Полубревенчатый сюжет - Semi-log plot

Логлинейный тип полулогарифмического графа, определяемый логарифмическая шкала на у-ось, а линейный шкала на Икс-ось. Намеченные линии: у = 10^Икс (красный), у = Икс (зеленый), у = журнал (Икс) (синий).

Линейно-логарифмический тип полулогарифмического графа, определяемый логарифмическая шкала на оси x, а линейный масштаб по оси Y. Намеченные линии: у = 10^Икс (красный), у = Икс (зеленый), у = журнал (Икс) (синий).

В наука и инженерное дело, а полулогарифмический сюжет, или же полулогарифмический график (или же полулогарифмический участок/график), имеет одну ось на логарифмическая шкала, другой на линейная шкала. Это полезно для данных с экспоненциальный отношения, где один Переменная охватывает большой диапазон значений^[1]или увеличить и визуализировать, что - то, что вначале кажется прямой линией, - на самом деле является медленным началом логарифмической кривой, которая вот-вот будет резко увеличиваться, и изменения намного больше, чем предполагалось изначально.^[2].

Все уравнения вида ${displaystyle y = lambda a ^ {gamma x}}$ образуют прямые линии при нанесении на полулогарифмический график, поскольку бревна с обеих сторон дают

${displaystyle log _ {a} y = gamma x + log _ {a} lambda.}$

Это линия с уклоном ${displaystyle gamma}$ и ${displaystyle log _ {a} lambda}$ вертикальный перехват. Логарифмическая шкала обычно обозначается по основанию 10; иногда в базе 2:

${displaystyle log (y) = (gamma log (a)) x + log (лямбда).}$

А лог-линейный график (иногда логарифмический) имеет логарифмическую шкалу на у-ось, а линейный шкала на Икс-ось; а линейный журнал (иногда лин-лог) все наоборот. Именование выход Вход (у-Икс), порядок обратный от (Икс, у).

На полулогарифмическом графике интервал шкалы на у-ось (или Икс-axis) пропорциональна логарифму числа, а не самому числу. Это эквивалентно преобразованию у значения (или Икс значения) в их журнал, и построение данных в линейных масштабах. А логарифмический график использует логарифмическую шкалу для обеих осей и, следовательно, не является полулогарифмическим графиком.

Уравнения

Уравнение линии на линейно-логарифмическом графике, где абсцисса ось масштабируется логарифмически (с логарифмическим основанием п), было бы

${displaystyle F (x) = mlog _ {n} (x) + b.,}$

Уравнение для линии на лог-линейном графике с ордината ось логарифмически масштабируется (с логарифмическим основанием п), было бы:

${displaystyle log _ {n} (F (x)) = mx + b}$

${displaystyle F (x) = n ^ {mx + b} = (n ^ {mx}) (n ^ {b}).}$

Нахождение функции на полулогарифмическом графике

Линейно-логарифмический график

На линейно-логарифмическом графике выберите несколько фиксированная точка (Икс₀, F₀), куда F₀ сокращение для F(Икс₀), где-то на прямой на графике выше, а дальше еще произвольная точка (Икс₁, F₁) на том же графе. Формула наклона графика:

${displaystyle m = {frac {F_ {1} -F_ {0}} {log _ {n} (x_ {1} / x_ {0})}}}$

что приводит к

${displaystyle F_ {1} -F_ {0} = mlog _ {n} (x_ {1} / x_ {0})}$

или же

${displaystyle F_ {1} = mlog _ {n} (x_ {1} / x_ {0}) + F_ {0} = mlog _ {n} (x_ {1}) - mlog _ {n} (x_ {0 }) + F_ {0}}$

что обозначает

${displaystyle F (x) = mlog _ {n} (x) + константа}$

Другими словами, F пропорциональна логарифму Икс умноженное на наклон прямой линии его линейного графика плюс константа. В частности, прямая линия на линейно-логарифмическом графике, содержащая точки (F₀, Икс₀) и (F₁, Икс₁) будет иметь функцию:

${displaystyle F (x) = (F_ {1} -F_ {0}) {left [{frac {log _ {n} (x / x_ {0})} {log _ {n} (x_ {1} / x_ {0})}} ight]} + F_ {0} = (F_ {1} -F_ {0}) log _ {frac {x_ {1}} {x_ {0}}} {left ({frac { x} {x_ {0}}} ight)} + F_ {0}}$

лог-линейный график

На лог-линейном графике (логарифмический масштаб по оси Y) выберите несколько фиксированная точка (Икс₀, F₀), куда F₀ сокращение для F(Икс₀), где-то на прямой на графике выше, а дальше еще произвольная точка (Икс₁, F₁) на том же графе. Формула наклона графика:

${displaystyle m = {frac {log _ {n} (F_ {1} / F_ ​​{0})} {x_ {1} -x_ {0}}}}$

что приводит к

${displaystyle log _ {n} (F_ {1} / F_ ​​{0}) = m (x_ {1} -x_ {0})}$

Заметь п^{бревно_п(F₁)} = F₁. Поэтому журналы можно перевернуть, чтобы найти:

${displaystyle {frac {F_ {1}} {F_ {0}}} = n ^ {m (x_ {1} -x_ {0})}}$

или же

${displaystyle F_ {1} = F_ {0} n ^ {m (x_ {1} -x_ {0})}}$

Это можно обобщить для любой точки, а не просто F₁:

${displaystyle F (x) = {F_ {0}} n ^ {left ({frac {x-x_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} ight) log _ {n} (F_ { 1} / F_ ​​{0})}}$

Примеры из реального мира

Фазовая диаграмма воды

В физика и химия, график логарифма давления в зависимости от температуры может быть использован для иллюстрации различных фазы вещества, как показано ниже для воды:

лог-линейное давление – температура фазовая диаграмма воды. В римские цифры указать различные ледяные фазы.

2009 г. прогрессирование «свиного гриппа»

Хотя десять - самый распространенный основание, бывают случаи, когда другие базы более подходят, как в этом примере:

Полулогарифмический график случаев и смертей в Вспышка гриппа A (H1N1) в 2009 г.. Обратите внимание, что в то время как горизонтальная (время) ось является линейной с равномерным интервалом между датами, вертикальная (для случаев) ось является логарифмической, причем равномерно расположенные деления помечены последовательными степенями двойки. Полулогарифмический график позволяет легче увидеть, когда инфекция перестала распространяться с максимальной скоростью, т.е. прямая линия на этом экспоненциальном графике и начинает изгибаться, указывая на более медленную скорость. Это может указывать на то, что какая-то форма действий по смягчению работает, например. социальное дистанцирование.

Микробный рост

В биология и биологическая инженерия, изменение количества микробы из-за бесполое размножение истощение питательных веществ обычно иллюстрируется полулогарифмическим графиком. Время обычно представляет собой независимую ось с логарифмом числа или массы бактерии или другой микроб в качестве зависимой переменной. Это формирует график с четырьмя отдельными фазами, как показано ниже.

Кривая роста бактерий

Смотрите также

• Номограф, более сложные графики
• Нелинейная регрессия # Преобразование, для преобразования нелинейной формы в полулогарифмическую форму, поддающуюся неитерационному вычислению
• Бревенчатый график

Рекомендации