frac {b} {a}} x right)}} right) & to & { underline { operatorname {Spec}}} _ {X} left ({ frac {{ mathcal {O}} _ {X} [x, y]} { left (ay-bx right)}} right) downarrow && downarrow && downarrow operatorname { Spec} ( mathbb {C}) & to & operatorname {Spec} left ( mathbb {C} left [{ frac {b} {a}} right] right) = U_ {a} & к & mathbb {P} _ {a, b} ^ {1} end {matrix}}}

где композиция нижних стрелок

{ displaystyle operatorname {Spec} ( mathbb {C}) { xrightarrow {[ alpha: beta]}} mathbb {P} _ {a, b} ^ {1}}

дает строку, содержащую точку ${ Displaystyle ( альфа, бета)}$ и происхождение. Этот пример можно обобщить для параметризации семейства линий через начало координат ${ Displaystyle mathbb {A} _ { mathbb {C}} ^ {п + 1}}$ над ${ displaystyle X = mathbb {P} _ {a_ {0}, ..., a_ {n}} ^ {n}}$ позволяя ${ displaystyle { mathcal {A}} = { mathcal {O}} _ {X} [x_ {0}, ..., x_ {n}]}$ и ${ displaystyle { mathcal {I}} = left (2 times 2 { text {minors of}} { begin {pmatrix} a_ {0} & cdots & a_ {n} x_ {0} & cdots & x_ {n} end {pmatrix}} right).}$

Перспектива теории представлений

С точки зрения теория представлений, главный идеал я соответствует модулю р/я, а спектр кольца соответствует неприводимым циклическим представлениям Р, в то время как более общие подмногообразия соответствуют возможно приводимым представлениям, которые не обязательно должны быть циклическими. Напомним, что абстрактно теория представлений группы - это изучение модулей над ее групповая алгебра.

Связь с теорией представлений станет более ясной, если учесть кольцо многочленов ${ Displaystyle R = К [x_ {1}, dots, x_ {n}]}$ или, без основания, ${ displaystyle R = K [V].}$ Как ясно из последней формулировки, кольцо многочленов - это групповая алгебра над векторное пространство, и писать в терминах ${ displaystyle x_ {i}}$ соответствует выбору основы для векторного пространства. Тогда идеал Я, или эквивалентно модуль ${ displaystyle R / I,}$ является циклическим представлением р (циклическое значение, порожденное 1 элементом как р-модуль; это обобщает одномерные представления).

В случае, когда поле алгебраически замкнуто (скажем, комплексные числа), каждому максимальному идеалу соответствует точка в п-пространство, nullstellensatz (максимальный идеал, порожденный ${ displaystyle (x_ {1} -a_ {1}), (x_ {2} -a_ {2}), ldots, (x_ {n} -a_ {n})}$ соответствует точке ${ Displaystyle (а_ {1}, ldots, а_ {п})}$ ). Эти представления ${ displaystyle K [V]}$ тогда параметризуются дуальным пространством ${ displaystyle V ^ {*},}$ ковектор дается путем отправки каждого ${ displaystyle x_ {i}}$ к соответствующему ${ displaystyle a_ {i}}$ . Таким образом, представление ${ displaystyle K ^ {n}}$ (K-линейные карты ${ displaystyle K ^ {n} to K}$ ) задается набором п числа, или, что то же самое, ковектор ${ displaystyle K ^ {n} to K.}$

Таким образом, точки в п-пространство, рассматриваемое как максимальная спецификация ${ Displaystyle R = К [x_ {1}, dots, x_ {n}],}$ в точности соответствуют одномерным представлениям Р, в то время как конечные множества точек соответствуют конечномерным представлениям (которые сводимы, геометрически соответствуют тому, что они являются объединением, а алгебраически - не являются первичным идеалом). Тогда немаксимальные идеалы соответствуют бесконечный-мерные представления.

Перспектива функционального анализа

Термин «спектр» происходит от использования в теория операторов.Данный линейный оператор Т на конечномерном векторном пространстве V, можно рассматривать векторное пространство с оператором как модуль над кольцом многочленов от одной переменной р=K[Т], как в структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов. Тогда спектр K[Т] (как кольцо) равен спектру Т (как оператор).

Кроме того, геометрическая структура спектра кольца (эквивалентно алгебраическая структура модуля) отражает поведение спектра оператора, такое как алгебраическая кратность и геометрическая кратность. Например, для единичной матрицы 2 × 2 есть соответствующий модуль:

{ Displaystyle К [Т] / (Т-1) oplus К [Т] / (Т-1)}

нулевая матрица 2 × 2 имеет модуль

{ Displaystyle К [Т] / (Т-0) oplus К [Т] / (Т-0),}

показывающая геометрическую кратность 2 для нулевого собственного значения, в то время как нетривиальная нильпотентная матрица 2 × 2 имеет модуль

{ Displaystyle К [Т] / Т ^ {2},}

показывая алгебраическую кратность 2, но геометрическую кратность 1.

Более подробно:

собственные значения (с геометрической кратностью) оператора соответствуют (приведенным) точкам многообразия с кратностью;
первичная декомпозиция модуля соответствует нередуцированным точкам многообразия;
диагонализуемый (полупростой) оператор соответствует редуцированному многообразию;
циклический модуль (один генератор) соответствует оператору, имеющему циклический вектор (вектор, орбита которого под Т охватывает пространство);
последний инвариантный фактор модуля равна минимальный многочлен оператора, а произведение инвариантных множителей равно характеристический многочлен.

Обобщения

Спектр можно обобщить с колец на C * -алгебры в теория операторов, что дает понятие спектр C * -алгебры. В частности, для Пространство Хаусдорфа, то алгебра скаляров (ограниченные непрерывные функции на пространстве, аналогичные регулярным функциям) есть коммутативный C * -алгебра, где пространство восстанавливается как топологическое пространство из ${ displaystyle operatorname {MaxSpec}}$ алгебры скаляров, действительно так функционально; это содержание Теорема Банаха – Стоуна. В самом деле, любая коммутативная C * -алгебра может быть реализована таким образом как алгебра скаляров хаусдорфова пространства, обеспечивая такое же соответствие, как между кольцом и его спектром. Обобщая на не-коммутативная C * -алгебра дает некоммутативная топология.

Смотрите также

внешняя ссылка

Кевин Р. Кумбс: Спектр кольца
http://stacks.math.columbia.edu/tag/01LL, относительная спецификация
Майлз Рид. "Коммутативная алгебра для студентов" (PDF). п. 22. Архивировано из оригинал (PDF) 14 апреля 2016 г.

[1] СРЕДНИЙ. Архангельский, Л. Понтрягина (ред.) Общая топология I (1990) Спрингер-Верлаг ISBN 3-540-18178-4 (См. Пример 21, раздел 2.6.)

[2] Атья и Макдональд, Гл. 1. Упражнение 23. (iv).

[3] М. Хохстер (1969). Структура простых идеалов в коммутативных кольцах. Пер. Амер. Математика. Soc., 142 43—60

[4] Р. Вакиль, Основы алгебраической геометрии (см. главу 4, пример 4.4.1)

[5] Атийха – Макдональд, Гл. 5, упражнение 27.

[6] Таризаде, Абольфазл (11.04.2018). «Плоская топология и ее аспекты двойственности». arXiv:1503.04299 [math.AC ].

[7] ttp://mat.uab.cat/~kock/cat/spec.pdf

[8] М. Фонтана и К. А. Лопер, Топология заплаты и топология ультрафильтров на простом спектре коммутативного кольца, Comm. Алгебра 36 (2008), 2917–2922.

[9] Вилли Брандаль, Коммутативные кольца, конечно порожденные модули которых разлагаются

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]