Представление алгебры - Algebra representation

В абстрактная алгебра, а представление ассоциативная алгебра это модуль для этой алгебры. Здесь ассоциативная алгебра - это (не обязательно единый ) звенеть. Если алгебра не унитальна, ее можно сделать стандартным способом (см. присоединенные функторы страница); нет существенной разницы между модулями для результирующего кольца с единицей, в котором тождество действует посредством тождественного отображения, и представлениями алгебры.

Примеры

Линейная сложная структура

Один из простейших нетривиальных примеров - это линейная сложная структура, который является представлением сложные числа C, рассматриваемую как ассоциативную алгебру над действительные числа р. Эта алгебра конкретно реализуется как ${ Displaystyle mathbb {C} = mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1),}$ что соответствует $я 2 = -1$ . Тогда представление C это реальное векторное пространство Vвместе с действием C на V (карта ${ Displaystyle mathbb {C} to mathrm {Конец} (V)}$ ). Конкретно это просто действие $я$ , поскольку это порождает алгебру, а оператор, представляющий $я$ (изображение $я$ в конце (V)) обозначается J чтобы избежать путаницы с единичная матрица я.

Полиномиальные алгебры

Другой важный базовый класс примеров - это представления полиномиальные алгебры, свободные коммутативные алгебры - они составляют центральный объект изучения в коммутативная алгебра и его геометрический аналог, алгебраическая геометрия. Представление алгебры многочленов в $k$ переменные над полем K конкретно K-векторное пространство с $k$ коммутирующие операторы, и часто обозначают ${ displaystyle K [T_ {1}, dots, T_ {k}],}$ имея в виду представление абстрактной алгебры ${ Displaystyle К [x_ {1}, точки, x_ {k}]}$ куда ${ displaystyle x_ {i} mapsto T_ {i}.}$

Основной результат о таких представлениях состоит в том, что над алгебраически замкнутым полем представляющие матрицы имеют вид одновременно треугольный.

Интересен даже случай представлений алгебры полиномов от одной переменной - это обозначается ${ displaystyle K [T]}$ и используется для понимания структуры одного линейного оператора в конечномерном векторном пространстве. В частности, применяя структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов к этой алгебре дает как следствия различные канонические формы матриц, такие как Иорданская каноническая форма.

В некоторых подходах к некоммутативная геометрия свободная некоммутативная алгебра (многочлены от некоммутирующих переменных) играет аналогичную роль, но анализ намного сложнее.

Вес

Собственные значения и собственные векторы можно обобщить на представления алгебры.

Обобщение собственное значение представления алгебры является, а не единственным скаляром, одномерным представлением ${ Displaystyle лямбда двоеточие от до R}$ (т.е. гомоморфизм алгебры от алгебры к ее основному кольцу: a линейный функционал это тоже мультипликативный).^{[примечание 1]} Это известно как масса, а аналог собственного вектора и собственного подпространства называются вектор веса и весовое пространство.

Случай собственного значения одного оператора соответствует алгебре ${ displaystyle R [T],}$ и карту алгебр ${ displaystyle R [T] to R}$ определяется, какой скаляр отображает генератор Т к. Весовой вектор для представления алгебры - это вектор, такой, что любой элемент алгебры отображает этот вектор в кратное себе - одномерный подмодуль (подпредставление). Как спаривание ${ displaystyle A times M to M}$ билинейно, "кратное" - это А-линейный функционал А (карта алгебры А → р), а именно вес. В символах весовой вектор - это вектор ${ displaystyle m in M}$ такой, что ${ displaystyle am = lambda (a) m}$ для всех элементов ${ displaystyle a in A,}$ для некоторого линейного функционала ${ displaystyle lambda}$ - обратите внимание, что слева умножение - это действие алгебры, а справа умножение - это скалярное умножение.

Поскольку вес - это отображение в коммутативное кольцо, отображение факторизуется через абелианизацию алгебры ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ - эквивалентно исчезает на производная алгебра - в терминах матриц, если ${ displaystyle v}$ является общим собственным вектором операторов ${ displaystyle T}$ и ${ displaystyle U}$ , тогда ${ displaystyle TUv = UTv}$ (потому что в обоих случаях это просто умножение на скаляры), поэтому общие собственные векторы алгебры должны находиться в наборе, на котором алгебра действует коммутативно (которое аннулируется производной алгеброй). Таким образом, центральный интерес представляют свободные коммутативные алгебры, а именно полиномиальные алгебры. В этом особенно простом и важном случае алгебры многочленов ${ displaystyle mathbf {F} [T_ {1}, dots, T_ {k}]}$ в наборе коммутирующих матриц весовой вектор этой алгебры является одновременный собственный вектор матриц, а вес этой алгебры - это просто ${ displaystyle k}$ -набор скаляров ${ displaystyle lambda = ( lambda _ {1}, dots, lambda _ {k})}$ соответствующему собственному значению каждой матрицы, и, следовательно, геометрически точке в ${ displaystyle k}$ -Космос. Эти веса - в особенности их геометрия - имеют решающее значение для понимания теория представлений алгебр Ли в частности конечномерные представления полупростых алгебр Ли.

В качестве приложения этой геометрии дана алгебра, которая является фактором алгебры многочленов на ${ displaystyle k}$ генераторов, он геометрически соответствует алгебраическое многообразие в ${ displaystyle k}$ -мерное пространство, и вес должен приходиться на многообразие, т. е. он удовлетворяет определяющим уравнениям для многообразия. Это обобщает тот факт, что собственные значения удовлетворяют характеристическому многочлену матрицы от одной переменной.

Смотрите также

Примечания

^ Обратите внимание, что для поля алгебра эндоморфизмов одномерного векторного пространства (линия) канонически равна базовому полю: End (L) = K, поскольку все эндоморфизмы являются скалярным умножением; таким образом, нет потери в ограничении конкретными отображениями в базовом поле, а не абстрактными одномерными представлениями. Для колец есть также отображения на кольца частных, которые не нуждаются в факторизации через отображения на само кольцо, но, опять же, абстрактные одномерные модули не нужны.