Двойное представление - Dual representation

В математика, если грамм это группа и ρ это линейное представление об этом на векторное пространство V, то двойное представительство р * определяется над двойное векторное пространство V* следующее:[1][2]

р * (грамм) это транспонировать из ρ (грамм−1), то есть, р * (грамм) = ρ (грамм−1)Т для всех граммграмм.

Двойственное представление также известно как противоположное представление.

Если грамм это Алгебра Ли и π представляет собой его представление в векторном пространстве V, то двойственное представление π * определена над двойственным векторным пространством V* следующее:[3]

π * (Икс) = −π (Икс)Т для всех Иксграмм.

Мотивация для этого определения состоит в том, что представление алгебры Ли, связанное с двойственным представлением группы Ли, вычисляется по приведенной выше формуле. Но определение двойственного представления алгебры Ли имеет смысл, даже если оно не исходит из представления группы Ли.

В обоих случаях двойственное представление - это представление в обычном смысле.

Характеристики

Неприводимость и второе двойственное

Если (конечномерное) представление неприводимо, то двойственное представление также неприводимо.[4]- но не обязательно изоморфно исходному представлению. С другой стороны, двойственный к двойственному любому представлению изоморфен исходному представлению.

Унитарные представления

Рассмотрим унитарный представление группы , и будем работать в ортонормированном базисе. Таким образом, карты в группу унитарных матриц. Тогда абстрактное транспонирование в определении двойного представления можно отождествить с обычным транспонированием матрицы. Поскольку сопряженная матрица является комплексно сопряженной транспонированной матрицы, транспонированная матрица является сопряженной сопряженной. Таким образом, является комплексно сопряженным к элементу, обратному к . Но с тех пор считается унитарным, сопряженный к обратному к просто .

Результатом этого обсуждения является то, что при работе с унитарными представлениями в ортонормированном базисе это просто комплексное сопряжение .

Случаи SU (2) и SU (3)

В теории представлений SU (2) двойственное к каждому неприводимому представлению оказывается изоморфным представлению. Но для представления SU (3), двойственное к неприводимому представлению с меткой неприводимое представление с меткой .[5] В частности, стандартное трехмерное представление SU (3) (со старшим весом ) не изоморфна своему двойственному. в теория кварков в физической литературе стандартное представление и его двойственное называют "" и "."

Два неизоморфных двойственных представления SU (3) со старшими весами (1,2) и (2,1)

Общие полупростые алгебры Ли

В более общем плане в теория представлений полупростых алгебр Ли (или тесно связанный теория представлений компактных групп Ли ) веса двойственного представления равны негативы весов исходного представления.[6] (См. Рисунок.) Теперь для данной алгебры Ли, если это произойдет, оператор является элементом Группа Вейля, то веса каждого представления автоматически инвариантны относительно отображения . Для таких алгебр Ли каждый неприводимое представление будет изоморфно своему двойственному. (Это ситуация для SU (2), где группа Вейля .) Алгебры Ли с этим свойством включают нечетные ортогональные алгебры Ли (тип ) и симплектических алгебр Ли (тип ).

Если для данной алгебры Ли является нет в группе Вейля, то двойственное к неприводимому представлению в общем случае не будет изоморфно исходному представлению. Чтобы понять, как это работает, отметим, что всегда есть уникальный элемент группы Вейля отображение негатива фундаментальной камеры Вейля в фундаментальную камеру Вейля. Тогда, если у нас есть неприводимое представление со старшим весом , то самый низкий вес двойственного представления будет . Отсюда следует, что наибольший вес двойственного представления будет .[7] Поскольку мы предполагаем не входит в группу Вейля, не может быть , что означает, что карта это не личность. Конечно, все еще может случиться так, что для некоторых специальных вариантов выбора мы могли бы иметь . Например, присоединенное представление всегда изоморфно своему двойственному.

В случае SU (3) (или ее комплексифицированной алгебры Ли ) можно выбрать базу, состоящую из двух корней под углом 120 градусов, так что третий положительный корень . В этом случае элемент отражение относительно линии, перпендикулярной . Тогда карта это отражение о линии через .[8] Тогда самодуальные представления - это те, которые лежат вдоль линии через . Это изображения с метками вида , представляющие собой представления, весовые диаграммы которых имеют вид обычный шестиугольники.

Мотивация

В теории представлений оба вектора в V и линейные функционалы в V* рассматриваются как вектор-столбец так что представление может действовать (умножением матриц) из оставили. Учитывая основу для V и двойная основа для V*, действие линейного функционала φ на v, φ (v) можно выразить умножением матриц,

,

где верхний индекс Т транспонированная матрица. Последовательность требует

[9]

Учитывая данное определение,

Для представления алгебры Ли выбирается согласованность с возможным представлением группы. Обычно, если Π является представлением группы Ли, то π данный

является представлением своей алгебры Ли. Если Π * двойственен Π, то соответствующее ему представление алгебры Ли π * дан кем-то

   [10]

Пример

Рассмотрим группу комплексных чисел абсолютного значения 1. Все неприводимые представления одномерны, как следствие Лемма Шура. Неприводимые представления параметризованы целыми числами и задано явно как

Двойственное представление тогда является обратным транспонированию этой матрицы по порядку, то есть

То есть двойственность представления является .

Обобщение

Общее кольцо модуль не допускает двойственного представления. Модули Алгебры Хопфа сделать, однако.

Смотрите также

Рекомендации

  • Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3319134666.
  1. ^ Лекция 1 из Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. МИСТЕР  1153249. OCLC  246650103.
  2. ^ Зал 2015 Раздел 4.3.3
  3. ^ Лекция 8 из Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. МИСТЕР  1153249. OCLC  246650103.
  4. ^ Зал 2015 Упражнение 6 главы 4
  5. ^ Зал 2015 Упражнение 3 главы 6
  6. ^ Зал 2015 Упражнение 10 главы 10
  7. ^ Зал 2015 Упражнение 10 главы 10
  8. ^ Зал 2015 Упражнение 3 главы 6
  9. ^ Лекция 1, стр. 4 из Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. МИСТЕР  1153249. OCLC  246650103.
  10. ^ Лекция 8, стр. 111 из Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. МИСТЕР  1153249. OCLC  246650103.