Эквивариантные когомологии - Equivariant cohomology

В математика, эквивариантные когомологии (или же Борелевские когомологии) - теория когомологий из алгебраическая топология что относится к топологические пространства с групповое действие. Его можно рассматривать как общее обобщение групповые когомологии и обычный теория когомологий. В частности, кольцо эквивариантных когомологий пространства ${ displaystyle X}$ с действием топологической группы ${ displaystyle G}$ определяется как обычный кольцо когомологий с кольцом коэффициентов ${ displaystyle Lambda}$ из гомотопический фактор ${ displaystyle EG times _ {G} X}$ :

{ displaystyle H_ {G} ^ {*} (X; Lambda) = H ^ {*} (EG times _ {G} X; Lambda).}

Если ${ displaystyle G}$ это тривиальная группа, это обычный кольцо когомологий из ${ displaystyle X}$ , тогда как если ${ displaystyle X}$ является стягиваемый сводится к кольцу когомологий классификация пространства ${ displaystyle BG}$ (т. е. групповые когомологии ${ displaystyle G}$ когда грамм конечно.) Если грамм свободно действует на Икс, то каноническое отображение ${ displaystyle EG times _ {G} от X до X / G}$ является гомотопической эквивалентностью, поэтому получаем: ${ displaystyle H_ {G} ^ {*} (X; Lambda) = H ^ {*} (X / G; Lambda).}$

Также можно определить эквивариантные когомологии ${ displaystyle H_ {G} ^ {*} (X; A)}$ из ${ displaystyle X}$ с коэффициентами в ${ displaystyle G}$ -модуль А; это абелевы группы. Эта конструкция является аналогом когомологий с локальными коэффициентами.

Если Икс многообразие, грамм компактная группа Ли и ${ displaystyle Lambda}$ - поле действительных чисел или поле комплексных чисел (наиболее типичная ситуация), то указанные выше когомологии могут быть вычислены с использованием так называемой модели Картана (см. эквивариантные дифференциальные формы.)

Эту конструкцию не следует путать с другими теориями когомологий, такими как Когомологии Бредона или когомологии инвариантные дифференциальные формы: если грамм компактная группа Ли, то по аргументу усреднения^{[нужна цитата ]}, любую форму можно сделать инвариантной; таким образом, когомологии инвариантных дифференциальных форм не дают новой информации.

Кошульская двойственность как известно, выполняется между эквивариантными когомологиями и обычными когомологиями.

Гомотопический фактор

В гомотопический фактор, также называемый пространство гомотопических орбит или же Строительство Бореля, является «гомотопически правильной» версией орбитальное пространство (частное от ${ displaystyle X}$ своим ${ displaystyle G}$ -action), в котором ${ displaystyle X}$ сначала заменяется на более крупный, но гомотопический эквивалент пространство, так что действие гарантированно будет свободный.

С этой целью построить универсальный комплект НАПРИМЕР → BG за грамм и напомним, что НАПРИМЕР допускает бесплатный грамм-действие. Тогда товар НАПРИМЕР × Икс - что гомотопически эквивалентно Икс поскольку НАПРИМЕР стягивается - допускает «диагональ» грамм-действие определяется (е,Икс).грамм = (например,грамм⁻¹Икс): более того, это диагональное действие бесплатное, поскольку оно свободно на НАПРИМЕР. Итак, мы определяем гомотопический фактор Икс_грамм быть пространством орбиты (НАПРИМЕР × Икс)/грамм этого бесплатного грамм-действие.

Другими словами, гомотопический фактор - это связанный Икс-пучок над BG полученный в результате действия грамм на пространстве Икс и основной пучок НАПРИМЕР → BG. Этот комплект Икс → Икс_грамм → BG называется Борелевское расслоение.

Пример гомотопического фактора

Следующий пример - это предложение 1 [1].

Позволять Икс быть комплексным проективным алгебраическая кривая. Мы идентифицируем Икс как топологическое пространство с множеством комплексных точек ${ Displaystyle Х ( mathbb {C})}$ , который является компактным Риманова поверхность. Позволять грамм - комплексная односвязная полупростая группа Ли. Тогда любой принципал грамм-бандл на Икс изоморфно тривиальному расслоению, поскольку классификация пространства ${ displaystyle BG}$ является 2-связный и Икс имеет реальную размерность 2. Зафиксируйте гладкую грамм-пучок ${ displaystyle P _ { text {sm}}}$ на Икс. Тогда любой принципал грамм-бандл на ${ displaystyle X}$ изоморфен ${ displaystyle P _ { text {sm}}}$ . Другими словами, набор ${ displaystyle Omega}$ всех классов изоморфизма пар, состоящих из главного грамм-бандл на Икс и комплексно-аналитическую структуру на нем можно отождествить с множеством комплексно-аналитических структур на ${ displaystyle P _ { text {sm}}}$ или, что то же самое, множество голоморфных связностей на Икс (поскольку связи интегрируемы по причине размерности). ${ displaystyle Omega}$ является бесконечномерным комплексным аффинным пространством и поэтому стягиваемо.

Позволять ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ - группа всех автоморфизмов ${ displaystyle P _ { text {sm}}}$ (т.е. группа датчиков.) Тогда гомотопический фактор ${ displaystyle Omega}$ к ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ классифицирует комплексно-аналитический (или эквивалентно алгебраический) главный грамм-бандлы на Икс; т.е. именно классифицирующее пространство ${ displaystyle B { mathcal {G}}}$ дискретной группы ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ .

Можно определить стек модулей главных расслоений ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$ как стек частных ${ displaystyle [ Omega / { mathcal {G}}]}$ а затем гомотопический фактор ${ displaystyle B { mathcal {G}}}$ по определению гомотопический тип из ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$ .

Эквивариантные характеристические классы

Позволять E быть эквивариантное векторное расслоение на грамм-многообразие M. Возникает векторное расслоение ${ displaystyle { widetilde {E}}}$ на гомотопический фактор ${ displaystyle EG times _ {G} M}$ так что он тянется обратно к пачке ${ displaystyle { widetilde {E}} = EG times E}$ над ${ displaystyle EG times M}$ . Эквивариантный характеристический класс E тогда обычный характеристический класс ${ displaystyle { widetilde {E}}}$ , который является элементом пополнения кольца когомологий ${ displaystyle H ^ {*} (например, times _ {G} M) = H_ {G} ^ {*} (M)}$ . (Чтобы применить Теория Черна – Вейля, используется конечномерная аппроксимация НАПРИМЕР.)

В качестве альтернативы, можно сначала определить эквивариантный класс Черна, а затем определить другие характеристические классы как инвариантные полиномы классов Черна, как в обычном случае; например, эквивариантный класс Тодда эквивариантного линейного расслоения - это Функция Тодда оценивается в эквивариантном первом классе Черна расслоения. (Эквивариантный класс Тодда линейного расслоения является степенным рядом (не полиномом, как в неэквивариантном случае) в эквивариантном первом классе Черна; следовательно, он принадлежит пополнению эквивариантного кольца когомологий.)

В неэквивариантном случае первый класс Черна можно рассматривать как биекцию между множеством всех классов изоморфизма комплексных линейных расслоений на многообразии M и ${ displaystyle H ^ {2} (M; mathbb {Z}).}$ ^[1] В эквивариантном случае это означает: эквивариантный первый Черн дает биекцию между множеством всех классов изоморфизма эквивариантных комплексных линейных расслоений и ${ Displaystyle Н_ {G} ^ {2} (М; mathbb {Z})}$ .

Теорема локализации

Теорема о локализации - один из самых мощных инструментов эквивариантных когомологий.

Смотрите также

Примечания

^ с помощью Когомологии Чеха и изоморфизм ${ Displaystyle H ^ {1} (M; mathbb {C} ^ {*}) simeq H ^ {2} (M; mathbb {Z})}$ предоставленный экспоненциальная карта.

дальнейшее чтение

В. В. Гийемен и С. Штернберг. Суперсимметрия и эквивариантная теория де Рама. Springer-V erlag, Берлин, 1999 г.
CM Vergne, Cohomologie équivariante et théorème de Stokes

внешняя ссылка

[1] с помощью Когомологии Чеха и изоморфизм ${ Displaystyle H ^ {1} (M; mathbb {C} ^ {*}) simeq H ^ {2} (M; mathbb {Z})}$ предоставленный экспоненциальная карта.

[1]