Веночное изделие - Википедия - Wreath product

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В теория групп, то венок это специализированный продукт двух группы, на основе полупрямой продукт. Сплетенные изделия используются при классификации группы перестановок а также предоставить способ построения интересных примеров групп.

Учитывая две группы А и ЧАС, существует две разновидности сплетения: неограниченный венок ${ displaystyle A { text {Wr}} H}$ (также написано ${ Displaystyle A wr H}$ с wr символ латекса) и ограниченный продукт венка А писать ЧАС. Учитывая набор Ω с ЧАС-действие существует обобщение сплетения, которое обозначается А Wr_Ω ЧАС или же А писать_Ω ЧАС соответственно.

Это понятие обобщается на полугруппы и является центральной конструкцией в Структурная теория Крона – Родса конечных полугрупп.

Определение

Позволять А и ЧАС группы и Ω множество с ЧАС игра актеров на нем (справа). Позволять K быть прямой продукт

${ displaystyle K = prod _ { omega in Omega} A _ { omega}}$

копий А_ω := А индексируется множеством Ω. Элементы K можно рассматривать как произвольный последовательности (а_ω) элементов А проиндексировано Ω с покомпонентным умножением. Тогда действие ЧАС на Ω естественным образом продолжается до действия ЧАС в группе K к

${ displaystyle h (a _ { omega}): = (a_ {h ^ {- 1} omega}).}$

Тогда неограниченный венок А Wr_Ω ЧАС из А к ЧАС это полупрямой продукт K ⋊ ЧАС. Подгруппа K из А Wr_Ω ЧАС называется основание венка.

В ограниченный продукт венка А писать_Ω ЧАС строится так же, как неограниченное сплетение, за исключением того, что используется прямая сумма

${ Displaystyle К = bigoplus _ { omega in Omega} A _ { omega}}$

в качестве основы для венка. В этом случае элементы K являются последовательностями (а_ω) элементов в А индексируется Ω, из которых все, кроме конечного числа а_ω являются элемент идентичности из А.

В наиболее частом случае берется Ω: =ЧАС, куда ЧАС действует естественным образом на себя левым умножением. В этом случае неограниченное и ограниченное сплетение можно обозначить как А WrЧАС и А писатьЧАС соответственно. Это называется обычный веночное изделие.

Обозначения и соглашения

Структура плетения из А к ЧАС зависит от ЧАС-множество Ω и в случае бесконечности Ω также зависит от того, используется ли ограниченное или неограниченное сплетение. Однако в литературе используемые обозначения могут быть несовершенными, и нужно обращать внимание на обстоятельства.

• В литературе А≀_ΩЧАС может означать неограниченный продукт венка А Wr_Ω ЧАС или ограниченный продукт венка А писать_Ω ЧАС.
• По аналогии, А≀ЧАС может означать неограниченный обычный венец А WrЧАС или ограниченное обычное сплетение А писатьЧАС.
• В литературе ЧАС-множество Ω можно опустить в обозначениях, даже если Ω ≠ЧАС.
• В частном случае, когда ЧАС = S_п это симметричная группа степени п в литературе принято считать, что Ω = {1, ...,п} (с естественным действием S_п), а затем опустим Ω из обозначений. То есть, А≀S_п обычно обозначает А≀_{1,...,п}S_п вместо обычного венка А≀_SпS_п. В первом случае базовая группа является продуктом п копии А, в последнем - продукт п! копииА.

Характеристики

Соглашение неограниченного и ограниченного сплетения на конечном Ω

Поскольку конечное прямое произведение совпадает с конечной прямой суммой групп, отсюда следует, что неограниченное А Wr_Ω ЧАС и ограниченное сплетение А писать_Ω ЧАС согласен, если ЧАС-множество Ω конечно. В частности, это верно, когда Ω = ЧАС конечно.

Подгруппа

А писать_Ω ЧАС всегда подгруппа из А Wr_Ω ЧАС.

Свойства мощности

Если А, ЧАС и Ω конечны, то

|А≀_ΩЧАС| = |А|^{| Ω |}|ЧАС|.^[1]

Универсальная теорема вложения

Универсальная теорема вложения: Если грамм является расширение из А к ЧАС, то существует подгруппа неограниченного сплетения А≀ЧАС который изоморфен грамм.^[2] Это также известно как Теорема вложения Краснера – Калужнина.. В Теорема Крона – Родса включает в себя то, что в основном является полугрупповым эквивалентом этого.^[3]

Канонические действия венков

Если группа А действует на множестве Λ, то есть два канонических способа построения множеств из Ω и Λ, на которых А Wr_Ω ЧАС (а значит, и А писать_Ω ЧАС) может действовать.

• В непристойный действие сплетения на Λ × Ω.

Если ((а_ω),час) ∈ А Wr_Ω ЧАС и (λ,ω′) ∈ Λ × Ω, то

${ displaystyle ((a _ { omega}), h) cdot ( lambda, omega '): = (a_ {h ( omega')} lambda, h omega ').}$

• В примитивный действие сплетения на Λ^Ω.

Элемент в Λ^Ω последовательность (λ_ω) индексируется ЧАС-множество Ω. Учитывая элемент ((а_ω), час) ∈ А Wr_Ω ЧАС его действие на (λ_ω) ∈ Λ^Ω дан кем-то

${ displaystyle ((a _ { omega}), h) cdot ( lambda _ { omega}): = (a_ {h ^ {- 1} omega} lambda _ {h ^ {- 1} омега}).}$

Примеры

• В Группа фонарщиков ограниченное сплетение ℤ₂≀ℤ.
• ℤ_м≀S_п (Обобщенная симметрическая группа ).

Основа этого сплетения - это п-складной прямой продукт

ℤ_м^п = ℤ_м × ... × ℤ_м

копий ℤ_м где действие φ:S_п → Aut (ℤ_м^п) из симметричная группа S_п степени п дан кем-то

φ(σ) (α₁,..., α_п) := (α_σ(1),..., α_σ(п)).^[4]

• S₂≀S_п (Гипероктаэдрическая группа ).

Действие S_п на {1, ...,п} как указано выше. Поскольку симметрическая группа S₂ степени 2 изоморфный к ℤ₂ группа гипероктаэдра является частным случаем обобщенной симметрической группы.^[5]

• Наименьшее нетривиальное сплетение - это ℤ₂≀ℤ₂, который является двумерным случаем указанной группы гипероктаэдра. Это группа симметрии квадрата, также называемая Dih₄, то группа диэдра порядка 8.
• Позволять п быть основной и разреши п≥1. Позволять п быть Силовский п-подгруппа симметрической группы S_п^п. потом п является изоморфный к повторному регулярному сплетению W_п = ℤ_п ≀ ℤ_п≀ ... ≀ℤ_п из п копии ℤ_п. Здесь W₁ : = ℤ_п и W_k := W_k−1≀ℤ_п для всех k ≥ 2.^[6][7] Например, силовская 2-подгруппа группы S₄ выше₂≀ℤ₂ группа.

• В Группа Кубик Рубика является подгруппой индекса 12 в произведении сплетений, (ℤ₃≀S₈) × (ℤ₂≀S₁₂), множители, соответствующие симметрии 8 углов и 12 ребер.

• В Судоку группа преобразования с сохранением достоверности содержит сплетение (S₃ ≀ S₃) ≀ ℤ₂, где множители представляют собой перестановку строк / столбцов в 3-рядном или 3-столбцовом группа или же куча (S₃), перестановка самих лент / стопок (S₃) и транспонирование, при котором строки и столбцы меняются местами (ℤ₂).

Рекомендации

внешняя ссылка

• Венок в Энциклопедия математики.
• Некоторые применения конструкции сплетения. В архиве 21 февраля 2014 г. Wayback Machine