Примеры векторных пространств - Examples of vector spaces

Эта статья не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. Найдите источники: «Примеры векторных пространств»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Ноябрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

На этой странице перечислены некоторые примеры векторных пространств. Видеть векторное пространство для определения терминов, используемых на этой странице. Смотрите также: измерение, основа.

Обозначение. Позволять F обозначить произвольный поле такой как действительные числа р или сложные числа C.

Тривиальное или нулевое векторное пространство

Простейшим примером векторного пространства является тривиальный: {0}, который содержит только нулевой вектор (см. Третью аксиому в Векторное пространство статья). Как сложение векторов, так и скалярное умножение тривиальны. А основа для этого векторного пространства пустой набор, так что {0} является 0-размерный векторное пространство над F. Каждое векторное пространство над F содержит подпространство изоморфный к этому.

Нулевое векторное пространство отличается от пустое пространство линейного оператора L, какой ядро из L.

Поле

Следующий простейший пример - поле F сам. Сложение векторов - это просто сложение полей, а скалярное умножение - это просто умножение полей. Это свойство можно использовать для доказательства того, что поле является векторным пространством. Любой ненулевой элемент F служит основой так F является одномерным векторным пространством над собой.

Поле представляет собой довольно специфическое векторное пространство; на самом деле это простейший пример коммутативная алгебра над F. Также, F всего два подпространства: {0} и F сам.

Координатное пространство

Планарный аналитическая геометрия использует координатное пространство р². Изображено: описание линия как набор решений в ${ displaystyle { vec {x}}}$ векторного уравнения ${ displaystyle { vec {x}} cdot { vec {n}} = d}$.

Исходный пример векторного пространства следующий. Для любого положительный целое число п, то набор из всех п-наборы элементов F образует п-мерное векторное пространство над F иногда называют координатное пространство и обозначен F^п. Элемент F^п написано

${ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n})}$

где каждый Икс_я является элементом F. Операции на F^п определены

${ displaystyle x + y = (x_ {1} + y_ {1}, x_ {2} + y_ {2}, ldots, x_ {n} + y_ {n})}$

${ Displaystyle альфа х = ( альфа х_ {1}, альфа х_ {2}, ldots, альфа х_ {п})}$

${ Displaystyle 0 = (0,0, ldots, 0)}$

${ displaystyle -x = (- x_ {1}, - x_ {2}, ldots, -x_ {n})}$

Обычно F это область действительные числа, в этом случае получаем реальное координатное пространство р^п. Поле сложные числа дает комплексное координатное пространство C^п. В а + би форма комплексного числа показывает, что C само по себе является двумерным реальным векторным пространством с координатами (а,б). Точно так же кватернионы и октонионы являются четырехмерными и восьмимерными действительными векторными пространствами соответственно, и C^п это 2n-мерное вещественное векторное пространство.

Векторное пространство F^п имеет стандартная основа:

${ Displaystyle е_ {1} = (1,0, ldots, 0)}$

${ Displaystyle е_ {2} = (0,1, ldots, 0)}$

${ displaystyle vdots}$

${ Displaystyle е_ {п} = (0,0, ldots, 1)}$

где 1 обозначает мультипликативное тождество в F.

Бесконечное координатное пространство

Позволять F^∞ обозначим пространство бесконечные последовательности элементов из F так что только конечно многие элементы ненулевые. То есть, если мы напишем элемент F^∞ в качестве

${ Displaystyle х = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, ldots)}$

то только конечное число Икс_я не равны нулю (т.е. все координаты становятся равными нулю после определенной точки). Сложение и скалярное умножение задаются как в конечном координатном пространстве. Размерность F^∞ является счетно бесконечный. Стандартный базис состоит из векторов е_я которые содержат 1 в я-й слот и нули в другом месте. Это векторное пространство является сопродукт (или же прямая сумма ) счетного числа копий векторного пространства F.

Обратите внимание на роль здесь условия конечности. Можно рассматривать произвольные последовательности элементов в F, которые также составляют векторное пространство с теми же операциями, часто обозначаемыми F^N - видеть ниже. F^N это товар счетного количества копий F.

К Лемма Цорна, F^N имеет основу (очевидной основы нет). Есть бесчисленное множество элементы в основании. Поскольку размеры разные, F^N является нет изоморфен F^∞. Стоит отметить, что F^N является (изоморфным) двойное пространство из F^∞, потому что линейная карта Т из F^∞ к F определяется однозначно своими значениями Т(е_я) на основе элементов F^∞, и эти значения могут быть произвольными. Таким образом, можно видеть, что векторное пространство не обязательно должно быть изоморфным своему двойному двойному, если оно бесконечномерно, в отличие от конечномерного случая.

Произведение векторных пространств

Начиная с п векторные пространства или их счетное бесконечное множество, каждое с одним и тем же полем, мы можем определить пространство продукта, как указано выше.

Матрицы

Позволять F^м×п обозначим множество м×п матрицы с записями в F. потом F^м×п это векторное пространство над F. Сложение векторов - это просто сложение матриц, а скалярное умножение определяется очевидным образом (путем умножения каждой записи на один и тот же скаляр). Нулевой вектор - это просто нулевая матрица. В измерение из F^м×п является мин. Один из возможных вариантов базиса - это матрицы, в которых один элемент равен 1, а все остальные элементы - 0.

Когда м = п матрица квадрат и матричное умножение из двух таких матриц получается третья. Это векторное пространство размерности п² образует алгебра над полем.

Полиномиальные векторные пространства

Одна переменная

Набор многочлены с коэффициентами в F это векторное пространство над F, обозначенный F[Икс]. Сложение векторов и скалярное умножение определяются очевидным образом. Если степень полиномов неограничен, то размер F[Икс] является счетно бесконечный. Если вместо этого ограничиться полиномами со степенью меньше или равной п, то у нас есть векторное пространство размерности п + 1.

Возможная основа для F[Икс] это мономиальный базис: координаты многочлена относительно этого базиса являются его коэффициенты, а карта, отправляющая многочлен в последовательность его коэффициентов, есть линейный изоморфизм из F[Икс] в бесконечное координатное пространство F^∞.

Векторное пространство полиномов с действительными коэффициентами и степенью меньше или равной п часто обозначается как п_п.

Несколько переменных

Набор многочлены от нескольких переменных с коэффициентами в F векторное пространство над F обозначенный F[Икс₁, Икс₂, …, Икс_р]. Здесь р - количество переменных.

Смотрите также: Кольцо полиномов

Функциональные пространства

См. Основную статью на Функциональное пространство, особенно раздел функционального анализа.

Позволять Икс - произвольное непустое множество и V произвольное векторное пространство над F. Пространство всего функции из Икс к V это векторное пространство над F под точечно сложение и умножение. То есть пусть ж : Икс → V и грамм : Икс → V обозначим две функции, и пусть α в F. Мы определяем

${ Displaystyle (е + г) (х) = е (х) + г (х)}$

${ Displaystyle ( альфа е) (х) = альфа е (х)}$

где операции в правой части - это операции в V. Нулевой вектор задается постоянной функцией, отправляющей все в нулевой вектор в V. Пространство всех функций из Икс к V обычно обозначается V^Икс.

Если Икс конечно и V конечномерно, то V^Икс имеет размер |Икс| (тусклый V), иначе пространство бесконечномерно (несчетное число, если Икс бесконечно).

Многие векторные пространства, возникающие в математике, являются подпространствами некоторого функционального пространства. Приведем еще несколько примеров.

Обобщенное координатное пространство

Позволять Икс - произвольное множество. Рассмотрим пространство всех функций из Икс к F которые обращаются в нуль во всех точках, кроме конечного Икс. Это пространство является векторным подпространством F^Икс, пространство всех возможных функций из Икс к F. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что объединение двух конечных множеств конечно, так что сумма двух функций в этом пространстве все равно будет равна нулю вне конечного множества.

Описанное выше пространство обычно обозначается (F^Икс)₀ и называется обобщенное координатное пространство по следующей причине. Если Икс это набор чисел от 1 до п то легко видеть, что это пространство эквивалентно координатному пространству F^п. Аналогично, если Икс это набор натуральные числа, N, то это пространство просто F^∞.

Каноническая основа для (F^Икс)₀ - множество функций {δ_Икс | Икс ∈ Икс} определяется

${ displaystyle delta _ {x} (y) = { begin {cases} 1 quad x = y 0 quad x neq y end {cases}}}$

Размерность (F^Икс)₀ поэтому равен мощность из Икс. Таким образом мы можем построить векторное пространство любой размерности над любым полем. Более того, каждое векторное пространство изоморфно одному из этих видов. Любой выбор базиса определяет изоморфизм, переводя базис на канонический для (F^Икс)₀.

Обобщенное координатное пространство можно также понимать как прямая сумма из |Икс| копии F (т.е. по одному на каждую точку в Икс):

${ displaystyle ( mathbf {F} ^ {X}) _ {0} = bigoplus _ {x in X} mathbf {F}.}$

Условие конечности встроено в определение прямой суммы. Сравните это с прямой продукт из |Икс| копии F что даст полное функциональное пространство F^Икс.

Линейные карты

Важный пример, возникающий в контексте линейная алгебра само является векторным пространством линейные карты. Позволять L(V,W) обозначим множество всех линейных отображений из V к W (оба являются векторными пространствами над F). потом L(V,W) является подпространством W^V так как он замкнут относительно сложения и скалярного умножения.

Отметим, что L (F^п,F^м) можно отождествить с пространством матриц F^м×п естественным образом. Фактически, выбирая подходящие базисы для конечномерных пространств V и W, L (V, W) также можно отождествить с F^м×п. Эта идентификация обычно зависит от выбора основы.

Непрерывные функции

Если Икс есть некоторые топологическое пространство, такой как единичный интервал [0,1], мы можем рассматривать пространство всех непрерывные функции из Икс к р. Это векторное подпространство р^Икс поскольку сумма любых двух непрерывных функций непрерывна, а скалярное умножение непрерывно.

Дифференциальные уравнения

Подмножество пространства всех функций из р к р состоящий из (достаточно дифференцируемых) функций, удовлетворяющих определенному дифференциальное уравнение является подпространством р^р если уравнение линейное. Это потому что дифференциация является линейной операцией, т. е. (а ж + б грамм)′ = а ж ′ + б грамм′, Где ′ - оператор дифференцирования.

Расширения полей

Предполагать K это подполе из F (ср. расширение поля ). потом F можно рассматривать как векторное пространство над K ограничивая скалярное умножение элементами в K (сложение вектора определяется как нормальное). Размерность этого векторного пространства, если оно существует,^[а] называется степень расширения. Например, сложные числа C образуют двумерное векторное пространство над действительными числами р. Точно так же действительные числа р образуют векторное пространство над рациональное число Q который имеет (несчетное количество) бесконечную размерность, если существует базис Гамеля.^[b]

Если V это векторное пространство над F его также можно рассматривать как векторное пространство над K. Размеры связаны формулой

тусклый_KV = (тусклый_FV) (тусклый_KF)

Например C^п, рассматриваемое как векторное пространство над вещественными числами, имеет размерность 2п.

Конечные векторные пространства

Помимо тривиального случая нульмерное пространство над любым полем, векторное пространство над полем F имеет конечное число элементов тогда и только тогда, когда F это конечное поле а векторное пространство имеет конечную размерность. Таким образом, мы имеем F_q, единственное конечное поле (с точностью до изоморфизм ) с q элементы. Здесь q должна быть сила основной (q = п^м с п основной). Тогда любой п-мерное векторное пространство V над F_q буду иметь q^п элементы. Обратите внимание, что количество элементов в V также степень простого числа (потому что степень степени простого числа снова является степенью простого числа). Основным примером такого пространства является координатное пространство (F_q)^п.

Эти векторные пространства имеют решающее значение в теория представлений из конечные группы, теория чисел, и криптография.

Примечания

Рекомендации