Журнал – график - Log–log plot

эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Бревно – бревенчатый участок»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Декабрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

График логарифма y = Икс (синий), y = Икс² (зеленый) и y = Икс³ (красный).
Обратите внимание на отметки логарифмической шкалы на каждой из осей, и что журналИкс и журналy оси (где логарифмы 0), где Икс и y сами 1.

В наука и инженерное дело, а лог – лог-график или график – журнал представляет собой двумерный график числовых данных, который использует логарифмические шкалы как по горизонтальной, так и по вертикальной осям. Мономы - отношения формы ${ displaystyle y = ax ^ {k}}$ - отображаются в виде прямых линий на логарифмическом графике, где степенной член соответствует наклону, а постоянный член соответствует пересечению линии. Таким образом, эти графики очень полезны для распознавания этих отношений и оценка параметров. Для логарифма можно использовать любое основание, хотя чаще всего используется основание 10 (общие журналы).

Связь с одночленами

Для мономиального уравнения ${ displaystyle y = ax ^ {k},}$ логарифмирование уравнения (с любым основанием) дает:

${ Displaystyle журнал у = к журнал х + журнал а.}$

Настройка ${ Displaystyle X = журнал х}$ и ${ displaystyle Y = log y,}$ что соответствует использованию логарифмического графика, дает уравнение:

${ Displaystyle Y = mX + b}$

где м = k наклон прямой (градиент ) и б = журнала это перехват на (журналy) -axis, то есть где журналИкс = 0, поэтому, обращая логи, а это y значение, соответствующее Икс = 1.^[1]

Уравнения

Уравнение для линии в логарифмическом масштабе будет следующим:

${ displaystyle log _ {10} F (x) = m log _ {10} x + b,}$

${ Displaystyle F (х) = х ^ {m} cdot 10 ^ {b},}$

где м это наклон и б - точка пересечения на графике.

Наклон графика бревна

Нахождение наклона графика логарифма с использованием соотношений

Чтобы найти наклон графика, выбираются две точки на Иксось, скажем Икс₁ и Икс₂. Используя приведенное выше уравнение:

${ Displaystyle журнал [F (x_ {1})] = м журнал (x_ {1}) + b, ,}$

и

${ Displaystyle mathrm {журнал} [F (x_ {2})] = m log (x_ {2}) + b. ,}$

Склон м найдена разница:

${ displaystyle m = { frac { mathrm {log} (F_ {2}) - mathrm {log} (F_ {1})} { log (x_ {2}) - log (x_ {1}) )}} = { frac { log (F_ {2} / F_ ​​{1})} { log (x_ {2} / x_ {1})}}, ,}$

где F₁ сокращение для F ( Икс₁ ) и F₂ сокращение для F ( Икс₂ ). Рисунок справа иллюстрирует формулу. Обратите внимание, что наклон в примере на рисунке равен отрицательный. Формула также обеспечивает отрицательный наклон, как видно из следующего свойства логарифма:

${ displaystyle log (x_ {1} / x_ {2}) = - log (x_ {2} / x_ {1}). ,}$

Нахождение функции из графика log – log

Вышеупомянутая процедура теперь изменена, чтобы найти форму функции F(Икс) с использованием его (предполагаемого) известного графика log – log. Чтобы найти функцию Fвозьми немного фиксированная точка (Икс₀, F₀), где F₀ сокращение для F(Икс₀), где-то на прямой на графике выше, а дальше еще произвольная точка (Икс₁, F₁) на том же графе. Затем из приведенной выше формулы наклона:

${ displaystyle m = { frac { log (F_ {1} / F_ ​​{0})} { log (x_ {1} / x_ {0})}}}$

что приводит к

${ displaystyle log (F_ {1} / F_ ​​{0}) = m log (x_ {1} / x_ {0}) = log [(x_ {1} / x_ {0}) ^ {m} ]. ,}$

Обратите внимание, что 10^{журнал₁₀(F₁)} = F₁. Поэтому журналы можно перевернуть, чтобы найти:

${ displaystyle { frac {F_ {1}} {F_ {0}}} = left ({ frac {x_ {1}} {x_ {0}}} right) ^ {m}}$

или

${ displaystyle F_ {1} = { frac {F_ {0}} {x_ {0} ^ {m}}} , , x ^ {m}, ,}$

которое значит что

${ Displaystyle F (x) = mathrm {constant} cdot x ^ {m}.}$

Другими словами, F пропорционально Икс в степень наклона прямой его логарифмического графика. В частности, прямая линия на графике log – log, содержащая точки (F₀, Икс₀) и (F₁, Икс₁) будет иметь функцию:

${ Displaystyle F (x) = {F_ {0}} left ({ frac {x} {x_ {0}}} right) ^ { frac { log (F_ {1} / F_ ​​{0}) )} { log (x_ {1} / x_ {0})}},}$

Конечно, верно и обратное: любая функция вида

${ Displaystyle F (х) = mathrm {константа} cdot x ^ {m}}$

будет иметь прямую линию в качестве логарифмического графического представления, где наклон линии равенм.

Нахождение площади под прямолинейным отрезком логарифмического графика

Чтобы вычислить площадь под непрерывным прямолинейным сегментом логарифмического графика (или оценки площади почти прямой линии), возьмите функцию, определенную ранее.

${ Displaystyle F (x) = mathrm {constant} cdot x ^ {m}.}$

и интегрировать его. Поскольку он работает только с определенным интегралом (двумя определенными конечными точками), область A под графиком принимает форму

${ Displaystyle A (x) = int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} F (x) , dx = { frac { mathrm {constant}} {m + 1}} cdot х ^ {м + 1}: [х_ {0}, х_ {1}]}$

Преобразуя исходное уравнение и вставляя значения с фиксированной точкой, обнаруживается, что

${ displaystyle mathrm {constant} = { frac {F_ {0}} {x_ {0} ^ {m}}}}$

Подставляя обратно в интеграл, вы обнаруживаете, что для A над x₀ к х₁

${ displaystyle A = { frac {F_ {0} / x_ {0} ^ {m}} {m + 1}} cdot (x_ {1} ^ {m + 1} -x_ {0} ^ {m +1})}$

${ displaystyle log A = log left [{ frac {F_ {0} / x_ {0} ^ {m}} {m + 1}} cdot (x_ {1} ^ {m + 1} - x_ {0} ^ {m + 1}) right] = log { frac {F_ {0}} {m + 1}} - log { frac {1} {x_ {0} ^ {m} }} + log (x_ {1} ^ {m + 1} -x_ {0} ^ {m + 1})}$

${ displaystyle log A = log { frac {F_ {0}} {m + 1}} + log left ({ frac {x_ {1} ^ {m + 1} -x_ {0} ^) {m + 1}} {x_ {0} ^ {m}}} right) = log { frac {F_ {0}} {m + 1}} + log left ({ frac {x_ { 1} ^ {m}} {x_ {0} ^ {m}}} cdot x_ {1} - { frac {x_ {0} ^ {m + 1}} {x_ {0} ^ {m}} }правильно)}$

Следовательно: ${ displaystyle A = { frac {F_ {0}} {m + 1}} cdot left [x_ {1} cdot left ({ frac {x_ {1}} {x_ {0}}}) right) ^ {m} -x_ {0} right]}$

Для м = −1, интеграл принимает вид ${ displaystyle A _ {(m = -1)} = int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} F (x) = int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} { frac { mathrm {constant}} {x}} = { frac {F_ {0}} {x_ {0} ^ {- 1}}} int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1 }} { frac {1} {x}} = F_ {0} cdot x_ {0} cdot ln x: [x_ {0}, x_ {1}]}$

${ displaystyle A _ {(m = -1)} = F_ {0} cdot x_ {0} cdot ln { frac {x_ {1}} {x_ {0}}}}$

Приложения

Эти графики полезны, когда параметры а и б необходимо оценивать по числовым данным. Подобные спецификации часто используются в экономика.

Одним из примеров является оценка спрос на деньги функции на основе теория инвентаризации, в котором можно предположить, что спрос на деньги во время т дан кем-то

${ displaystyle M_ {t} = AR_ {t} ^ {b} Y_ {t} ^ {c} U_ {t},}$

где M это реальное количество Деньги проводится общественностью, р это норма прибыли на альтернативном, более доходном активе, превышающем денежный, Y общественность реальный доход, U это ошибка, предполагаемая как логарифмически нормально распределенный, А - масштабный параметр, который необходимо оценить, и б и c находятся эластичность параметры, подлежащие оценке. Сбор урожая бревен

${ displaystyle m_ {t} = a + br_ {t} + cy_ {t} + u_ {t},}$

где м = журнал M, а = журнал А, р = журнал р, y = журнал Y, и ты = журнал U с участием ты будучи нормально распределенный. Это уравнение можно оценить с помощью обыкновенный метод наименьших квадратов.

Другой экономический пример - оценка Производственная функция Кобба – Дугласа, которая является правой частью уравнения

${ displaystyle Q_ {t} = AN_ {t} ^ { alpha} K_ {t} ^ { beta} U_ {t},}$

в котором Q количество продукции, которое может быть произведено в месяц, N количество рабочих часов, занятых на производстве в месяц, K количество часов использования физического капитала в месяц, U - член ошибки, предположительно имеющий логнормальное распределение, и А, ${ displaystyle alpha}$, и ${ displaystyle beta}$ параметры, подлежащие оценке. Журналы дают уравнение линейной регрессии

${ displaystyle q_ {t} = a + alpha n_ {t} + beta k_ {t} + u_ {t}}$

где q = журнал Q, а = журнал А, п = журнал N, k = журнал K, и ты = журнал U.

Логарифмическая регрессия также может использоваться для оценки фрактальная размерность естественного фрактал.

Однако движение в другом направлении - наблюдение за тем, что данные отображаются в виде приблизительной линии в логарифмическом масштабе и вывод о том, что данные подчиняются степенному закону - неверно.^[2]

Фактически, многие другие функциональные формы кажутся приблизительно линейными в логарифмической шкале, и просто оценивая степень соответствия из линейная регрессия по зарегистрированным данным с помощью коэффициент детерминации (р²) может быть недопустимым, поскольку предположения модели линейной регрессии, такие как ошибка Гаусса, могут не выполняться; кроме того, тесты соответствия формы log – log могут показывать низкие статистическая мощность, так как эти тесты могут иметь низкую вероятность отклонения степенных законов в присутствии других истинных функциональных форм. Хотя простые диаграммы логарифмической регистрации могут быть полезны для обнаружения возможных степенных законов, они использовались еще с Парето в 1890-х годах проверка как степенных законов требует более сложной статистики.^[2]

Эти графики также чрезвычайно полезны, когда данные собираются путем изменения управляющей переменной в соответствии с экспоненциальной функцией, и в этом случае управляющая переменная Икс более естественно представлено в логарифмической шкале, так что точки данных располагаются равномерно, а не сжимаются на нижнем уровне. Выходная переменная y может быть представлен линейно, давая lin – log график (журналИкс, y) или его логарифм, в результате чего получается лог-логарифм (logИкс, журналy).

Сюжет Боде (а график из частотный отклик системы) также является графиком журнала.

Смотрите также

• Полубревенчатый сюжет (лин-лог или лог-лин)

внешние ссылки

• Сайт неньютоновского исчисления

использованная литература