Группа Фробениуса - Frobenius group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В математика, а Группа Фробениуса это переходный группа перестановок на конечный набор, такой, что никакой нетривиальный элемент фиксирует более одной точки, а какой-либо нетривиальный элемент фиксирует точку. Они названы в честь Ф. Г. Фробениус.

Структура

А подгруппа ЧАС группы Фробениуса грамм фиксация точки набора Икс называется Дополнение Фробениуса. Элемент идентичности вместе со всеми элементами, не сопряженными с ЧАС сформировать нормальная подгруппа называется Ядро Фробениуса K. (Это теорема из-за Фробениус (1901); до сих пор нет доказательства этой теоремы, которое не использует теория характера хотя вижу ^[1].) Группа Фробениуса грамм это полупрямой продукт из K и ЧАС:

${ displaystyle G = K rtimes H}$.

И ядро ​​Фробениуса, и дополнение Фробениуса имеют очень ограниченную структуру. Дж. Г. Томпсон  (1960 ) доказал, что ядро ​​Фробениуса K это нильпотентная группа. Если ЧАС имеет даже порядок тогда K абелева. Дополнение Фробениуса ЧАС обладает тем свойством, что каждая подгруппа, порядок которой является произведением двух простых чисел, является циклической; это означает, что его Силовские подгруппы находятся циклический или же обобщенный кватернион группы. Любая группа, в которой все силовские подгруппы циклические, называется Z-группа, и в частности должен быть метациклическая группа: это означает, что это расширение двух циклических групп. Если дополнение Фробениуса ЧАС не разрешимо Zassenhaus показал, что он имеет нормальную подгруппу индекс 1 или 2, который является произведением SL (2,5) и метациклической группы порядка, взаимно простого с 30. В частности, если дополнение Фробениуса совпадает со своей производной подгруппой, то оно изоморфно SL (2,5). Если дополнение Фробениуса ЧАС разрешима, то она имеет нормальную метациклическую подгруппу такую, что фактор-группа является подгруппой симметрической группы в 4 точках. Конечная группа является дополнением Фробениуса тогда и только тогда, когда она имеет точное конечномерное представление над конечным полем, в котором нетождественные элементы группы соответствуют линейным преобразованиям без ненулевых неподвижных точек.

Ядро Фробениуса K однозначно определяется грамм как это Подгруппа фитингов, а дополнение Фробениуса однозначно с точностью до сопряжения определяется Теорема Шура-Цассенхауза. В частности, конечная группа грамм является группой Фробениуса не более чем в одном отношении.

Примеры

Самолет Фано

• Самый маленький пример - симметричная группа по 3 точкам с 6 элементами. Ядро Фробениуса K имеет порядок 3, а дополнение ЧАС имеет порядок 2.
• Для каждого конечное поле F_q с q (> 2) элементов, группа обратимых аффинные преобразования ${ displaystyle x mapsto ax + b}$, ${ displaystyle a neq 0}$ действуя естественно на F_q группа Фробениуса. Предыдущий пример соответствует случаю F₃, поле с тремя элементами.
• Другой пример - подгруппа порядка 21 группа коллинеации из Самолет Фано порожденный 3-кратной симметрией σ, фиксирующей точку, и циклической перестановкой τ всех 7 точек, удовлетворяющей στ = τ²σ. Идентификация F₈^× с плоскостью Фано, σ можно рассматривать как ограничение Автоморфизм Фробениуса σ (Икс) = Икс² из F₈ и τ - это умножение на любой элемент, отличный от 0 или 1 (т. е. генератор циклическая мультипликативная группа из F₈). Эта группа Фробениуса действует просто транзитивно 21 флаги на плоскости Фано, т.е. линиями с отмеченными точками.
• В группа диэдра порядка 2п с п odd - группа Фробениуса с дополнением порядка 2. В более общем случае, если K - любая абелева группа нечетного порядка и ЧАС имеет порядок 2 и действует на K инверсией, то полупрямой продукт K.H группа Фробениуса.
• Многие дополнительные примеры могут быть получены с помощью следующих конструкций. Если мы заменим дополнение Фробениуса группы Фробениуса на нетривиальную подгруппу, мы получим другую группу Фробениуса. Если у нас есть две группы Фробениуса K₁.ЧАС и K₂.ЧАС тогда (K₁ × K₂).ЧАС также является группой Фробениуса.
• Если K - неабелева группа порядка 7³ с показателем 7, и ЧАС циклическая группа порядка 3, то существует группа Фробениуса грамм это расширение K.H из ЧАС к K. Это дает пример группы Фробениуса с неабелевым ядром. Это был первый пример группы Фробениуса с неабелевым ядром (ее построил Отто Шмидт).
• Если ЧАС это группа SL₂(F₅) порядка 120, он свободно действует в неподвижной точке в двумерном векторном пространстве K над полем с 11 элементами. Расширение K.H это наименьший пример не-разрешимый Группа Фробениуса.
• Подгруппа Группа Цассенхаус фиксация точки - это группа Фробениуса.
• Группы Фробениуса, подгруппа Фиттинга которых имеет сколь угодно большой класс нильпотентности, были построены Ито: Пусть q быть главной державой, d положительное целое число, и п простой делитель q −1 с d ≤ п. Исправить какое-то поле F порядка q и какой-то элемент z этого поля заказа п. Дополнение Фробениуса ЧАС - циклическая подгруппа, порожденная диагональной матрицей, я, я-я запись z^я. Ядро Фробениуса K Силовский q-подгруппа GL (d,q), состоящий из верхнетреугольных матриц с единицами на диагонали. Ядро K имеет класс нильпотентности d −1 и полупрямое произведение KH группа Фробениуса.

Теория представлений

Неприводимые комплексные представления группы Фробениуса грамм можно прочитать из ЧАС и K. Есть два типа неприводимые представления из грамм:

• Любое неприводимое представление р из ЧАС дает неприводимое представление грамм используя карту частных из грамм к ЧАС (то есть как ограниченное представительство ). Они дают неприводимые представления грамм с K в их ядре.
• Если S есть ли нетривиальный неприводимое представление K, то соответствующий индуцированное представление из грамм также неприводимо. Они дают неприводимые представления грамм с K не в их ядре.

Альтернативные определения

Существует ряд теоретико-групповых свойств, которые интересны сами по себе, но которые оказываются эквивалентными группе, обладающей перестановочным представлением, которое делает ее группой Фробениуса.

• грамм является группой Фробениуса тогда и только тогда, когда грамм имеет собственную неединичную подгруппу ЧАС такой, что ЧАС ∩ ЧАС^грамм тождественная подгруппа для каждого грамм ∈ грамм − ЧАС, т.е. ЧАС это аномальная подгруппа из грамм.

Это определение затем обобщается для изучения тривиальных множеств пересечений, что позволило получить результаты о группах Фробениуса, использованные при классификации CA группы будет распространено на результаты на Группы CN и наконец теорема нечетного порядка.

При условии, что ${ displaystyle G = K rtimes H}$ это полупрямой продукт нормальной подгруппы K и дополнить ЧАС, то следующие ограничения на центраторы эквивалентны грамм группа Фробениуса с дополнением Фробениуса ЧАС:

• В централизатор C_грамм(k) является подгруппой в K для любого неединичного k в K.
• C_ЧАС(k) = 1 для каждого неединичного k в K.
• C_грамм(час) ≤ H для любой неединичной час в H.

Рекомендации

• Фробениус, Г. (1901), "Über auflösbare Gruppen. IV.", Берл. Бер. (на немецком языке): 1216–1230, Дои:10.3931 / e-rara-18836, JFM  32.0137.01
• Б. Хупперт, Endliche Gruppen I, Springer 1967
• И. М. Айзекс, Теория характеров конечных групп, AMS Челси 1976
• Д. С. Пассман, Группы перестановок, Бенджамин 1968
• Томпсон, Джон Г. (1960), «Нормальные p-дополнения для конечных групп», Mathematische Zeitschrift, 72: 332–354, Дои:10.1007 / BF01162958, ISSN  0025-5874, МИСТЕР  0117289