Бесплатная группа - Free group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро образ прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) г2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

Диаграмма, показывающая, что Граф Кэли для свободной группы на двух генераторах выглядело бы. Каждая вершина представляет собой элемент свободной группы, а каждое ребро представляет собой умножение на а или б.

В математика, то свободная группа F_S по заданному набору S состоит из всех слова которые могут быть построены из членов S, считая два слова разными, если их равенство не следует из групповые аксиомы (например. ул = су⁻¹т, но s ≠ т⁻¹ для s,т,ты ∈ S). Члены S называются генераторы из F_S, а количество генераторов равно ранг свободной группы. группа г называется свободный если это изоморфный к F_S для некоторых подмножество S из г, то есть если есть подмножество S из г так что каждый элемент г может быть записан одним и только одним способом как произведение конечного числа элементов S и их обратные (не считая тривиальных вариаций, таких как ул = су⁻¹т).

Связанное, но другое понятие - это свободная абелева группа; оба понятия являются частными примерами свободный объект от универсальная алгебра. Таким образом, свободные группы определяются их универсальная собственность.

История

Бесплатные группы впервые возникли при изучении гиперболическая геометрия, как примеры Фуксовы группы (дискретные группы, действующие изометрии на гиперболическая плоскость ). В статье 1882 г. Вальтер фон Дейк отметил, что эти группы имеют простейшие возможные презентации.^[1] Алгебраическое изучение свободных групп было инициировано Якоб Нильсен в 1924 году, который дал им свое имя и установил многие из их основных свойств.^[2][3][4] Макс Ден осознал связь с топологией и получил первое доказательство полного Теорема Нильсена – Шрайера.^[5] Отто Шрайер опубликовал алгебраическое доказательство этого результата в 1927 г.,^[6] и Курт Райдемайстер включил всесторонний анализ свободных групп в свою книгу 1932 г. комбинаторная топология.^[7] Позже, в 1930-е гг., Вильгельм Магнус обнаружил связь между нижний центральный ряд бесплатных групп и свободные алгебры Ли.

Примеры

Группа (Z, +) из целые числа не имеет ранга 1; генераторная установка S = {1}. Целые числа также являются свободная абелева группа, хотя все свободные группы ранга ${ displaystyle geq 2}$ неабелевы. Свободная группа на двухэлементном наборе S происходит в доказательстве Парадокс Банаха – Тарского и там описано.

С другой стороны, никакая нетривиальная конечная группа не может быть свободной, поскольку элементы свободной образующей свободной группы имеют бесконечный порядок.

В алгебраическая топология, то фундаментальная группа из букет из k круги (набор k петли, имеющие только одну общую точку) - это свободная группа на множестве k элементы.

строительство

В свободная группа F_S с участием бесплатная генераторная установка S можно построить следующим образом. S представляет собой набор символов, и мы предполагаем, что для каждого s в S есть соответствующий "обратный" символ, s⁻¹, в комплекте S⁻¹. Позволять Т = S ∪ S⁻¹, и определим слово в S быть любым письменным продуктом элементов Т. То есть слово в S является элементом моноид Сгенерированно с помощью Т. Пустое слово - это слово без символов. Например, если S = {а, б, c}, тогда Т = {а, а⁻¹, б, б⁻¹, c, c⁻¹}, и

${ displaystyle ab ^ {3} c ^ {- 1} ca ^ {- 1} c ,}$

это слово в S.

Если элемент S лежит непосредственно рядом с обратным, слово можно упростить, опуская c, c⁻¹ пара:

${ displaystyle ab ^ {3} c ^ {- 1} ca ^ {- 1} c ; ; longrightarrow ; ; ab ^ {3} , a ^ {- 1} c.}$

Слово, которое нельзя упростить дальше, называется уменьшенный.

Бесплатная группа F_S определяется как группа всех сокращенных слов в S, с участием конкатенация слов (с последующим сокращением, если необходимо) как групповая операция. Идентичность - пустое слово.

Слово называется циклически сокращается если его первая и последняя буква не противоположны друг другу. Каждое слово сопрягать в циклически сокращенное слово, а циклически сокращенное сопряжение циклически сокращенного слова - это циклическая перестановка букв в слове. Например б⁻¹abcb не циклически редуцируется, но сопряжена с abc, который циклически сокращается. Единственные циклически восстановленные конъюгаты abc находятся abc, BCA, и такси.

Универсальная собственность

Бесплатная группа F_S это универсальный группа, порожденная множеством S. Это можно формализовать следующим образом: универсальная собственность: с учетом любой функции ж от S группе г, существует единственный гомоморфизм φ: F_S → г делая следующие диаграмма коммутируют (где безымянное отображение обозначает включение от S в F_S):

То есть гомоморфизмы F_S → г находятся во взаимно однозначном соответствии с функциями S → г. Для несвободной группы наличие связи ограничил бы возможные образы образующих при гомоморфизме.

Чтобы увидеть, как это связано с конструктивным определением, подумайте о сопоставлении из S к F_S как отправка каждого символа в слово, состоящее из этого символа. Строить φ для данного ж, сначала обратите внимание, что φ отправляет пустое слово в личность г и он должен согласиться с ж на элементах S. Для остальных слов (состоящих из более чем одного символа), φ можно однозначно расширить, так как это гомоморфизм, т. е. φ(ab) = φ(а) φ(б).

Указанное свойство характеризует свободные группы до изоморфизм, и иногда используется как альтернативное определение. Он известен как универсальная собственность свободных групп, а генераторная установка S называется основа для F_S. Основа для свободной группы не определяется однозначно.

Универсальность - стандартная черта бесплатные объекты в универсальная алгебра. На языке теория категорий, конструкция свободной группы (как и большинство конструкций свободных объектов) является функтор от категория наборов к категория групп. Этот функтор левый смежный к забывчивый функтор от групп до наборов.

Факты и теоремы

Некоторые свойства свободных групп легко следуют из определения:

1. Любая группа г является гомоморфным образом некоторой свободной группы F (S). Позволять S быть набором генераторы из г. Естественная карта ж: F (S) → г является эпиморфизм, что доказывает утверждение. Эквивалентно, г изоморфен факторгруппа некоторой свободной группы F (S). Ядро φ это набор связи в презентация из г. Если S можно выбрать здесь конечным, тогда г называется конечно порожденный.
2. Если S имеет более одного элемента, то F (S) не является абелевский, и на самом деле центр из F (S) тривиально (то есть состоит только из единичного элемента).
3. Две свободные группы F (S) и F (Т) изоморфны тогда и только тогда, когда S и Т имеют те же мощность. Эта мощность называется ранг свободной группы F. Таким образом, для каждого кардинального числа k, есть, вплоть до изоморфизм, ровно одна свободная группа ранга k.
4. Свободная группа конечного ранга п > 1 имеет экспоненциальный скорость роста порядка 2п − 1.

Еще несколько связанных результатов:

1. В Теорема Нильсена – Шрайера: Каждый подгруппа свободной группы бесплатно.
2. Свободная группа ранга k очевидно, есть подгруппы каждого ранга меньше, чем k. Менее очевидно, что a (неабелевский!) свободная группа ранга не ниже 2 имеет подгруппы всех счетный ряды.
3. В коммутаторная подгруппа свободной группы ранга k > 1 имеет бесконечный ранг; например для F (а,б), она свободно порождается коммутаторы [а^м, б^п] для ненулевого м и п.
4. Свободная группа из двух элементов: SQ универсальный; сказанное выше следует из того, что любая универсальная группа SQ имеет подгруппы всех счетных рангов.
5. Любая группа, которая действует на дереве, свободно и сохранение ориентация, является свободной группой счетного ранга (задается 1 плюс Эйлерова характеристика из частное график ).
6. В Граф Кэли свободной группы конечного ранга по отношению к свободному порождающему множеству является дерево на котором группа действует свободно, сохраняя ориентацию.
7. В группоид подход к этим результатам, данный в работе П.Дж.Хиггинса ниже, является своего рода извлеченным из подхода, использующего перекрытия. Это позволяет получить более сильные результаты, например, на Теорема Грушко, и нормальная форма для фундаментального группоида графа групп. В этом подходе широко используются свободные группоиды на ориентированном графе.
8. Теорема Грушко имеет следствие, что если подмножество B свободной группы F на п элементы порождают F и имеет п элементы, то B генерирует F свободно.

Свободная абелева группа

Свободная абелева группа на множестве S определяется через его универсальное свойство аналогичным образом с очевидными изменениями: Рассмотрим пару (F, φ), где F абелева группа и φ: S → F это функция. F считается свободная абелева группа на S относительно φ если для любой абелевой группы г и любая функция ψ: S → гсуществует единственный гомоморфизм ж: F → г такой, что

ж(φ(s)) = ψ(s), для всех s в S.

Свободная абелева группа на S можно явно идентифицировать как свободную группу F (S) по модулю подгруппы, порожденной ее коммутаторами, [F (S), F (S)], т.е. его абелианизация. Другими словами, свободная абелева группа на S - это набор слов, которые различаются только по порядку букв. Следовательно, ранг свободной группы можно также определить как ранг ее абелианизации как свободной абелевой группы.

Проблемы Тарского

Около 1945 г. Альфред Тарский спросил, есть ли в свободных группах на двух или более генераторах одинаковые теория первого порядка, и является ли эта теория разрешимый. Села (2006) ответил на первый вопрос, показав, что любые две неабелевы свободные группы имеют одну и ту же теорию первого порядка, и Харлампович и Мясников (2006) ответил на оба вопроса, показывая, что эта теория разрешима.

Аналогичный нерешенный (по состоянию на 2011 г.) вопрос в свободная теория вероятностей спрашивает, есть ли групповые алгебры фон Неймана любых двух неабелевых конечно порожденных свободных групп изоморфны.

Смотрите также

• Генераторная группа группы
• Презентация группы
• Преобразование Нильсена, факторизация элементов группа автоморфизмов свободной группы
• Обычная форма для свободных групп и бесплатное произведение групп
• Бесплатный продукт

Заметки

использованная литература

• Харлампович, Ольга; Мясников, Алексей (2006). «Элементарная теория свободных неабелевых групп» (PDF). Журнал алгебры. 302 (2): 451–552. Дои:10.1016 / j.jalgebra.2006.03.033. Г-Н  2293770. Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-10-21. Получено 2015-09-04.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• В. Магнус, А. Каррасс и Д. Солитар, "Комбинаторная теория групп", Довер (1976).
• П. Дж. Хиггинс, 1971, "Категории и группоиды", ван Ностранд, {Нью-Йорк}. Перепечатки в теории и приложениях категорий, 7 (2005), стр. 1–195.
• Села, Злиль (2006). «Диофантова геометрия над группами. VI. Элементарная теория свободной группы». Геом. Функц. Анальный. 16 (3): 707–730. Дои:10.1007 / s00039-006-0565-8. Г-Н  2238945.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Серр, Жан-Пьер, Деревья, Springer (2003) (английский перевод "arbres, amalgames, SL₂", 3-е издание, Astérisque 46 (1983))
• П.Дж. Хиггинс, Фундаментальный группоид графа групп, Журнал Лондонского математического общества (2) 13 (1976), нет. 1, 145–149.
• Алуффи, Паоло (2009). Алгебра: Глава 0. Книжный магазин AMS. п. 70. ISBN  978-0-8218-4781-7.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт).
• Грилье, Пьер Антуан (2007). Абстрактная алгебра. Springer. п. 27. ISBN  978-0-387-71567-4.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт).