Переменная (математика) - Variable (mathematics)

В математика, а Переменная это символ, который функционирует как заполнитель для переменного выражения или количество, и часто используется для представления произвольного элемента набор. В добавление к числа, переменные обычно используются для представления векторов, матрицы и функции.^[1]^[2]

Изготовление алгебраические вычисления с переменными, как если бы они были явными числами, позволяет решить ряд задач за одно вычисление. Типичным примером является квадратичная формула, что позволяет решать все квадратное уровненеие —Просто подставляя числовые значения коэффициентов данного уравнения вместо переменных, которые их представляют.

В математическая логика, а Переменная является либо символом, представляющим неуказанный срок теории (т.е. метапеременная ), или основной объект теории, которым манипулируют, не обращаясь к его возможной интуитивной интерпретации.

Этимология

«Переменная» происходит от латинского слова, вариабилис, с "вари (нас)"" означает "различные" и "-ābilis«'означает« -способный », что означает« способный к изменению ».^[3]

Генезис и эволюция концепции

В 7 веке Брахмагупта использовали разные цвета для представления неизвестных в алгебраических уравнениях в Брахмаспхунасиддханта. Один из разделов этой книги называется «Уравнения нескольких цветов».^[4]

В конце 16 века Франсуа Виет представил идею представления известных и неизвестных чисел буквами, которые в настоящее время называются переменными, и идею вычисления с ними, как если бы они были числами, чтобы получить результат простой заменой. Соглашение Виэта заключалось в использовании согласных для известных значений и гласных для неизвестных.^[5]

В 1637 г. Рене Декарт "изобрел соглашение о представлении неизвестных в уравнениях Икс, у, и z, и знает а, б, и c".^[6] Вопреки соглашению Виэта, слово Декарта все еще широко используется.

Начиная с 1660-х годов, Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц независимо разработал исчисление бесконечно малых, который по сути состоит из изучения того, как бесконечно малый вариация переменное количество вызывает соответствующее изменение другой величины, которая является функция первой переменной. Почти столетие спустя Леонард Эйлер исправил терминологию исчисления бесконечно малых и ввел обозначение $у = ж (Икс)$ для функции $ж$ , это Переменная $Икс$ и его ценность $у$ . До конца 19 века слово Переменная относился почти исключительно к аргументы и значения функций.

Во второй половине 19-го века выяснилось, что основы исчисления бесконечно малых не были достаточно формализованы, чтобы иметь дело с очевидными парадоксами, такими как нигде дифференцируемый непрерывная функция. Чтобы решить эту проблему, Карл Вейерштрасс представил новый формализм, состоящий в замене интуитивного понятия предел по формальному определению. Старое понятие предела было «когда Переменная $Икс$ меняется и имеет тенденцию к $а$ , тогда $ж (Икс)$ стремится к $L$ ", без какого-либо точного определения" имеет тенденцию ". Вейерштрасс заменил это предложение формулой

{displaystyle (forall epsilon> 0) (существует eta> 0) (forall x); | x-a |

в котором ни одна из пяти переменных не считается изменяющейся.

Эта статическая формулировка привела к современному понятию переменной, которое представляет собой просто символ, представляющий математический объект который либо неизвестен, либо может быть заменен любым элементом данного набор (например, набор действительные числа ).

Конкретные виды переменных

Обычно переменные играют разные роли в одной и той же математической формуле, и для их различения были введены имена или квалификаторы. Например, генерал кубическое уравнение

{displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0,}

интерпретируется как имеющий пять переменных: четыре, $а, б, c, d$ , которым приняты числа и пятая переменная, $Икс,$ понимается как неизвестный номер. Чтобы их различать, переменная $Икс$ называется неизвестно, а остальные переменные называются параметры или же коэффициенты, а иногда константы, хотя последняя терминология неверна для уравнения и должна быть зарезервирована для функция определяется левой частью этого уравнения.

В контексте функций термин Переменная обычно относится к аргументам функций. Обычно это имеет место в таких предложениях, как "функция действительной переменной ", " $Икс$ - переменная функции $ж : Икс \mapsto ж (Икс)$ ", " $ж$ является функцией переменной $Икс$ "(означает, что на аргумент функции ссылается переменная $Икс$ ).

В том же контексте переменные, не зависящие от $Икс$ определять постоянные функции и поэтому называются постоянный. Например, постоянная интеграции - произвольная постоянная функция, добавляемая к определенному первообразный для получения других первообразных. Потому что сильные отношения между многочлены и полиномиальная функция, термин «константа» часто используется для обозначения коэффициентов многочлена, которые являются постоянными функциями неопределенных.

Это использование «константы» как сокращения «постоянной функции» следует отличать от обычного значения этого слова в математике. А постоянный, или же математическая константа является хорошо и однозначно определенным числом или другим математическим объектом, например, числами 0, 1, $π$ и элемент идентичности из группа.

Другие конкретные имена переменных:

An неизвестный переменная в уравнение который должен быть решен.
An неопределенный - это символ, обычно называемый переменной, который появляется в многочлен или формальный степенной ряд. Формально неопределенное - это не переменная, а постоянный в кольцо многочленов или кольцо формальный степенной ряд. Однако из-за сильной связи между полиномами или степенными рядами и функции которые они определяют, многие авторы рассматривают индетерминанты как особый вид переменных.
А параметр - величина (обычно число), которая является частью входных данных проблемы и остается постоянной в течение всего решения этой проблемы. Например, в механика масса и размер твердого тела равны параметры для изучения его движения. В Информатика, параметр имеет другое значение и обозначает аргумент функции.
Свободные переменные и связанные переменные
А случайная переменная это своего рода переменная, которая используется в теория вероятности и его приложения.

Все эти наименования переменных имеют семантический природа, и способ вычисления с ними (синтаксис ) одинаково для всех.

Зависимые и независимые переменные

В исчисление и его применение к физика и другие науки, довольно часто рассматривать переменную, например $у$ , возможные значения которой зависят от значения другой переменной, скажем $Икс$ . С математической точки зрения зависимый Переменная $у$ представляет собой значение функция из $Икс$ . Для упрощения формул часто бывает полезно использовать один и тот же символ для зависимой переменной. $у$ и отображение функций $Икс$ на $у$ . Например, состояние физической системы зависит от измеримых величин, таких как давление, то температура, пространственное положение, ..., и все эти величины изменяются по мере развития системы, то есть они являются функцией времени. В формулах, описывающих систему, эти величины представлены переменными, которые зависят от времени и, таким образом, рассматриваются неявно как функции времени.

Следовательно, в формуле a зависимая переменная - это переменная, которая неявно является функцией другой (или нескольких других) переменных. An независимая переменная переменная, которая не зависит.^[7]

Свойство переменной быть зависимой или независимой часто зависит от точки зрения и не является внутренним. Например, в обозначениях $ж (Икс, у, z)$ , все три переменные могут быть независимыми, а запись представляет собой функцию трех переменных. С другой стороны, если $у$ и $z$ зависит от $Икс$ (находятся зависимые переменные), то обозначение представляет функцию единственного независимая переменная $Икс$ .^[8]

Примеры

Если определить функцию ж от действительные числа к действительным числам

{displaystyle f (x) = x ^ {2} + sin (x + 4)}

тогда Икс переменная, обозначающая аргумент определяемой функции, которое может быть любым действительным числом. В личности

{displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} i = {frac {n ^ {2} + n} {2}}}

переменная я является суммирующей переменной, которая по очереди обозначает каждое из целых чисел 1, 2, ..., п (его еще называют индекс потому что его изменение распространяется на дискретный набор значений), а п является параметром (в формуле не изменяется).

В теории многочлены, полином степени 2 обычно обозначается как топор² + bx + c, куда а, б и c называются коэффициенты (они считаются фиксированными, т. е. параметры рассматриваемой задачи), а Икс называется переменной. При изучении этого полинома на предмет его полиномиальная функция это Икс обозначает аргумент функции. При изучении полинома как объекта в себе Икс считается неопределенным и часто пишется с заглавной буквы, чтобы указать этот статус.

Обозначение

В математике переменные обычно обозначаются одной буквой. Однако за этой буквой часто следует нижний индекс, как в $Икс 2$ , и этот индекс может быть числом, другой переменной ( $Икс я$ ), слово или сокращение слова ( $Икс в$ и $Икс из$ ), и даже математическое выражение. Под влиянием Информатика, в чистой математике можно встретить имена переменных, состоящие из нескольких букв и цифр.

Вслед за французским философом и математиком 17 века, Рене Декарт, буквы в начале алфавита, например а, б, c обычно используются для известных значений и параметров, а буквы в конце алфавита, например Икс, у, z, и т обычно используются для неизвестных и переменных функций.^[9] В печатном виде математика, нормой является установка переменных и констант в курсив.^[10]

Например, общая квадратичная функция условно записывается как:

{displaystyle ax ^ {2} + bx + c ,,}

куда а, б и c являются параметрами (также называемыми константами, потому что они постоянные функции ), пока Икс - переменная функции. Более явный способ обозначить эту функцию -

{displaystyle xmapsto ax ^ {2} + bx + c ,,}

что делает статус функции-аргумента Икс ясный, и тем самым неявно постоянный статус а, б и c. С c встречается в члене, который является постоянной функцией Икс, это называется постоянный срок.^[11]^:18

Конкретные области и приложения математики обычно имеют определенные соглашения об именах для переменных. Переменным с похожими ролями или значениями часто присваиваются последовательные буквы. Например, три оси в 3D координатное пространство условно называются Икс, у, и z. В физике названия переменных во многом определяются физическое количество они описывают, но существуют различные соглашения об именах. вероятность и статистика использовать Икс, Y, Z для имен случайные переменные, сохраняя Икс, у, z для переменных, представляющих соответствующие фактические значения.

Есть много других способов обозначения. Обычно переменные, играющие схожую роль, представлены последовательными буквами или одной и той же буквой с разными нижний индекс. Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных вариантов использования.

а, б, c, и d (иногда расширяется до е и ж) часто представляют параметры или коэффициенты.
а₀, а₁, а₂, ... играют аналогичную роль, когда в противном случае потребовалось бы слишком много разных букв.
а_я или же ты_я часто используется для обозначения я-й срок последовательность или я-й коэффициент серии.
ж и грамм (иногда час) обычно обозначают функции.
я, j, и k (иногда л или же час) часто используются для обозначения различных целые числа или индексы в индексированная семья. Они также могут использоваться для обозначения единичные векторы.
л и ш часто используются для обозначения длины и ширины фигуры.
л также используется для обозначения линии. В теории чисел л часто обозначает простое число, не равное п.
п обычно обозначает фиксированное целое число, такое как количество объектов или степень уравнение.
- Когда необходимы два целых числа, например, для размеров матрица, обычно используется м и п.
п часто обозначает простые числа или вероятность.
q часто обозначает основная сила или частное
р часто обозначает радиус, а остаток или коэффициент корреляции.
т часто обозначает время.
Икс, у и z обычно обозначают три Декартовы координаты точки в Евклидова геометрия. По расширению они используются для обозначения соответствующих топоры.
z обычно обозначает комплексное число, или, в статистике, нормальная случайная величина.
α, β, γ, θ и φ обычно обозначают угол меры.
ε обычно представляет собой сколь угодно малое положительное число.
- ε и δ обычно обозначают два небольших положительных результата.
λ используется для собственные значения.
σ часто обозначает сумму, или, в статистике, стандартное отклонение.

Смотрите также

Константа интеграции
Постоянный член полинома
Свободные переменные и связанные переменные (Связанные переменные также известны как фиктивные переменные)
Неопределенный (переменный)
Лямбда-исчисление
Математическое выражение
Наблюдаемая переменная
Физическая постоянная
Переменная (информатика)

Библиография

Дж. Эдвардс (1892). Дифференциальное исчисление. Лондон: MacMillan and Co., стр.1 ff.
Карл Менгер, "О переменных в математике и естествознании", Британский журнал философии науки 5: 18: 134–142 (август 1954 г.) JSTOR 685170
Ярослав Перегрин "Переменные на естественном языке: откуда они взялись? ", в M. Boettner, W. Thümmel, eds., Семантика без переменных, 2000, с. 46–65.
W.V. Куайн, "Объяснение переменных ", Труды Американского философского общества 104:343–347 (1960).