Эквивариантная карта - Equivariant map

В математика, эквивалентность это форма симметрия за функции из одного пространства с симметрией в другое (например, симметричные пространства ). Функция называется эквивариантное отображение когда его домен и кодомен действовал на тем же группа симметрии, а когда функция ездит на работу с действием группы. То есть применение преобразования симметрии и последующее вычисление функции дает тот же результат, что и вычисление функции с последующим применением преобразования.

Эквивариантные карты обобщают понятие инварианты, функции, значение которых не изменяется преобразованием симметрии их аргумента. Значение эквивариантной карты часто (неточно) называют инвариантом.

В статистические выводы, эквивариантность при статистических преобразованиях данных - важное свойство различных методов оценки; видеть инвариантная оценка для подробностей. В чистой математике эквивариантность является центральным объектом исследования в эквивариантная топология и его подтемы эквивариантные когомологии и эквивариантная стабильная теория гомотопий.

Примеры

Элементарная геометрия

Центроид треугольника (где встречаются три красных сегмента) эквивариантен относительно аффинные преобразования: центр тяжести преобразованного треугольника совпадает с точкой преобразования центра тяжести треугольника.

В геометрии треугольники, то площадь и периметр треугольника являются инвариантами: перемещение или вращение треугольника не изменяет его площадь или периметр. Тем не мение, центры треугольников такой как центроид, центр окружности, стимулятор и ортоцентр не инвариантны, потому что перемещение треугольника также приведет к перемещению его центров. Вместо этого эти центры эквивариантны: применяя любые евклидовы соответствие (комбинация сдвига и вращения) к треугольнику, а затем построение его центра дает ту же точку, что и сначала построение центра, а затем применение того же сравнения к центру. В более общем плане все центры треугольников также эквивариантны относительно преобразования подобия (комбинации перемещения, поворота и масштабирования),[1]и центроид эквивариантен относительно аффинные преобразования.[2]

Одна и та же функция может быть инвариантом для одной группы симметрий и эквивариантной для другой группы симметрий. Например, при преобразованиях подобия вместо конгруэнций площадь и периметр больше не инвариантны: масштабирование треугольника также изменяет его площадь и периметр. Однако эти изменения происходят предсказуемым образом: если треугольник масштабируется с коэффициентом s, периметр также увеличивается на s а площадь масштабируется на s2. Таким образом, функция, отображающая каждый треугольник на его площадь или периметр, может рассматриваться как эквивариантная для мультипликативного группового действия масштабных преобразований над положительными действительными числами.

Статистика

Другой класс простых примеров взят из статистическая оценка. В иметь в виду образца (набор действительных чисел) обычно используется как основная тенденция образца. Он эквивариантен относительно линейные преобразования действительных чисел, поэтому, например, на него не влияет выбор единиц, используемых для представления чисел. Напротив, среднее не эквивариантно по отношению к нелинейным преобразованиям, таким как экспоненты.

В медиана выборки эквивариантен для гораздо большей группы преобразований, (строго) монотонные функции реальных чисел. Этот анализ показывает, что медиана больше крепкий против определенных видов изменений в наборе данных, и что (в отличие от среднего) это имеет смысл для порядковые данные.[3]

Концепции инвариантная оценка и эквивариантная оценка были использованы для формализации этого стиля анализа.

Теория представлений

Смотрите также: Теория представлений § Эквивариантные отображения и изоморфизмы

в теория представлений конечных групп, векторное пространство, снабженное группой, действующей линейными преобразованиями пространства, называется линейное представление группы. линейная карта который коммутирует с действием, называется спутник. То есть сплетение - это просто эквивариантная линейная карта между двумя представлениями. В качестве альтернативы сплетение для представлений группы грамм через поле K это то же самое, что и модульный гомоморфизм из K[грамм]-модули, куда K[грамм] это групповое кольцо из грамм.[4]

При некоторых условиях, если Икс и Y оба неприводимые представления, затем сплетник (кроме нулевая карта ) существует только в том случае, если два представления эквивалентны (т. е. изоморфный в качестве модули ). Тогда этот спутник уникален вплоть до мультипликативный фактор (ненулевой скаляр из K). Эти свойства сохраняются, когда изображение K[грамм] простая алгебра с центром K (по тому, что называется Лемма Шура: видеть простой модуль ). Как следствие, в важных случаях конструкции сплетения достаточно, чтобы показать, что представления фактически одинаковы.[5]

Формализация

Эквивариантность можно формализовать с помощью концепции грамм-набор для группа грамм. Это математический объект, состоящий из математический набор S и групповое действие (слева от грамм на S.Если Икс и Y оба грамм-наборы для той же группы грамм, то функция ж : Икс → Y называется эквивариантным, если

ж(грамм·Икс) = грамм·ж(Икс)

для всех грамм ∈ грамм и все Икс в Икс.[6]

Если одно или оба действия являются правильными, условие эквивалентности может быть соответствующим образом изменено:

ж(Икс·грамм) = ж(Икс)·грамм; (верно-верно)
ж(Икс·грамм) = грамм−1·ж(Икс); (правый левый)
ж(грамм·Икс) = ж(Икс)·грамм−1; (лево право)

Эквивариантные карты гомоморфизмы в категория из грамм-наборы (для фиксированного грамм).[7] Следовательно, они также известны как грамм-морфизмы,[7] грамм-карты,[8] или же грамм-гомоморфизмы.[9] Изоморфизмы из грамм-наборы просто биективный эквивариантные отображения.[7]

Условие эквивариантности также можно понимать как следующее коммутативная диаграмма. Обратите внимание, что обозначает карту, которая принимает элемент и возвращается .

Эквивариантная коммутативная диаграмма.png

Обобщение

Смотрите также: Теория представлений § Обобщения, и Категория представлений § Теоретико-категориальное определение

Эквивариантные отображения можно обобщить на произвольные категории прямо. Каждая группа грамм можно рассматривать как категорию с одним объектом (морфизмы в этой категории находятся лишь элементы грамм). Учитывая произвольную категорию C, а представление из грамм в категории C это функтор из грамм к C. Такой функтор выбирает объект C и подгруппа из автоморфизмы этого объекта. Например, грамм-множество эквивалентно функтору из грамм к категория наборов, Набор, а линейное представление эквивалентно функтору категория векторных пространств над полем, VectK.

Для двух представлений ρ и σ грамм в C, эквивариантное отображение между этими представлениями - это просто естественная трансформация от ρ до σ. Используя естественные преобразования как морфизмы, можно сформировать категорию всех представлений грамм в C. Это просто категория функторов Cграмм.

В качестве другого примера возьмем C = Вершина, то категория топологических пространств. Представление грамм в Вершина это топологическое пространство на котором грамм действует непрерывно. Эквивариантное отображение тогда является непрерывным отображением ж : Икс → Y между представлениями, которые коммутируют с действием грамм.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Кимберлинг, Кларк (1994), "Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника", Математический журнал, 67 (3): 163–187, Дои:10.2307/2690608, JSTOR  2690608, МИСТЕР  1573021. «Подобные треугольники имеют одинаково расположенные центры», с. 164.
  2. ^ Центроид - единственный аффинный эквивариантный центр треугольника, но более общие выпуклые тела могут иметь другие аффинные эквивариантные центры; см. например Нойман, Б. Х. (1939), "О некоторых аффинных инвариантах замкнутых выпуклых областей", Журнал Лондонского математического общества, Вторая серия, 14: 262–272, Дои:10.1112 / jlms / s1-14.4.262, МИСТЕР  0000978.
  3. ^ Сарл, Уоррен С. (14 сентября 1997 г.), Теория измерений: часто задаваемые вопросы (версия 3) (PDF), SAS Institute Inc.. Редакция главы в Распространения Международного института статистических приложений (4-е изд.), Т. 1, 1995, Wichita: ACG Press, стр. 61–66.
  4. ^ Фукс, Юрген; Швайгерт, Кристоф (1997), Симметрии, алгебры Ли и представления: выпускной курс для физиков, Кембриджские монографии по математической физике, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, стр. 70, ISBN  0-521-56001-2, МИСТЕР  1473220.
  5. ^ Sexl, Roman U .; Урбантке, Хельмут К. (2001), Относительность, группы, частицы: специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и частиц, Springer Physics, Вена: Springer-Verlag, стр. 165, Дои:10.1007/978-3-7091-6234-7, ISBN  3-211-83443-5, МИСТЕР  1798479.
  6. ^ Питтс, Эндрю М. (2013), Номинальные множества: имена и симметрия в компьютерных науках, Кембриджские трактаты по теоретической информатике, 57, Cambridge University Press, Определение 1.2, стр. 14, ISBN  9781107244689.
  7. ^ а б c Ауслендер, Морис; Бухсбаум, Дэвид (2014), Группы, кольца, модули, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, стр. 86–87, ISBN  9780486490823.
  8. ^ Сигал, Г. Б. (1971), "Эквивариантная стабильная теория гомотопий", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970), Том 2, Gauthier-Villars, Paris, стр. 59–63, МИСТЕР  0423340.
  9. ^ Адхикари, Махима Ранджан; Адхикари, Авишек (2014), Базовая современная алгебра с приложениями, Нью-Дели: Springer, стр. 142, Дои:10.1007/978-81-322-1599-8, ISBN  978-81-322-1598-1, МИСТЕР  3155599.