Торсор (алгебраическая геометрия) - Torsor (algebraic geometry)

В алгебраической геометрии при гладком алгебраическая группа грамм, а грамм-торсор или главный грамм-пучок п по схеме Икс это схема (или даже алгебраическое пространство ) с действие из грамм что локально тривиально в данном Топология Гротендика в том смысле, что изменение базы ${ displaystyle Y times _ {X} P}$ по "некоторой" карте покрытия ${ displaystyle Y to X}$ это тривиальный торсор ${ displaystyle Y times G to Y}$ (грамм действует только на второй фактор).^[1] Эквивалентно грамм-торсор п на Икс это главное однородное пространство для групповая схема ${ displaystyle G_ {X} = X times G}$ (т.е. ${ displaystyle G_ {X}}$ действует просто транзитивно на ${ displaystyle P}$ .)

Определение можно сформулировать на теоретико-пучковом языке: пучок п по категории Икс-схемы с некоторой топологией Гротендика - это грамм-торсор если есть покрытие ${ displaystyle {U_ {i} to X }}$ в топологии, называемой локальной тривиализацией, такой, что ограничение п для каждого ${ displaystyle U_ {i}}$ это тривиальный ${ displaystyle G_ {U_ {i}}}$ -торсор.

Линейный пакет - это не что иное, как ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ -слоя, и, как линейное расслоение, две точки обзора торсоров, геометрическая и теоретико-пучковая, используются взаимозаменяемо (разрешая п быть стеком, как алгебраическое пространство если необходимо^[2]).

Обычно торсор рассматривают не только для групповой схемы, но и в более общем плане для группа связка (например, групповой пучок fppf).

Примеры и основные свойства

Примеры

А ${ displaystyle operatorname {GL} _ {n}}$ -торсор на Икс это главный ${ displaystyle operatorname {GL} _ {n}}$ -бандл на Икс.
Если ${ displaystyle L / K}$ это конечный Расширение Галуа, тогда ${ displaystyle operatorname {Spec} L to operatorname {Spec} K}$ это ${ displaystyle operatorname {Gal} (L / K)}$ -торсор (примерно потому, что группа Галуа действует на корнях просто транзитивно). Этот факт является основанием для Спуск Галуа. Видеть интегральное расширение для обобщения.

Реплика: A грамм-торсор п над Икс изоморфен тривиальному торсору тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle P (X) = OperatorName {Mor} (X, P)}$ непусто. (Доказательство: если есть ${ displaystyle s: X to P}$ , тогда ${ Displaystyle X раз G к P, (x, g) mapsto s (x) g}$ является изоморфизмом.)

Позволять п быть грамм-торсор с локальной тривиализацией ${ displaystyle {U_ {i} to X }}$ в этальной топологии. Тривиальный торсор допускает сечение: таким образом, есть элементы ${ displaystyle s_ {i} in P (U_ {i})}$ . Исправление таких разделов ${ displaystyle s_ {i}}$ , мы можем написать однозначно ${ displaystyle s_ {i} g_ {ij} = s_ {j}}$ на ${ displaystyle U_ {ij}}$ с ${ displaystyle g_ {ij} in G (U_ {ij})}$ . Различные варианты ${ displaystyle s_ {i}}$ составляют 1-кограницы в когомологиях; это ${ displaystyle g_ {ij}}$ определить класс когомологий в когомологиях пучка (точнее, Когомологии Чеха с коэффициентом пучка) группа ${ displaystyle H ^ {1} (X, G)}$ .^[3] Единичному элементу соответствует тривиальный торсор. И наоборот, любой класс легко увидеть в ${ displaystyle H ^ {1} (X, G)}$ определяет грамм-торсор на Икс, единственное с точностью до изоморфизма.

Если грамм связная алгебраическая группа над конечным полем ${ displaystyle mathbf {F} _ {q}}$ , то любой грамм- связать ${ displaystyle operatorname {Spec} mathbf {F} _ {q}}$ тривиально. (Теорема Лэнга.)

Редукция структурной группы

Большинство конструкций и терминологии, относящиеся к основным расслоениям в алгебраической топологии, дословно переносятся на грамм-бандлеры. Например, если ${ displaystyle P to X}$ это грамм-бандл и грамм действует слева по схеме F, то можно сформировать связанный пакет ${ displaystyle P times ^ {G} от F до X}$ с волокном F. В частности, если ЧАС замкнутая подгруппа в грамм, то для любого ЧАС-пучок п, ${ displaystyle P times ^ {H} G}$ это грамм-бандл называется индуцированный пучок.

Если п это грамм-расслоение, изоморфное индуцированному расслоению ${ displaystyle P ' times ^ {H} G}$ для некоторых ЧАС-пучок П', тогда п как говорят, признает сокращение структурной группы из грамм к ЧАС.

Позволять Икс - гладкая проективная кривая над алгебраически замкнутым полем k, грамм полупростая алгебраическая группа и п а граммрасслоение на относительной кривой ${ displaystyle X_ {R} = X times _ { operatorname {Spec} k} operatorname {Spec} R}$ , р конечно порожденный k-алгебра. Затем Теорема Дринфельда и Симпсона заявляет, что если грамм просто связано и расколоть, существует этальный морфизм ${ displaystyle R to R '}$ такой, что ${ Displaystyle P раз _ {X_ {R}} X_ {R '}}$ допускает редукцию структурной группы к борелевской подгруппе группы грамм.^[4]^[5]

Инварианты

Если п параболическая подгруппа гладкой аффинной групповой схемы грамм со связными волокнами, то степень его неустойчивости, обозначаемая ${ displaystyle operatorname {deg} _ {i} (P)}$ , - степень ее алгебры Ли ${ displaystyle operatorname {Lie} (P)}$ как векторное расслоение на Икс. Степень нестабильности грамм затем ${ displaystyle operatorname {deg} _ {i} (G) = max { operatorname {deg} _ {i} (P) | P subset G { text {параболические подгруппы}} }}$ . Если грамм является алгебраической группой и E это грамм-торсор, то степень нестабильности E степень внутренняя форма ${ displaystyle {} ^ {E} G = operatorname {Aut} _ {G} (E)}$ из грамм индуцированный E (что является групповой схемой над Икс); т.е. ${ displaystyle operatorname {deg} _ {i} (E) = operatorname {deg} _ {i} ({} ^ {E} G)}$ . E как говорят полустабильный если ${ displaystyle operatorname {deg} _ {i} (E) leq 0}$ и является стабильный если ${ displaystyle operatorname {deg} _ {i} (E) <0}$ .