Остаток - Remainder

Арифметические операции

Добавление (+) ${ displaystyle scriptstyle left. { begin {matrix} scriptstyle { text {term}} , + , { text {term}} scriptstyle { text {summand}} , + , { text {summand}} scriptstyle { text {addend (в широком смысле)}} , + , { text {addend (в широком смысле)}} scriptstyle { text {augend}} , + , { text {addend (в строгом смысле)}} end {matrix}} right } , = ,}$ ${ displaystyle scriptstyle { text {sum}}}$ Вычитание (−) ${ displaystyle scriptstyle left. { begin {matrix} scriptstyle { text {term}} , - , { text {term}} scriptstyle { text {minuend}} , - , { text {subtrahend}} end {matrix}} right } , = ,}$ ${ displaystyle scriptstyle { text {разница}}}$ Умножение (×) ${ displaystyle scriptstyle left. { begin {matrix} scriptstyle { text {factor}} , times , { text {factor}} scriptstyle { text {multiplier}} , раз , { text {multiplicand}} end {matrix}} right } , = ,}$ ${ displaystyle scriptstyle { text {product}}}$ Разделение (÷) ${ displaystyle scriptstyle left. { begin {matrix} scriptstyle { frac { scriptstyle { text {divisor}}} { scriptstyle { text {divisor}}}} scriptstyle { text { }} scriptstyle { frac { scriptstyle { text {numerator}}} { scriptstyle { text {denominator}}}} end {matrix}} right } , = ,}$ ${ displaystyle { begin {matrix} scriptstyle { text {дробь}} scriptstyle { text {quotient}} scriptstyle { text {ratio}} end {matrix}}}$ Возведение в степень ${ displaystyle scriptstyle { text {base}} ^ { text {exponent}} , = ,}$ ${ displaystyle scriptstyle { text {power}}}$ пй корень (√) ${ displaystyle scriptstyle { sqrt [{ text {степень}}] { scriptstyle { text {radicand}}}} , = ,}$ ${ displaystyle scriptstyle { text {root}}}$ Логарифм (бревно) ${ Displaystyle scriptstyle log _ { text {base}} ({ text {антилогарифм}}) , = ,}$ ${ displaystyle scriptstyle { text {логарифм}}}$

В математика, то остаток это количество, «оставшееся» после выполнения некоторых вычислений. В арифметика, остаток - это целое число, оставшееся после разделение один целое число другим, чтобы получить целое число частное (целочисленное деление ). В алгебра полиномов, остаток - это полином, оставшийся после деления одного полинома на другой. В операция по модулю - это операция, которая дает такой остаток при задании делимого и делителя.

В качестве альтернативы, остаток - это также то, что осталось после вычитание одно число от другого, хотя это более точно называется разница. Это употребление можно найти в некоторых начальных учебниках; в просторечии его заменяют выражением «остальное», например «Верни мне два доллара, а остальное оставь себе».^[1] Однако термин «остаток» все еще используется в этом смысле, когда функция аппроксимируется расширение серии, где выражение ошибки («остальное») называется оставшийся срок.

Целочисленное деление

Учитывая целое число а и ненулевое целое число d, можно показать, что существуют уникальные целые числа q и р, так что а = qd + р и 0 ≤ р < |d|. Номер q называется частное, пока р называется остаток.^[2]

(Доказательство этого результата см. Евклидово деление. Алгоритмы, описывающие, как вычислить остаток, см. алгоритм деления.)

Остаток, как определено выше, называется наименьший положительный остаток или просто остаток.^[3] Целое число а либо кратно d, или лежит в интервале между последовательными кратными d, а именно q⋅d и (q + 1)d (для положительных q).

В некоторых случаях удобно проводить деление так, чтобы а как можно ближе к целому кратному d насколько возможно, то есть мы можем написать

а = k⋅d + s, с |s| ≤ |d/ 2 | для некоторого целого числа k.

В этом случае, s называется наименьший абсолютный остаток.^[4] Как и в случае с частным и остатком, k и s определены однозначно, за исключением случая, когда d = 2п и s = ± п. Для этого исключения у нас есть:

а = k⋅d + п = (k + 1)d − п.

В этом случае уникальный остаток может быть получен с помощью некоторого соглашения, например, всегда принимая положительное значение s.

Примеры

При делении 43 на 5 получаем:

43 = 8 × 5 + 3,

так что 3 - наименьший положительный остаток. У нас также есть это:

43 = 9 × 5 − 2,

и −2 - наименьший абсолютный остаток.

Эти определения также верны, если d отрицательно, например, при делении 43 на −5

43 = (−8) × (−5) + 3,

а 3 - наименьший положительный остаток, а

43 = (−9) × (−5) + (−2)

и −2 - наименьший абсолютный остаток.

При делении 42 на 5 получаем:

42 = 8 × 5 + 2,

и поскольку 2 <5/2, 2 является как наименьшим положительным остатком, так и наименьшим абсолютным остатком.

В этих примерах (отрицательный) наименьший абсолютный остаток получается из наименьшего положительного остатка путем вычитания 5, что составляет d. В целом это так. При делении на d, либо оба остатка положительны и, следовательно, равны, либо имеют противоположные знаки. Если положительный остаток равен р₁, а отрицательный - р₂, тогда

р₁ = р₂ + d.

Для чисел с плавающей запятой

Когда а и d находятся числа с плавающей запятой, с d ненулевой, а можно разделить на d без остатка, где частное - другое число с плавающей запятой. Однако, если частное ограничено целым числом, концепция остатка все еще необходима. Можно доказать, что существует единственное целое частное q и уникальный остаток с плавающей запятой р такой, что а = qd + р с 0 ≤р < |d|.

Расширение определения остатка для чисел с плавающей запятой, как описано выше, не имеет теоретического значения в математике; однако многие языки программирования реализовать это определение, см. операция по модулю.

В языках программирования

Хотя в определениях нет никаких трудностей, возникают проблемы реализации, когда при вычислении остатков участвуют отрицательные числа. В разных языках программирования приняты разные соглашения. Например:

• Паскаль выбирает результат мод операция положительная, но не позволяет d быть отрицательным или нулевым (так, а = (а div d ) × d + мод d не всегда действует).^[5]

• C99 выбирает остаток с тем же знаком, что и дивиденд а.^[6] (До C99 язык C допускал другие варианты.)

• Perl, Python (только современные версии) выбираем остаток с тем же знаком, что и делитель d.^[7]

• Haskell и Схема предлагают две функции, остаток и по модулю – Common Lisp и PL / I имеют мод и rem, пока Фортран имеет мод и по модулю; в каждом случае первое согласуется по знаку с делимым, а второе - с делителем.

Полиномиальное деление

Евклидово деление многочленов очень похоже на Евклидово деление целых чисел и приводит к полиномиальным остаткам. Его существование основано на следующей теореме: для двух одномерных многочленов а(Икс) и б(Икс) (куда б(Икс) - ненулевой многочлен), определенный над полем (в частности, реалы или же сложные числа ) существует два многочлена q(Икс) ( частное) и р(Икс) ( остаток) которые удовлетворяют:^[8]

${ Displaystyle а (х) = Ь (х) q (х) + г (х)}$

куда

${ Displaystyle deg (г (х)) < deg (Ь (х)),}$

где "deg (...)" обозначает степень многочлена (степень постоянного многочлена, значение которого всегда равно 0, может быть определена как отрицательная, так что это условие степени всегда будет выполняться, когда это остаток). Более того, q(Икс) и р(Икс) однозначно определяются этими соотношениями.

Это отличается от евклидова деления целых чисел тем, что для целых чисел условие степени заменяется границами остатка р (неотрицательный и меньше делителя, что гарантирует, что р является уникальным.) Сходство между евклидовым делением целых чисел и делением многочленов мотивирует поиск наиболее общих алгебраических условий, в которых справедливо евклидово деление. Кольца, для которых существует такая теорема, называются Евклидовы области, но в этой общности уникальность частного и остатка не гарантируется.^[9]

Деление полиномов приводит к результату, известному как теорема о полиномиальном остатке: Если многочлен ж(Икс) делится на Икс − k, остаток - постоянная р = ж(k).^[10][11]

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

• Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт (2007), Precalculus: краткий курс, Хоутон Миффлин, ISBN  978-0-618-62719-6
• Ore, Oystein (1988) [1948], Теория чисел и ее история, Дувр, ISBN  978-0-486-65620-5
• Ротман, Джозеф Дж. (2006), Первый курс абстрактной алгебры с приложениями (3-е изд.), Прентис-Холл, ISBN  978-0-13-186267-8
• Смит, Дэвид Юджин (1958) [1925], История математики, Том 2, Нью-Йорк: Дувр, ISBN  0486204308

дальнейшее чтение

• Давенпорт, Гарольд (1999). Высшая арифметика: введение в теорию чисел. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 25. ISBN  0-521-63446-6.
• Кац, Виктор, изд. (2007). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  9780691114859.
• Шварцман, Стивен (1994). "остаток (существительное)". Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых в английском языке. Вашингтон: Математическая ассоциация Америки. ISBN  9780883855119.
• Цукерман, Мартин М. Арифметика: простой подход. Лэнхэм, Мэриленд: Rowman & Littlefield Publishers, Inc. ISBN  0-912675-07-1.