Теория представлений алгебр Хопфа - Representation theory of Hopf algebras

Эта статья не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. Найдите источники: «Теория представлений алгебр Хопфа»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Декабрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В абстрактная алгебра, а представление Алгебра Хопфа это представление лежащих в основе ассоциативная алгебра. То есть представление алгебры Хопфа ЧАС над полем K это K-векторное пространство V с действие ЧАС × V → V обычно обозначается противопоставлением (то есть изображение (час,v) написано hv ). Векторное пространство V называется ЧАС-модуль.

Характеристики

Модульная структура представления алгебры Хопфа ЧАС это просто его структура как модуль основной ассоциативной алгебры. Основное использование рассмотрения дополнительной структуры алгебры Хопфа - рассмотрение всех ЧАС-модули как категория. Дополнительная структура также используется для определения инвариантных элементов ЧАС-модуль V. Элемент v в V является инвариантный под ЧАС если для всех час в ЧАС, hv = ε (час)v, где ε - графство из ЧАС. Подмножество всех инвариантных элементов V образует подмодуль V.

Категории представлений как мотивация алгебр Хопфа

Для ассоциативной алгебры ЧАС, то тензорное произведение V₁ ⊗ V₂ из двух ЧАС-модули V₁ и V₂ является векторным пространством, но не обязательно ЧАС-модуль. Чтобы тензорное произведение было функториальный эксплуатация продукта на ЧАС-модулей должна быть линейная бинарная операция Δ: ЧАС → ЧАС ⊗ ЧАС такой, что для любого v в V₁ ⊗ V₂ и любой час в ЧАС,

${ displaystyle hv = Delta h (v _ {(1)} otimes v _ {(2)}) = h _ {(1)} v _ {(1)} otimes h _ {(2)} v _ {(2) },}$

и для любого v в V₁ ⊗ V₂ и а и б в ЧАС,

${ Displaystyle Delta (ab) (v _ {(1)} otimes v _ {(2)}) = (ab) v = a [b [v]] = Delta a [ Delta b (v _ {(1 )} otimes v _ {(2)})] = ( Delta a) ( Delta b) (v _ {(1)} otimes v _ {(2)}).}$

используя бессмысленный Обозначение Свидлера, который чем-то похож на безиндексную форму Соглашение о суммировании Эйнштейна. Это выполняется, если существует Δ такое, что Δ (ab) = Δ (а) Δ (б) для всех а, б в ЧАС.

Для категории ЧАС-модули должны быть строгими моноидальная категория относительно, ${ displaystyle V_ {1} otimes (V_ {2} otimes V_ {3})}$ и ${ displaystyle (V_ {1} otimes V_ {2}) otimes V_ {3}}$ должен быть эквивалентным и должен существовать единичный объект ε_ЧАС, называемый тривиальным модулем, такой, что ε_ЧАС ⊗ V, V и V ⊗ ε_ЧАС эквивалентны.

Это означает, что для любого v в

${ displaystyle V_ {1} otimes (V_ {2} otimes V_ {3}) = (V_ {1} otimes V_ {2}) otimes V_ {3}}$

и для час в ЧАС,

${ displaystyle (( Operatorname {id} otimes Delta) Delta h) (v _ {(1)} otimes v _ {(2)} otimes v _ {(3)}) = h _ {(1)} v _ {(1)} otimes h _ {(2) (1)} v _ {(2)} otimes h _ {(2) (2)} v _ {(3)} = hv = (( Delta otimes имя оператора {id}) Delta h) (v _ {(1)} otimes v _ {(2)} otimes v _ {(3)}).}$

Это будет справедливо для любых трех ЧАС-модули, если Δ удовлетворяет

${ displaystyle ( operatorname {id} otimes Delta) Delta A = ( Delta otimes operatorname {id}) Delta A.}$

Тривиальный модуль должен быть одномерным, поэтому гомоморфизм алгебр ε: ЧАС → F можно определить так, что hv = ε (час)v для всех v в ε_ЧАС. Тривиальный модуль можно отождествить с F, где 1 - такой элемент, что 1 ⊗ v = v = v ⊗ 1 для всех v. Отсюда следует, что для любого v в любом ЧАС-модуль V, любой c в ε_ЧАС и любой час в ЧАС,

${ displaystyle ( varepsilon (h _ {(1)}) h _ {(2)}) cv = h _ {(1)} c otimes h _ {(2)} v = h (c otimes v) = h ( cv) = (h _ {(1)} varepsilon (h _ {(2)})) cv.}$

Существование гомоморфизма алгебр ε, удовлетворяющего

${ Displaystyle varepsilon (час _ {(1)}) час _ {(2)} = час = час _ {(1)} varepsilon (час _ {(2)})}$

является достаточным условием существования тривиального модуля.

Отсюда следует, что для категории ЧАС-модулей быть моноидальной категорией по отношению к тензорному произведению, достаточно, чтобы ЧАС иметь отображения Δ и ε, удовлетворяющие этим условиям. Это мотивация для определения биалгебра, где Δ называется коумножение а ε называется графство.

Для каждого ЧАС-модуль V иметь двойное представительство V такие, что лежащие в основе векторные пространства двойственны, а операция * функториальна над моноидальной категорией ЧАС-модули, должна быть линейная карта S : ЧАС → ЧАС такой, что для любого час в ЧАС, Икс в V и у в V *,

${ Displaystyle langle y, S (h) x rangle = langle hy, x rangle.}$

куда ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ это обычный спаривание двойственных векторных пространств. Если карта ${ displaystyle varphi: V otimes V ^ {*} rightarrow varepsilon _ {H}}$ индуцированный спариванием, должен быть ЧАС-гомоморфизм, то для любого час в ЧАС, Икс в V и у в V *,

${ Displaystyle varphi left (час (x otimes y) right) = varphi left (x otimes S (h _ {(1)}) h _ {(2)} y right) = varphi left (S (h _ {(2)}) h _ {(1)} x otimes y right) = h varphi (x otimes y) = varepsilon (h) varphi (x otimes y),}$

который удовлетворяется, если

${ Displaystyle S (час _ {(1)}) час _ {(2)} = varepsilon (h) = час _ {(1)} S (час _ {(2)})}$

для всех час в ЧАС.

Если есть такая карта S, то он называется антипод, и ЧАС является алгеброй Хопфа. Стремление к моноидальной категории модулей с функториальными тензорными произведениями и двойственными представлениями является, таким образом, одной из мотиваций концепции алгебры Хопфа.

Представления на алгебре

Алгебра Хопфа также имеет представления, которые несут дополнительную структуру, а именно, они являются алгебрами.

Позволять ЧАС - алгебра Хопфа. Если А является алгебра с операцией произведения μ: А ⊗ А → А, и ρ: ЧАС ⊗ А → А представляет собой представление ЧАС на А, то ρ называется представлением ЧАС на алгебре, если μ ЧАС-эквивариантный. В качестве частных случаев алгебры Ли, супералгебры и группы Ли также могут иметь представления на алгебре.

Смотрите также

• Теорема Таннаки – Крейна о реконструкции