Тензорное произведение представлений - Tensor product of representations

В математике тензорное произведение представлений это тензорное произведение векторных пространств лежащие в основе представления вместе с факторным групповым воздействием на продукт. Эта конструкция вместе с процедурой Клебша – Гордана может быть использована для генерации дополнительных неприводимые представления если кто-то уже знает несколько.

Определение

Представительства группы

Если ${ displaystyle V_ {1}, V_ {2}}$ находятся линейные представления группы ${ displaystyle G}$ , то их тензорное произведение - это тензорное произведение векторных пространств ${ displaystyle V_ {1} otimes V_ {2}}$ с линейным действием ${ displaystyle G}$ однозначно определяется условием, что

{ Displaystyle г cdot (v_ {1} otimes v_ {2}) = (g cdot v_ {1}) otimes (g cdot v_ {2})}

^[1]^[2]

для всех ${ displaystyle v_ {1} in V_ {1}}$ и ${ displaystyle v_ {2} in V_ {2}}$ . Хотя не каждый элемент ${ displaystyle V_ {1} otimes V_ {2}}$ выражается в форме ${ displaystyle v_ {1} otimes v_ {2}}$ , то универсальная собственность операции тензорного произведения гарантирует, что это действие хорошо определено.

На языке гомоморфизмов, если действия ${ displaystyle G}$ на ${ displaystyle V_ {1}}$ и ${ displaystyle V_ {2}}$ задаются гомоморфизмами ${ Displaystyle Pi _ {1}: G rightarrow OperatorName {GL} (V_ {1})}$ и ${ displaystyle Pi _ {2}: G rightarrow operatorname {GL} (V_ {2})}$ , то представление тензорного произведения задается гомоморфизмом ${ displaystyle Pi _ {1} otimes Pi _ {2}: G rightarrow operatorname {GL} (V_ {1} otimes V_ {2})}$ данный

{ Displaystyle Pi _ {1} otimes Pi _ {2} (g) = Pi _ {1} (g) otimes Pi _ {2} (g)}

,

куда ${ Displaystyle Pi _ {1} (г) otimes Pi _ {2} (г)}$ это тензорное произведение линейных отображений.^[3]

Понятие тензорных произведений можно распространить на любое конечное число представлений. Если V является линейным представлением группы грамм, то с указанным выше линейным действием тензорная алгебра ${ Displaystyle T (V)}$ является алгебраическое представление из грамм; т.е. каждый элемент грамм действует как автоморфизм алгебры.

Представления алгебры Ли

Если ${ displaystyle (V_ {1}, pi _ {1})}$ и ${ displaystyle (V_ {2}, pi _ {2})}$ являются представлениями алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , то тензорное произведение этих представлений задается отображением ${ displaystyle pi _ {1} otimes pi _ {2}: { mathfrak {g}} rightarrow operatorname {End} (V_ {1} otimes V_ {2})}$ данный^[4]

{ displaystyle pi _ {1} otimes pi _ {2} (X) = pi _ {1} (X) otimes I + I otimes pi _ {2} (X)}

.

Мотивация для этого определения проистекает из случая, когда ${ displaystyle pi _ {1}}$ и ${ displaystyle pi _ {2}}$ происходят из представлений ${ displaystyle Pi _ {1}}$ и ${ displaystyle Pi _ {2}}$ группы Ли ${ displaystyle G}$ . В этом случае простое вычисление показывает, что представление алгебры Ли, связанное с ${ displaystyle Pi _ {1} otimes Pi _ {2}}$ дается предыдущей формулой.^[5]

Действие на линейных картах

Если ${ displaystyle (V_ {1}, Pi _ {1})}$ и ${ displaystyle (V_ {2}, Pi _ {2})}$ являются представлениями группы ${ displaystyle G}$ , позволять ${ displaystyle operatorname {Hom} (V_ {1}, V_ {2})}$ обозначим пространство всех линейных отображений из ${ displaystyle V_ {1}}$ к ${ displaystyle V_ {2}}$ . потом ${ displaystyle operatorname {Hom} (V_ {1}, V_ {2})}$ можно дать структуру представления, определив

{ displaystyle g cdot A = Pi _ {2} (g) A Pi _ {1} (g) ^ {- 1}}

для всех ${ displaystyle A in operatorname {Hom} (V, W)}$ . Теперь есть естественный изоморфизм

{ displaystyle operatorname {Hom} (V, W) cong V ^ {*} otimes W}

как векторные пространства;^[2] этот изоморфизм векторного пространства на самом деле является изоморфизмом представлений.^[6]

В тривиальное подпредставление ${ displaystyle operatorname {Hom} (V, W) ^ {G}}$ состоит из грамм-линейные карты; т.е.

{ displaystyle operatorname {Hom} _ {G} (V, W) = operatorname {Hom} (V, W) ^ {G}.}

Позволять ${ displaystyle E = operatorname {End} (V)}$ обозначим алгебру эндоморфизмов V и разреши А обозначим подалгебру в ${ displaystyle E ^ { otimes m}}$ состоящий из симметричных тензоров. В основная теорема теории инвариантов утверждает, что А является полупростой когда характеристика основного поля равна нулю.

Теория Клебша – Гордана

Общая проблема

Тензорное произведение двух неприводимых представлений ${ displaystyle V_ {1}, V_ {2}}$ группы или алгебры Ли обычно неприводима. Поэтому представляет интерес попытка разложить ${ displaystyle V_ {1} otimes V_ {2}}$ на несократимые части. Эта проблема декомпозиции известна как проблема Клебша – Гордана.

Случай SU (2)

В пример прототипа этой проблемы является случай группа вращения SO (3) —Или его двойную обложку специальная унитарная группа SU (2). Неприводимые представления SU (2) описываются параметром ${ displaystyle ell}$ , возможные значения которого

{ Displaystyle ell = 0,1 / 2,1,3 / 2, ldots.}

(Размерность представления тогда ${ displaystyle 2 ell +1}$ .) Возьмем два параметра ${ displaystyle ell}$ и ${ displaystyle m}$ с ${ displaystyle ell geq m}$ . Тогда представление тензорного произведения ${ displaystyle V _ { ell} otimes V_ {m}}$ затем разлагается следующим образом:^[7]

{ displaystyle V _ { ell} otimes V_ {m} cong V _ { ell + m} oplus V _ { ell + m-1} oplus cdots oplus V _ { ell -m + 1} oplus V _ { ell -m}.}

Рассмотрим, например, тензорное произведение четырехмерного представления ${ displaystyle V_ {3/2}}$ и трехмерное представление ${ displaystyle V_ {1}}$ . Представление тензорного произведения ${ displaystyle V_ {3/2} иногда V_ {1}}$ имеет размерность 12 и разлагается как

{ Displaystyle V_ {3/2} иногда V_ {1} cong V_ {5/2} oplus V_ {3/2} oplus V_ {1/2}}

,

где представления в правой части имеют размерность 6, 4 и 2 соответственно. Мы можем арифметически резюмировать этот результат как ${ Displaystyle 4 раз 3 = 6 + 4 + 2}$ .

Случай SU (3)

В случае группы SU (3) все неприводимые представления может быть сгенерирована из стандартного трехмерного представления и двойственного ему следующим образом. Чтобы создать представление с меткой ${ Displaystyle (м_ {1}, м_ {2})}$ , берется тензорное произведение ${ displaystyle m_ {1}}$ копии стандартного представления и ${ displaystyle m_ {2}}$ копии двойственного стандартного представления, а затем берет инвариантное подпространство, порожденное тензорным произведением векторов старшего веса.^[8]

В отличие от ситуации для SU (2), в разложении Клебша – Гордана для SU (3) заданное неприводимое представление ${ displaystyle W}$ может встречаться более одного раза при разложении ${ displaystyle U otimes V}$ .

Тензорная мощность

Как и в случае с векторными пространствами, можно определить k^th тензорная мощность представительства V быть векторным пространством ${ displaystyle V ^ { otimes k}}$ с действием, указанным выше.

Симметричный и переменный квадрат

Над полем нулевой характеристики симметричный и чередующийся квадраты равны субпредставления второй тензорной степени. Их можно использовать для определения Индикатор Фробениуса – Шура, который указывает, неприводимый характер является настоящий, сложный, или же кватернионный. Они примеры Функторы Шура.Они определяются следующим образом.

Позволять V быть векторное пространство. Определить эндоморфизм (собственная карта) Т из ${ displaystyle V otimes V}$ следующее:

{ displaystyle { begin {align} T: V otimes V & longrightarrow V otimes V v otimes w & longmapsto w otimes v. end {align}}}

^[9]

Это инволюция (это его собственная инверсия), и поэтому автоморфизм (себя-изоморфизм ) из ${ displaystyle V otimes V}$ .

Определите два подмножества второго тензорная мощность из V:

{ displaystyle { begin {align} operatorname {Sym} ^ {2} (V) &: = {v in V otimes V mid T (v) = v } operatorname {Alt} ^ {2} (V) &: = {v in V otimes V mid T (v) = - v } end {align}}}

Эти симметричный квадрат V и чередующийся квадрат V, соответственно.^[10] Симметричные и чередующиеся квадраты также известны как симметричная часть и антисимметричная часть тензорного произведения.^[11]

Характеристики

Второй тензорная мощность линейного представления V группы грамм разлагается как прямая сумма симметричных и чередующихся квадратов:

{ displaystyle V ^ { otimes 2} = V otimes V cong operatorname {Sym} ^ {2} (V) oplus operatorname {Alt} ^ {2} (V)}

как представления. В частности, оба субпредставления второй тензорной степени. На языке модули над групповое кольцо, симметричный и чередующийся квадраты равны ${ Displaystyle mathbb {C} [G]}$ -подмодули из ${ displaystyle V otimes V}$ .^[12]

Если V имеет основу ${ Displaystyle {v_ {1}, v_ {2}, ldots, v_ {n} }}$ , то симметричный квадрат имеет базис ${ displaystyle {v_ {i} otimes v_ {j} + v_ {j} otimes v_ {i} mid 1 leq i leq j leq n }}$ и знакопеременный квадрат имеет основу ${ displaystyle {v_ {i} otimes v_ {j} -v_ {j} otimes v_ {i} mid 1 leq i$ . Соответственно,

{ Displaystyle { begin {align} dim operatorname {Sym} ^ {2} (V) & = { frac { dim V ( dim V + 1)} {2}}, dim имя оператора {Alt} ^ {2} (V) & = { frac { dim V ( dim V-1)} {2}}. end {выравнивается}}}

^[13]^[10]

Позволять ${ displaystyle chi: G to mathbb {C}}$ быть персонаж из ${ displaystyle V}$ . Тогда мы можем вычислить характеры симметричного и чередующегося квадрата следующим образом: для всех грамм в грамм,

{ displaystyle { begin {align} chi _ { operatorname {Sym} ^ {2} (V)} (g) & = { frac {1} {2}} ( chi (g) ^ {2 } + chi (g ^ {2})), chi _ { operatorname {Alt} ^ {2} (V)} (g) & = { frac {1} {2}} ( chi (g) ^ {2} - chi (g ^ {2})). end {align}}}

^[14]

Симметричные и внешние силы

Как в полилинейная алгебра, над полем нулевой характеристики можно в более общем виде определить k^th симметричная мощность ${ displaystyle operatorname {Sym} ^ {n} (V)}$ и k^th внешняя сила ${ displaystyle Lambda ^ {n} (V)}$ , которые являются подпространствами k^th тензорная мощность (см. эти страницы для более подробной информации об этой конструкции). Они также являются подпредставлениями, но более высокие тензорные степени больше не разлагаются как их прямая сумма.

В Двойственность Шура – Вейля вычисляет неприводимые представления, входящие в тензорные степени представлений общая линейная группа ${ Displaystyle G = OperatorName {GL} (V)}$ . Именно как ${ Displaystyle S_ {п} раз G}$ -модуль

{ displaystyle V ^ { otimes n} simeq bigoplus _ { lambda} M _ { lambda} otimes S ^ { lambda} (V)}

куда

${ displaystyle M _ { lambda}}$ является неприводимым представлением симметрической группы ${ displaystyle S_ {n}}$ соответствующий разделу ${ displaystyle lambda}$ из п (в порядке убывания),
${ Displaystyle S ^ { lambda} (V)}$ это образ Юный симметризатор ${ displaystyle c _ { lambda}: V ^ { otimes n} to V ^ { otimes n}}$ .

Отображение ${ Displaystyle V mapsto S ^ { lambda} (V)}$ - функтор, называемый Функтор Шура. Он обобщает конструкции симметричных и внешних степеней:

{ Displaystyle S ^ {(n)} (V) = operatorname {Sym} ^ {n} V, , , S ^ {(1,1, dots, 1)} (V) = клин ^ {n} V.}

В частности, как грамм-module, приведенное выше упрощается до

{ displaystyle V ^ { otimes n} simeq bigoplus _ { lambda} S ^ { lambda} (V) ^ { oplus m _ { lambda}}}

куда ${ displaystyle m _ { lambda} = dim M _ { lambda}}$ . Более того, кратность ${ displaystyle m _ { lambda}}$ может быть вычислен Формула Фробениуса (или формула длины крючка ). Например, возьмите ${ displaystyle n = 3}$ . Тогда есть ровно три раздела: ${ Displaystyle 3 = 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1}$ и, как выясняется, ${ Displaystyle м _ {(3)} = м _ {(1,1,1)} = 1, , м _ {(2,1)} = 2}$ . Следовательно,

{ displaystyle V ^ { otimes 3} simeq operatorname {Sym} ^ {3} V bigoplus wedge ^ {3} V bigoplus S ^ {(2,1)} (V) ^ { oplus 2 }.}

Тензорные произведения с участием функторов Шура

Позволять ${ displaystyle S ^ { lambda}}$ обозначить Функтор Шура определяется в соответствии с разделом ${ displaystyle lambda}$ . Тогда существует следующая декомпозиция:^[15]

{ Displaystyle S ^ { lambda} V otimes S ^ { mu} V simeq bigoplus _ { nu} (S ^ { nu} V) ^ { oplus N _ { lambda mu nu} }}

где кратности ${ displaystyle N _ { lambda mu nu}}$ даны Правило Литтлвуда – Ричардсона.

Учитывая конечномерные векторные пространства V, W, то Функторы Шура S^λ дать разложение

{ displaystyle operatorname {Sym} (W ^ {*} otimes V) simeq bigoplus _ { lambda} S ^ { lambda} (W ^ {*}) otimes S ^ { lambda} (V )}

Левую часть можно идентифицировать с звенеть k[Hom (V, W)] = k[V ^* ⊗ W] полиномиальных функций на Hom (V, W), так что сказанное выше также дает разложение k[Hom (V, W)].

Представления тензорных продуктов как представления групп продуктов

Позволять грамм, ЧАС быть двумя группами и пусть ${ Displaystyle ( пи, В)}$ и ${ Displaystyle ( rho, W)}$ быть представлениями грамм и ЧАС, соответственно. Тогда мы можем позволить прямой группе продуктов ${ displaystyle G times H}$ действовать в пространстве тензорного произведения ${ displaystyle V otimes W}$ по формуле

{ displaystyle (g, h) cdot (v otimes w) = pi (g) v otimes rho (h) w.}

Даже если ${ Displaystyle G = H}$ , мы все еще можем выполнить эту конструкцию, так что тензорное произведение двух представлений ${ displaystyle G}$ может, в качестве альтернативы, рассматриваться как представление ${ Displaystyle G times G}$ а не представление ${ displaystyle G}$ . Поэтому важно выяснить, может ли тензорное произведение двух представлений ${ displaystyle G}$ рассматривается как представление ${ displaystyle G}$ или как представление ${ Displaystyle G times G}$ .

В отличие от обсуждаемой выше проблемы Клебша – Гордана, тензорное произведение двух неприводимых представлений ${ displaystyle G}$ неприводимо, если рассматривать его как представление группы продуктов ${ Displaystyle G times G}$ .

Смотрите также

Примечания

^ Серр 1977, п. 8.
^ ^а ^б Фултон и Харрис 1991, п. 4.
^ Зал 2015 Раздел 4.3.2
^ Зал 2015 Определение 4.19.
^ Зал 2015 Предложение 4.18.
^ Зал 2015 стр. 433–434
^ Зал 2015 Теорема C.1.
^ Зал 2015 Доказательство предложения 6.17.
^ Точно у нас есть ${ displaystyle V times V to V otimes V, (v, w) mapsto v otimes w}$ , которое является билинейным и, следовательно, спускается к линейному отображению ${ displaystyle V otimes V to V otimes V.}$
^ ^а ^б Серр 1977, п. 9.
^ Джеймс 2001, п. 196.
^ Джеймс 2001, Предложение 19.12.
^ Джеймс 2001, Предложение 19.13.
^ Джеймс 2001, Предложение 19.14.
^ Фултон-Харрис, П. 6.1. сразу после королла 6.6.