Стек модулей основных расслоений - Moduli stack of principal bundles

В алгебраической геометрии, учитывая гладкий проективная кривая Икс над конечным полем ${ displaystyle mathbf {F} _ {q}}$ и гладкий аффинный групповая схема грамм над ним стек модулей главных расслоений над Икс, обозначаемый ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$, является алгебраический стек предоставлено:^[1] для любого ${ displaystyle mathbf {F} _ {q}}$-алгебра р,

${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X) (R) =}$ категория главный грамм-бандлы по относительной кривой ${ displaystyle X times _ { mathbf {F} _ {q}} operatorname {Spec} R}$.

В частности, категория ${ displaystyle mathbf {F} _ {q}}$-точки ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$, то есть, ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X) ( mathbf {F} _ {q})}$, это категория грамм-бутует Икс.

По аналогии, ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$ также можно определить, когда кривая Икс находится над полем комплексных чисел. Грубо говоря, в комплексном случае можно определить ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$ как стек частных пространства голоморфных связностей на Икс посредством группа датчиков. Замена фактор-стека (который не является топологическим пространством) на гомотопический фактор (которое является топологическим пространством) дает гомотопический тип из ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$.

В случае конечного поля не принято определять гомотопический тип ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$. Но все же можно определить (гладкий ) когомологии и гомологии ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$.

Основные свойства

Известно, что ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$ это гладкая стопка измерения ${ Displaystyle (г (Х) -1) тусклый G}$ куда ${ displaystyle g (X)}$ это род Икс. Это не конечный тип, а локально конечный тип; таким образом, обычно используется стратификация открытыми подсеками конечного типа (см. Стратификация сложнее – Нарасимхана.) Если грамм - расщепленная редуктивная группа, то множество связных компонент ${ displaystyle pi _ {0} ( operatorname {Bun} _ {G} (X))}$ находится в естественной биекции с фундаментальной группой ${ displaystyle pi _ {1} (G)}$.^[2]

Формула Атьи – Ботта

Формула следа Беренда

Это (предположительная) версия Формула следа Лефшеца за ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$ когда Икс над конечным полем, введенное Берендом в 1993 г.^[3] Говорится:^[4] если грамм это гладкий аффинный групповая схема с полупростой связной обычное волокно, тогда

${ displaystyle # operatorname {Bun} _ {G} (X) ( mathbf {F} _ {q}) = q ^ { dim operatorname {Bun} _ {G} (X)} operatorname { tr} ( phi ^ {- 1} | H ^ {*} ( operatorname {Bun} _ {G} (X); mathbb {Z} _ {l}))}$

где (см. также Формула следа Беренда для подробностей)

• л это простое число, которое не п и кольцо ${ displaystyle mathbb {Z} _ {l}}$ из l-адические целые числа рассматривается как подкольцо ${ displaystyle mathbb {C}}$.
• ${ displaystyle phi}$ это геометрический Фробениус.
• ${ displaystyle # operatorname {Bun} _ {G} (X) ( mathbf {F} _ {q}) = sum _ {P} {1 over # operatorname {Aut} (P)} }$, сумма, пробегающая все классы изоморфизма G-связки на Икс и сходящийся.
• ${ displaystyle operatorname {tr} ( phi ^ {- 1} | V _ {*}) = sum _ {i = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {i} operatorname {tr} ( phi ^ {- 1} | V_ {i})}$ для градуированное векторное пространство ${ displaystyle V _ {*}}$при условии серии справа абсолютно сходится.

Априори, ни левая, ни правая части формулы не сходятся. Таким образом, формула утверждает, что две стороны сходятся к конечным числам и что эти числа совпадают.

Примечания

Рекомендации

• Дж. Хейнлот, Лекции о стеке модулей векторных расслоений на кривой, Предварительная версия 2009 г.
• Дж. Хейнлот, A.H.W. Шмитт, Кольцо когомологий стека модулей главных расслоений над кривыми, препринт 2010 г., доступно по адресу http://www.uni-essen.de/~hm0002/.
• Гайцгори, Д; Lurie, J .; Гипотеза Вейля для функциональных полей. 2014, [1]

дальнейшее чтение

• Число Тамагавы для функциональных полей
• К. Соргер, Лекции по модулям главных G-расслоений над алгебраическими кривыми

Смотрите также

• Геометрические гипотезы Ленглендса
• Пробежал пространство
• Стек модулей векторных расслоений