Коллинеация - Collineation

В проективная геометрия, а коллинеация это один к одному и на карта (а биекция ) от одного проективное пространство в другое или из проективного пространства в себя, так что изображений из коллинеарен точки сами коллинеарны. Таким образом, коллинеация изоморфизм между проективными пространствами или автоморфизм из проективного пространства в себя. Некоторые авторы ограничивают определение коллинеации случаем, когда это автоморфизм.^[1] В набор всех коллинеаций пространства самому себе образуют группа, называется группа коллинеации.

Определение

Проще говоря, коллинеация - это взаимно однозначное отображение одного проективного пространства в другое или из проективного пространства в себя, так что изображения коллинеарных точек сами коллинеарны. Это можно формализовать, используя различные способы представления проективного пространства. Кроме того, случай проективной прямой является особым и поэтому обычно трактуется иначе.

Линейная алгебра

Для проективного пространства, определенного в терминах линейная алгебра (как проектирование векторное пространство ), коллинеация - это отображение между проективными пространствами, которое сохраняющий порядок относительно включение подпространств.

Формально пусть V быть векторным пространством над поле K и W векторное пространство над полем L. Рассмотрим проективные пространства PG(V) и PG(W), состоящий из векторные линии из V и W. Вызов D(V) и D(W) множество подпространств V и W соответственно. Коллинеация от PG(V) к PG(W) является отображением α: D(V) → D(W), такое что:

α - биекция.
А ⊆ B ⇔ α (А) ⊆ α (B) для всех А, B в D(V).^[2]

Аксиоматически

Учитывая проективное пространство определено аксиоматически с точки зрения структура заболеваемости (набор баллов П, линии L, и отношение инцидентности я определяя, какие точки лежат на каких линиях, удовлетворяя определенным аксиомам), коллинеация между проективными пространствами, определенная таким образом, является биективной функцией ж между множествами точек и биективной функцией грамм между набором линий, сохраняя отношение инцидентности.^[3]

Каждое проективное пространство размерности больше или равной трем изоморфно пространству проективизация линейного пространства над делительное кольцо, поэтому в этих измерениях это определение не более общее, чем линейно-алгебраическое определение, приведенное выше, но в размерности два есть другие проективные плоскости, а именно недезарговские планы, и это определение позволяет определять коллинеации в таких проективных плоскостях.

Для размерности один набор точек, лежащих на одной проективной прямой, определяет проективное пространство, и результирующее понятие коллинеации - это просто любая биекция этого множества.

Коллинеации проективной прямой

Для проективного пространства размерности один (проективная линия; проективизация векторного пространства измерение 2), все точки лежат на одной прямой, поэтому группа коллинеарности в точности совпадает с симметричная группа точек проективной прямой. Это отличается от поведения в более высоких измерениях, и поэтому дается более ограничительное определение, определенное таким образом, чтобы основная теорема проективной геометрии держит.

В этом определении, когда V имеет измерение два, коллинеацию от PG(V) к PG(W) - это карта α : D(V) → D(W), такое, что:

В нулевое подпространство из V отображается в нулевое подпространство W.
V отображается на W.
Есть неособая полулинейная карта β из V к W такое, что для всех v в V,

{displaystyle alpha (langle vangle) = langle eta (v) angle}

Это последнее требование гарантирует, что все коллинеации являются полулинейными отображениями.

Типы

Основными примерами коллинеаций являются проективные линейные преобразования (также известные как омографии ) и автоморфные коллинеации. Для проективных пространств, происходящих из линейного пространства, основная теорема проективной геометрии утверждает, что все коллинеации являются их комбинацией, как описано ниже.

Проективные линейные преобразования

Проективные линейные преобразования (омографии) - это коллинеации (плоскости в векторном пространстве соответствуют линиям в ассоциированном проективном пространстве, а линейные преобразования отображают плоскости в плоскости, поэтому проективные линейные преобразования преобразуют линии в прямые), но в целом не все коллинеации являются проективными линейными трансформации. PGL в целом является правильным подгруппа группы коллинеаций.

Автоморфные коллинеации

An автоморфная коллинеация карта, которая в координатах полевой автоморфизм применяется к координатам.

Основная теорема проективной геометрии

Если геометрический размер паппиан проективное пространство не меньше 2, тогда каждая коллинеация является продуктом гомографии (проективного линейного преобразования) и автоморфной коллинеации. Точнее, группа коллинеаций - это проективная полулинейная группа, какой полупрямой продукт омографий автоморфными коллинеациями.

В частности, коллинеации PG (2, р) являются в точности гомографиями, так как р не имеет нетривиальных автоморфизмов (т. е. Gal (р/Q) тривиально).

Предполагать φ неособое полулинейное отображение из V к W, с размерностью V минимум три. Определять α : D(V) → D(W) говоря, что Z^α = {φ(z) : z ∈ Z} для всех Z в D(V). В качестве φ является полулинейным, легко проверить, что эта карта определена правильно, и, кроме того, как φ не сингулярна, она биективна. Теперь очевидно, что α коллинеация. Мы говорим что α индуцируется φ.

Основная теорема проективной геометрии утверждает обратное:

Предполагать V векторное пространство над полем K размером не менее трех, W векторное пространство над полем L, и α коллинеация от PG (V) в PG (W). Из этого следует K и L - изоморфные поля, V и W имеют ту же размерность, и существует полулинейное отображение φ такой, что φ побуждает α.

За п ≥ 3, группа коллинеаций - это проективная полулинейная группа, PΓL - это PGL, скрученный полевые автоморфизмы; формально полупрямой продукт PΓL ≅ PGL ⋊ Gal (K/k), куда k это основное поле за K.

Линейная структура

Таким образом, для K простое поле ( ${displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ или же ${displaystyle mathbb {Q}}$ ), у нас есть PGL = PΓL, но для K не простое поле (например, ${displaystyle mathbb {C}}$ или же ${displaystyle mathbb {F} _ {p ^ {n}}}$ за п ≥ 2), проективная линейная группа в общем случае является собственной подгруппой группы коллинеаций, которую можно рассматривать как «преобразования, сохраняющие проективную полу-линейная структура ". Соответственно фактор-группа PΓL / PGL ≅ Gal (K/k) соответствует «выбору линейной структуры», где идентичность (базовая точка) является существующей линейной структурой. Учитывая проективное пространство без идентификации как проективизацию линейного пространства, нет естественного изоморфизма между группой коллинеаций и PΓL, и выбор линейной структуры (реализация как проективизация линейного пространства) соответствует выбору подгруппы PGL , эти варианты, образующие торсор над Галом (K/k).

История

Идея линия был отнесен к тернарное отношение определяется по коллинеарность (точки лежат на одной линии). В соответствии с Вильгельм Блашке^[4] это было Август Мебиус который первым абстрагировал эту сущность геометрического преобразования:

Что теперь означают наши геометрические преобразования? Мёбиус выбросил и ответил на этот вопрос уже в своем Барицентрическое исчисление (1827). Там он не говорил о трансформации но из перестановки [Verwandtschaften], когда он сказал, что два элемента, взятые из домена, переставлен когда они были заменены произвольным уравнением. В нашем частном случае линейные уравнения между координатами однородных точек Мёбиус назвал перестановкой [Verwandtschaft] обоих пространств точек, в частности коллинеация. Это значение будет изменено позже Chasles к омография. Выражение Мёбиуса сразу понимается, когда мы следуем за Мёбиусом в пунктах вызова коллинеарен когда они лежат на одной линии. Обозначение Мебиуса может быть выражено словами: коллинеарные точки отображаются перестановкой в коллинеарные точки, или, говоря простым языком, прямые линии остаются прямыми.

Современные математики рассматривают геометрию как структура заболеваемости с группа автоморфизмов состоящий из отображений основного пространства, сохраняющих заболеваемость. Такое отображение переставляет линии структуры инцидентности, и понятие коллинеации сохраняется.

Как упоминали Блашке и Кляйн, Мишель Часлес предпочел термин омография к коллинеация. Различие между терминами возникло, когда было уточнено различие между реальная проективная плоскость и сложная проективная линия. Поскольку нетривиальных полевых автоморфизмов настоящий номер поля, все коллинеации являются гомографиями в вещественной проективной плоскости,^[5] однако из-за полевого автоморфизма комплексное сопряжение, не все коллинеации комплексной проективной прямой являются гомографиями. В таких приложениях, как компьютерное зрение где основное поле - это поле действительных чисел, омография и коллинеация могут использоваться как взаимозаменяемые.

Анти-гомография

Операция взятия комплексно сопряженный в комплексная плоскость составляет отражение в реальная линия. С обозначениями z^∗ для конъюгата z, антигомография дан кем-то

{displaystyle f (z) = {frac {az ^ {*} + b} {cz ^ {*} + d}}.}

Таким образом, антигомография - это сочинение спряжения с омография, и это пример коллинеации, которая не является гомографией. Например, геометрически отображение ${displaystyle f (z) = 1 / z ^ {*}}$ составляет инверсия круга.^[6] Преобразования инверсивная геометрия плоскости часто описываются как совокупность всех гомографий и анти-гомографий комплексной плоскости.^[7]

Примечания

^ Например, Бойтельшпахер и Розенбаум 1998, стр.21, Casse 2006, п. 56 и Йель 2004, п. 226
^ Геометры все еще обычно используют обозначение экспоненциального типа для функций, и это условие часто отображается как А ⊆ B ⇔ А^α ⊆ B^α для всех А, B в D(V).
^ «Сохранение отношения инцидентности» означает, что если точка $п$ В сети $л$ тогда $ж (п)$ в $грамм (л)$ ; формально, если $(п, л) \in я$ тогда $(ж (п), грамм (л)) \in я'$ .
^ Феликс Кляйн (1926, 1949) Vorlesungen über Höhere Geometrie, под редакцией Blaschke, Seite 138
^ Casse 2006, п. 64, следствие 4.29
^ Морли и Морли 1933, п. 38
^ Блэр 2000, п. 43; Schwerdtfeger 2012, п. 42.

внешняя ссылка

проективность в PlanetMath.org.

[1] Например, Бойтельшпахер и Розенбаум 1998, стр.21, Casse 2006, п. 56 и Йель 2004, п. 226

[2] Геометры все еще обычно используют обозначение экспоненциального типа для функций, и это условие часто отображается как А ⊆ B ⇔ А^α ⊆ B^α для всех А, B в D(V).

[3] «Сохранение отношения инцидентности» означает, что если точка $п$ В сети $л$ тогда $ж (п)$ в $грамм (л)$ ; формально, если $(п, л) \in я$ тогда $(ж (п), грамм (л)) \in я'$ .

[4] Феликс Кляйн (1926, 1949) Vorlesungen über Höhere Geometrie, под редакцией Blaschke, Seite 138

[5] Casse 2006, п. 64, следствие 4.29

[6] Морли и Морли 1933, п. 38

[7] Блэр 2000, п. 43; Schwerdtfeger 2012, п. 42.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]