Степень полинома - Degree of a polynomial

В математика, то степень из многочлен является высшей из степеней полинома мономы (отдельные термины) с ненулевыми коэффициентами. В степень срока является суммой показателей степени переменные которые появляются в нем, и, следовательно, является неотрицательным целое число. Для одномерный многочлен, степень полинома - это просто наивысший показатель степени, входящий в полином.^[1]^[2] Период, термин порядок использовался как синоним степень но в настоящее время может относиться к нескольким другим концепциям (см. порядок полинома (значения) ).

Например, полином ${displaystyle 7x ^ {2} y ^ {3} + 4x-9,}$ который также можно записать как ${displaystyle 7x ^ {2} y ^ {3} + 4x ^ {1} y ^ {0} -9x ^ {0} y ^ {0},}$ имеет три условия. Первый член имеет степень 5 (сумма полномочия 2 и 3), второй член имеет степень 1, а последний член имеет степень 0. Следовательно, полином имеет степень 5, которая является наивысшей степенью любого члена.

Чтобы определить степень многочлена, не имеющего стандартной формы, например ${displaystyle (x + 1) ^ {2} - (x-1) ^ {2}}$ , его можно оформить в стандартном виде, расширив продукты ( распределенность ) и объединение подобных терминов; Например, ${displaystyle (x + 1) ^ {2} - (x-1) ^ {2} = 4x}$ имеет степень 1, даже если каждое слагаемое имеет степень 2. Однако в этом нет необходимости, если многочлен записан как произведение многочленов в стандартной форме, потому что степень произведения - это сумма степеней факторов.

Имена многочленов по степени

Следующие имена присваиваются полиномам в соответствии с их степенью:^[3]^[4]^[5]^[2]

Особый случай - нуль (увидеть § Степень нулевого многочлена ниже)
Степень 0 - ненулевой постоянный^[6]
Степень 1 - линейный
Степень 2 - квадратичный
Степень 3 - кубический
Степень 4 - квартика (или, если все члены имеют четную степень, биквадратный )
Степень 5 - квинтик
Степень 6 - секстический (или, реже, хексик)
Степень 7 - септический (или, реже, гепатит)

Для более высоких степеней иногда предлагались имена,^[7] но они используются редко:

Степень 8 - октическая
Степень 9 - ноническая
Степень 10 - децичная

Названия ученых степеней выше трех основаны на латыни. порядковые номера и заканчиваются на -IC. Это следует отличать от имен, используемых для количества переменных, арность, основанные на латыни распределительные номера и заканчиваются на -ари. Например, многочлен второй степени от двух переменных, например ${displaystyle x ^ {2} + xy + y ^ {2}}$ , называется «двоично-квадратичной»: двоичный из-за двух переменных, квадратичный из-за второй степени.^[а] Также существуют названия для количества терминов, которые также основаны на латинских распределительных числах, оканчивающихся на -номиальный; общие из них одночлен, биномиальный, и (реже) трехчленный; таким образом ${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$ является «двоичным квадратичным двучленом».

Примеры

Полином ${displaystyle (y-3) (2y + 6) (- 4y-21)}$ является кубическим многочленом: после умножения и сбора членов одинаковой степени он становится ${displaystyle -8y ^ {3} -42y ^ {2} + 72y + 378}$ , со старшим показателем 3.

Полином ${displaystyle (3z ^ {8} + z ^ {5} -4z ^ {2} +6) + (- 3z ^ {8} + 8z ^ {4} + 2z ^ {3} + 14z)}$ является полиномом пятой степени: при объединении одинаковых членов два члена степени 8 сокращаются, оставляя ${displaystyle z ^ {5} + 8z ^ {4} + 2z ^ {3} -4z ^ {2} + 14z + 6}$ , с наивысшим показателем 5.

Поведение при полиномиальных операциях

Степень суммы, произведения или композиции двух многочленов сильно зависит от степени входных многочленов.^[8]

Дополнение

Степень суммы (или разности) двух многочленов меньше или равна большей из их степеней; это,

{displaystyle deg (P + Q) leq max {deg (P), deg (Q)}}

и

{displaystyle deg (P-Q) leq max {deg (P), deg (Q)}}

.

Например, степень ${displaystyle (x ^ {3} + x) - (x ^ {3} + x ^ {2}) = - x ^ {2} + x}$ равно 2 и 2 ≤ max {3, 3}.

Равенство всегда выполняется, если степени многочленов разные. Например, степень ${displaystyle (x ^ {3} + x) + (x ^ {2} +1) = x ^ {3} + x ^ {2} + x + 1}$ равно 3 и 3 = max {3, 2}.

Умножение

Степень произведения многочлена на ненулевое скаляр равна степени полинома; это,

{displaystyle deg (cP) = deg (P)}

.

Например, степень ${displaystyle 2 (x ^ {2} + 3x-2) = 2x ^ {2} + 6x-4}$ равно 2, что равно степени ${displaystyle x ^ {2} + 3x-2}$ .

Таким образом набор многочленов (с коэффициентами из заданного поля F), степени которых меньше или равны заданному числу п образует векторное пространство; для получения дополнительной информации см. Примеры векторных пространств.

В более общем смысле, степень произведения двух многочленов над поле или область целостности это сумма их степеней:

{displaystyle deg (PQ) = deg (P) + deg (Q)}

.

Например, степень ${displaystyle (x ^ {3} + x) (x ^ {2} +1) = x ^ {5} + 2x ^ {3} + x}$ равно 5 = 3 + 2.

Для полиномов над произвольным кольцо, приведенные выше правила могут быть недействительными из-за отмены, которая может произойти при умножении двух ненулевых констант. Например, на ринге ${displaystyle mathbf {Z} / 4mathbf {Z}}$ из целые числа по модулю 4, есть это ${displaystyle deg (2x) = deg (1 + 2x) = 1}$ , но ${displaystyle deg (2x (1 + 2x)) = deg (2x) = 1}$ , что не равно сумме степеней факторов.

Сочинение

Степень композиции двух непостоянных многочленов ${displaystyle P}$ и ${displaystyle Q}$ над полем или областью целостности - произведение их степеней:

{displaystyle deg (Pcirc Q) = deg (P) deg (Q)}

.

Например:

Если ${displaystyle P = (x ^ {3} + x)}$ , ${displaystyle Q = (x ^ {2} +1)}$ , тогда ${displaystyle Pcirc Q = Pcirc (x ^ {2} +1) = (x ^ {2} +1) ^ {3} + (x ^ {2} +1) = x ^ {6} + 3x ^ {4 } + 4x ^ {2} +2}$ , имеющий степень 6.

Обратите внимание, что для многочленов над произвольным кольцом это не обязательно так. Например, в ${displaystyle mathbf {Z} / 4mathbf {Z}}$ , ${displaystyle deg (2x) deg (1 + 2x) = 1cdot 1 = 1}$ , но ${displaystyle deg (2xcirc (1 + 2x)) = deg (2 + 4x) = deg (2) = 0}$ .

Степень нулевого многочлена

Степень нулевой многочлен либо не определено слева, либо определяется как отрицательное (обычно −1 или ${displaystyle -infty}$ ).^[9]

Как и любое постоянное значение, значение 0 можно рассматривать как (постоянный) многочлен, называемый нулевой многочлен. В нем нет ненулевых членов, а значит, и степени, строго говоря, тоже нет. Таким образом, его степень обычно не определена. Предложения о степени сумм и произведений многочленов в предыдущем разделе неприменимы, если любой из задействованных многочленов является нулевым многочленом.^[10]

Однако удобно определить степень нулевого многочлена как отрицательная бесконечность, ${displaystyle -infty,}$ и ввести арифметические правила^[11]

{displaystyle max (a, -infty) = a,}

и

{displaystyle a + (- infty) = - infty.}

Эти примеры показывают, как это расширение удовлетворяет требованиям правила поведения над:

Степень суммы ${displaystyle (x ^ {3} + x) + (0) = x ^ {3} + x}$ равно 3. Это удовлетворяет ожидаемому поведению, а именно: ${displaystyle 3leq max (3, -infty)}$ .
Степень различия ${displaystyle (x) - (x) = 0}$ является ${displaystyle -infty}$ . Это удовлетворяет ожидаемому поведению, а именно: ${displaystyle -infty leq max (1,1)}$ .
Степень продукта ${displaystyle (0) (x ^ {2} +1) = 0}$ является ${displaystyle -infty}$ . Это удовлетворяет ожидаемому поведению, а именно: ${displaystyle -infty = -infty +2}$ .

Вычисляется из значений функции

Существует ряд формул, которые оценивают степень полиномиальной функции. ж. Один на основе асимптотический анализ является

{displaystyle deg f = lim _ {xightarrow infty} {frac {log | f (x) |} {log x}}}

;

это точный аналог метода оценки наклона в график – журнал.

Эта формула обобщает понятие степени на некоторые функции, не являющиеся полиномами, например:

Степень мультипликативный обратный, ${displaystyle 1 / x}$ , равно −1.
Степень квадратный корень, ${displaystyle {sqrt {x}}}$ , составляет 1/2.
Степень логарифм, ${displaystyle log x}$ , равно 0.
Степень экспоненциальная функция, ${displaystyle exp x}$ , является ${displaystyle infty.}$

Формула также дает разумные результаты для многих комбинаций таких функций, например, степени ${displaystyle {frac {1+ {sqrt {x}}} {x}}}$ является ${displaystyle -1/2}$ .

Еще одна формула для вычисления степени ж от его значений

{displaystyle deg f = lim _ {x o infty} {frac {xf '(x)} {f (x)}}}

;

эта вторая формула следует из применения Правило L'Hôpital к первой формуле. Интуитивно, однако, это больше похоже на демонстрацию степени d как дополнительный постоянный множитель в производная ${displaystyle dx ^ {d-1}}$ из ${displaystyle x ^ {d}}$ .

Более детальное (чем простая числовая степень) описание асимптотики функции можно получить, используя нотация большой O. в анализ алгоритмов, например, часто бывает уместно различать темпы роста ${displaystyle x}$ и ${displaystyle xlog x}$ , которые оба вышли бы как имеющие такой же степень по приведенным выше формулам.

Расширение до многочленов с двумя или более переменными

Для многочленов от двух или более переменных степень члена равна сумма показателей переменных в члене; степень (иногда называемая общая степень) полинома снова является максимумом из степеней всех членов полинома. Например, полином Икс²у² + 3Икс³ + 4у имеет степень 4, ту же степень, что и термин Икс²у².

Однако многочлен от переменных Икс и у, является полиномом от Икс с коэффициентами, которые являются полиномами от у, а также многочлен от у с коэффициентами, которые являются полиномами от Икс. Полином

{displaystyle x ^ {2} y ^ {2} + 3x ^ {3} + 4y = (3) x ^ {3} + (y ^ {2}) x ^ {2} + (4y) = (x ^ {2}) y ^ {2} + (4) y + (3x ^ {3})}

имеет степень 3 в Икс и степень 2 в у.

Функция степени в абстрактной алгебре

Учитывая кольцо р, то кольцо многочленов р[Икс] - это множество всех многочленов от Икс которые имеют коэффициенты в р. В частном случае, когда р также поле, кольцо многочленов р[Икс] это главная идеальная область и, что более важно для нашего обсуждения здесь, Евклидова область.

Можно показать, что степень полинома над полем удовлетворяет всем требованиям норма функция в евклидовой области. То есть, учитывая два полинома ж(Икс) и г(Икс), степень продукта ж(Икс)г(Икс) должен быть больше, чем обе степени ж и г индивидуально. На самом деле держится нечто более сильное:

град (ж(Икс)г(Икс)) = deg (ж(Икс)) + град (г(Икс))

В качестве примера того, почему функция степени может выйти из строя кольцо, не являющееся полем, рассмотрим следующий пример. Позволять р = ${displaystyle mathbb {Z} / 4mathbb {Z}}$ , кольцо целых чисел по модулю 4. Это кольцо не поле (и даже не область целостности ), потому что 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). Поэтому пусть ж(Икс) = г(Икс) = 2Икс + 1. Тогда, ж(Икс)г(Икс) = 4Икс² + 4Икс + 1 = 1. Таким образом, deg (ж⋅г) = 0, что не больше степени ж и г (каждый из которых имел степень 1).

Поскольку норма для нулевого элемента кольца функция не определена, мы рассматриваем степень полинома ж(Икс) = 0 также не определено, чтобы он подчинялся правилам нормы в евклидовой области.

Смотрите также

Заметки

^ Для простоты это однородный многочлен, с равной степенью по обеим переменным отдельно.

^ Вайсштейн, Эрик В. «Полиномиальная степень». mathworld.wolfram.com. Получено 31 августа 2020.
^ ^а ^б «Степень (выражения)». www.mathsisfun.com. Получено 31 августа 2020.
^ «Имена многочленов». 25 ноября 1997 г.. Получено 5 февраля 2012.
^ Мак Лэйн и Биркгоф (1999) определяют «линейный», «квадратичный», «кубический», «четвертый» и «пятый». (стр.107)
^ Кинг (2009) определяет «квадратичный», «кубический», «четвертый», «пятый», «шестой», «септический» и «октический».
^ Шафаревич (2003) говорит о многочлене нулевой степени: ${displaystyle f (x) = a_ {0}}$ : "Такой многочлен называется постоянный потому что если мы подставим разные значения Икс в нем мы всегда получаем одно и то же значение ${displaystyle a_ {0}}$ . "(стр. 23)
^ Джеймс Кокл предложил названия «сексуальный», «септический», «октический», «нонический» и «децичный» в 1851 г. (Журнал Механика, Vol. LV, стр. 171 )
^ Ланг, Серж (2005). Алгебра (3-е изд.). Springer. п. 100. ISBN 978-0-387-95385-4.
^ Шафаревич (2003) говорит о нулевом многочлене: «В этом случае мы считаем, что степень многочлена не определена». (стр.27)
Чайлдс (1995) использует -1. (стр. 233)
Чайлдс (2009) использует −∞ (стр. 287), однако он исключает нулевые многочлены в своем предложении 1 (стр. 288), а затем объясняет, что утверждение верно для нулевых многочленов «с разумным предположением, что ${displaystyle -infty}$ + м = ${displaystyle -infty}$ для м любое целое число или м = ${displaystyle -infty}$ ".
Акслер (1997) использует −∞. (стр.64)
Grillet (2007) говорит: «Степень нулевого многочлена 0 иногда остается неопределенной или по-разному определяется как −1 ∈ ℤ или как ${displaystyle -infty}$ , пока deg 0 А для всех А ≠ 0." (А является многочленом.) Однако он исключает нулевые многочлены в своем предложении 5.3. (стр.121)
^ Бариле, Маргарита. «Нулевой многочлен». MathWorld.
^ Axler (1997) дает эти правила и говорит: «Полином 0 объявлен имеющим степень ${displaystyle -infty}$ так что исключения не нужны для различных разумных результатов »(стр. 64)

использованная литература

Акслер, Шелдон (1997), Линейная алгебра сделано правильно (2-е изд.), Springer Science & Business Media
Чайлдс, Линдси Н. (1995), Конкретное введение в высшую алгебру (2-е изд.), Springer Science & Business Media
Чайлдс, Линдси Н. (2009), Конкретное введение в высшую алгебру (3-е изд.), Springer Science & Business Media
Грилье, Пьер Антуан (2007), Абстрактная алгебра (2-е изд.), Springer Science & Business Media
Кинг, Р. Брюс (2009), За пределами уравнения четвертой степени, Springer Science & Business Media
Мак-Лейн, Сондерс; Биркофф, Гарретт (1999), Алгебра (3-е изд.), Американское математическое общество
Шафаревич, Игорь Р. (2003), Дискурсы по алгебре, Springer Science & Business Media

внешние ссылки

Полиномиальный порядок; Вольфрам MathWorld

[8] Для простоты это однородный многочлен, с равной степенью по обеим переменным отдельно.

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Полиномиальная степень». mathworld.wolfram.com. Получено 31 августа 2020.

[:0-2] а ^б «Степень (выражения)». www.mathsisfun.com. Получено 31 августа 2020.

[3] «Имена многочленов». 25 ноября 1997 г.. Получено 5 февраля 2012.

[4] Мак Лэйн и Биркгоф (1999) определяют «линейный», «квадратичный», «кубический», «четвертый» и «пятый». (стр.107)

[5] Кинг (2009) определяет «квадратичный», «кубический», «четвертый», «пятый», «шестой», «септический» и «октический».

[6] Шафаревич (2003) говорит о многочлене нулевой степени: ${displaystyle f (x) = a_ {0}}$ : "Такой многочлен называется постоянный потому что если мы подставим разные значения Икс в нем мы всегда получаем одно и то же значение ${displaystyle a_ {0}}$ . "(стр. 23)

[7] Джеймс Кокл предложил названия «сексуальный», «септический», «октический», «нонический» и «децичный» в 1851 г. (Журнал Механика, Vol. LV, стр. 171 )

[9] Ланг, Серж (2005). Алгебра (3-е изд.). Springer. п. 100. ISBN 978-0-387-95385-4.

[10] Шафаревич (2003) говорит о нулевом многочлене: «В этом случае мы считаем, что степень многочлена не определена». (стр.27)
Чайлдс (1995) использует -1. (стр. 233)
Чайлдс (2009) использует −∞ (стр. 287), однако он исключает нулевые многочлены в своем предложении 1 (стр. 288), а затем объясняет, что утверждение верно для нулевых многочленов «с разумным предположением, что ${displaystyle -infty}$ + м = ${displaystyle -infty}$ для м любое целое число или м = ${displaystyle -infty}$ ".
Акслер (1997) использует −∞. (стр.64)
Grillet (2007) говорит: «Степень нулевого многочлена 0 иногда остается неопределенной или по-разному определяется как −1 ∈ ℤ или как ${displaystyle -infty}$ , пока deg 0 А для всех А ≠ 0." (А является многочленом.) Однако он исключает нулевые многочлены в своем предложении 5.3. (стр.121)

[11] Бариле, Маргарита. «Нулевой многочлен». MathWorld.

[12] Axler (1997) дает эти правила и говорит: «Полином 0 объявлен имеющим степень ${displaystyle -infty}$ так что исключения не нужны для различных разумных результатов »(стр. 64)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[а]

[8]

[9]

[10]

[11]

Полиномы и полиномиальные функции
От степень	Нулевой многочлен (неопределенная степень или -1 или -∞) Постоянная функция (0) Линейная функция (1) Линейное уравнение Квадратичная функция (2) Квадратное уровненеие Кубическая функция (3) Кубическое уравнение Функция четвертого порядка (4) Уравнение четвертой степени Квинтик функция (5) Шестическое уравнение (6) Септическое уравнение (7)
По свойствам	Одномерный Двумерный Многомерный Моном Биномиальный Трехчлен Неприводимый Без квадратов Однородный Квазиоднородный
Инструменты и алгоритмы	Факторизация Наибольший общий делитель Деление Метод оценки Хорнера Результирующий Дискриминантный Основа Грёбнера