Алгебраическая группа - Algebraic group

В алгебраическая геометрия, алгебраическая группа (или же групповое разнообразие) это группа это алгебраическое многообразие, такие, что операции умножения и обращения задаются формулами обычные карты по разнообразию.

С точки зрения теория категорий, алгебраическая группа - это групповой объект в категория алгебраических многообразий.

Классы

Несколько важных классов групп являются алгебраическими группами, в том числе:

Конечные группы
GL (п, C), общая линейная группа из обратимые матрицы над C
Джет группа
Эллиптические кривые.

Возникают два важных класса алгебраических групп, которые по большей части изучаются отдельно: абелевы разновидности («проективная» теория) и линейные алгебраические группы («аффинная» теория). Безусловно, есть примеры, которые не являются ни тем, ни другим - они встречаются, например, в современной теории интегралы второго и третьего рода такой как Дзета-функция Вейерштрасса, или теория обобщенные якобианы. Но согласно Структурная теорема Шевалле любая алгебраическая группа является расширением абелева разновидность линейной алгебраической группой. Это результат Клод Шевалле: если K это идеальное поле, и грамм алгебраическая группа над K, существует единственная нормальная замкнутая подгруппа ЧАС в грамм, так что ЧАС является линейной группой и грамм/ЧАС абелева разновидность.

Согласно другой основной теореме, любая группа из категории аффинные разновидности имеет верный конечномерный линейное представление: мы можем считать это матричная группа над K, определяемые полиномами над K и с матричным умножением в качестве групповой операции. По этой причине концепция аффинная алгебраическая группа избыточно по полю - мы можем также использовать очень конкретное определение. Заметим, что это означает, что алгебраическая группа уже, чем Группа Ли, при работе с полем действительных чисел: есть такие примеры, как универсальный чехол специальной линейной группы 2 × 2, которые являются группами Ли, но не имеют точного линейного представления. Более очевидное различие между двумя концепциями возникает из-за того, что компонент идентичности аффинной алгебраической группы грамм обязательно конечен индекс в грамм.

Когда нужно работать над базовым кольцом р (коммутативный), есть групповая схема концепция: то есть групповой объект в категории схемы над р. Схема аффинной группы является ли концепция двойственной типу Алгебра Хопфа. Существует довольно тонкая теория групповых схем, которая входит, например, в современную теорию абелевых многообразий.

Алгебраическая подгруппа

An алгебраическая подгруппа алгебраической группы является Зарисский-закрыто подгруппа Как правило, они также считаются связанными (или неприводимыми как разновидность).

Другой способ выразить состояние - как подгруппа это тоже подмножество.

Это также можно обобщить, допустив схемы вместо разновидностей. Основной эффект от этого на практике, помимо разрешения подгрупп, в которых связный компонент имеет конечный индекс> 1, означает допустить не-сокращенные схемы, в характеристике п.

Группы Кокстера

Есть ряд аналогичных результатов между алгебраическими группами и Группы Кокстера - например, количество элементов симметрической группы равно ${ displaystyle n!}$ , а количество элементов полной линейной группы над конечным полем равно q-факториал ${ displaystyle [n] _ {q}!}$ ; таким образом, симметричная группа ведет себя так, как если бы она была линейной группой над «полем с одним элементом». Это формализовано поле с одним элементом, который рассматривает группы Кокстера как простые алгебраические группы над полем с одним элементом.

Словарь алгебраических групп

Есть ряд математический понятия для изучения и классификации алгебраических групп.

Впоследствии, грамм обозначает алгебраическую группу над поле k.

понятие	объяснение	пример	замечания
линейная алгебраическая группа	Замкнутая подгруппа Зарисского в ${ displaystyle { rm {GL}} _ {n}}$ для некоторых п	${ displaystyle { rm {SL}} _ {n}}$	Каждая аффинная алгебраическая группа изоморфна линейной алгебраической группе, и наоборот.
аффинная алгебраическая группа	Алгебраическая группа, являющаяся аффинным многообразием	${ displaystyle { rm {GL}} _ {n}}$ , не пример: эллиптическая кривая	Понятие аффинной алгебраической группы подчеркивает независимость от любого вложения в ${ displaystyle { rm {GL}} _ {n}}$
коммутативный	Базовая (абстрактная) группа - это абелевский.	${ Displaystyle { mathbb {G}} _ {а}}$ (в аддитивная группа ), ${ displaystyle { mathbb {G}} _ {m}}$ (в мультипликативная группа ),^[1] любой полный алгебраическая группа (см. абелева разновидность )
диагонализуемая группа	Замкнутая подгруппа ${ Displaystyle ( mathbb {G} _ {m}) ^ {п}}$ , группа диагональные матрицы (размера п-к-п)
простая алгебраическая группа	Связная группа, не имеющая нетривиальных связных нормальных подгрупп	${ displaystyle { rm {SL}} _ {n}}$
полупростая группа	Аффинная алгебраическая группа с тривиальным радикальный	${ displaystyle { rm {SL}} _ {n}}$ , ${ displaystyle { rm {SO}} _ {n}}$	В нулевой характеристике алгебра Ли полупростой группы является полупростой алгеброй Ли
восстановительная группа	Аффинная алгебраическая группа с тривиальным унипотентный радикал	Любая конечная группа, ${ displaystyle { rm {GL}} _ {n}}$	Любая полупростая группа редуктивна
унипотентная группа	Аффинная алгебраическая группа такая, что все элементы всесильный	Группа верхнетреугольных п-к-п матрицы со всеми диагональными элементами, равными 1	Любая унипотентная группа нильпотентный
тор	Группа, которая становится изоморфной ${ Displaystyle ( mathbb {G} _ {m}) ^ {п}}$ при переходе к алгебраическое замыкание из k.	${ displaystyle { rm {SO}} _ {2}}$	грамм как говорят расколоть каким-то большим полем k ' , если грамм становится изоморфным G_м^п как алгебраическая группа над к '.
группа персонажей Икс^∗(грамм)	Группа характеров, т. Е. Гомоморфизмы групп ${ Displaystyle G rightarrow { mathbb {G}} _ {m}}$	${ Displaystyle X ^ {*} ( mathbb {G} _ {m}) cong mathbb {Z}}$
Алгебра Ли Ложь(грамм)	В касательное пространство из грамм на единичном элементе.	${ displaystyle { rm {Lie}} ({ rm {GL}} _ {n})}$ это пространство всего п-к-п матрицы	Эквивалентно пространство всех левоинвариантных производные.