Дивизион (математика) - Division (mathematics)

20/4 = 5, здесь показаны яблоки. В устной форме сказано: «Двадцать разделить на четыре равно пяти».

Деление это одна из четырех основных операций арифметика, способы объединения чисел в новые числа. Остальные операции дополнение, вычитание, и умножение (что можно рассматривать как обратное деление). В знак деления ÷, символ, состоящий из короткой горизонтальной линии с точкой вверху и другой точкой внизу, часто используется для обозначения математического деления. Это использование, хотя и широко распространено в англоязычные страны, не является ни универсальным, ни рекомендованным: ISO 80000-2 стандарт для математическая запись рекомендует только солидус / или дробная полоса для деления или двоеточие для соотношения; он говорит, что этот символ «не должен использоваться» для разделения.^[1]

На элементарном уровне деление на два натуральные числа есть - среди прочего возможные интерпретации - процесс подсчета того, сколько раз одно число содержится в другом.^[2]^:7 Такое количество раз не всегда целое число (число, которое можно получить с помощью других арифметических операций с натуральными числами), что привело к двум различным концепциям.^{[нужна цитата ]}

В деление с остатком или Евклидово деление из двух натуральные числа обеспечивает частное, который представляет собой количество раз, когда второй содержится в первом, а остаток, которая является частью первого числа, которое остается, когда в ходе вычисления частного больше не может быть выделено ни одного полного фрагмента размера второго числа.

Чтобы изменение этого деления дало только один результат, натуральные числа должны быть расширены до рациональное число (числа, которые можно получить с помощью арифметики натуральных чисел) или действительные числа. В этих расширенных системы счисления, деление - это операция, обратная умножению, то есть $а = c / б$ означает $а \times б = c$ , так долго как $б$ не равно нулю. Если $б = 0$ , то это деление на ноль, который не определен.^[а]^[5]^:246

Обе формы разделения проявляются в различных алгебраические структуры, различные способы определения математической структуры. Те, в которых определено евклидово деление (с остатком), называются Евклидовы области и включать кольца многочленов в одном неопределенный (которые определяют умножение и сложение по формулам с одной переменной). Те, в которых определено деление (с одним результатом) на все ненулевые элементы, называются поля и делительные кольца. В кольцо элементы, на которые всегда возможно деление, называются единицы (например, 1 и –1 в кольце целых чисел). Другое обобщение деления на алгебраические структуры - это факторгруппа, в котором результатом «деления» является группа, а не число.

Введение

Самый простой способ просмотра деления - это цитата и раздел: с точки зрения цитаты, $20 / 5$ означает количество пятерок, которые необходимо добавить, чтобы получить 20. С точки зрения разбиения, $20 / 5$ означает размер каждой из 5 частей, на которые делится набор размером 20. Например, 20 яблок делятся на пять групп по четыре яблока, что означает, что двадцать разделить на пять равно четыре. Это обозначается как $20 / 5 = 4$ , или $20 / 5 = 4$ .^[3] То, что разделяется, называется дивиденд, который делится на делитель, и результат называется частное. В этом примере 20 - это делимое, 5 - делитель, а 4 - частное.

В отличие от других основных операций, при делении натуральных чисел иногда возникает остаток это не пойдет на равномерное распределение дивидендов; Например, $10 / 3$ оставляет остаток 1, так как 10 не делится на 3. Иногда этот остаток добавляется к частному как дробная часть, так $10 / 3$ равно $3 + 1 / 3$ или $3.33...$ , но в контексте целое число деление, где числа не имеют дробной части, остаток сохраняется отдельно (в исключительных случаях отбрасывается или округлый ).^[6] Когда остаток сохраняется в виде дроби, это приводит к рациональное число. Множество всех рациональных чисел создается путем расширения целых чисел всеми возможными результатами делений целых чисел.

В отличие от умножения и сложения, деление не коммутативный, означающий, что $а / б$ не всегда равно $б / а$ .^[7] Деление тоже не в общем, ассоциативный, что означает, что при многократном делении порядок деления может изменить результат.^[8] Например, $(20 / 5) / 2 = 2$ , но $20 / (5 / 2) = 8$ (где использование скобок означает, что операции внутри скобок выполняются перед операциями вне скобок).

Однако деление традиционно рассматривается как левоассоциативный. То есть, если в строке несколько делений, порядок вычислений идет слева направо:^[9]^[10]

{ Displaystyle a / b / c = (a / b) / c = a / (b times c) neq a / (b / c) = (a times c) / b.}

Дивизия право-распределительный над сложением и вычитанием, в том смысле, что

{ displaystyle { frac {a pm b} {c}} = (a pm b) / c = (a / c) pm (b / c) = { frac {a} {c}} pm { frac {b} {c}}.}

То же самое и для умножение, так как ${ Displaystyle (а + б) раз с = а раз с + б раз с}$ . Однако разделение не лево-распределительный, так как

{ displaystyle { frac {a} {b + c}} = a / (b + c) neq (a / b) + (a / c) = { frac {ac + ab} {bc}}. }

Это отличается от случая умножения, которое является как леводистрибутивным, так и правым распределением, и, следовательно, распределительный.

Обозначение

Плюсы и минусы. An обел используется как вариант знака минус в отрывке из официальной норвежской формы торговой отчетности под названием «Næringsoppgave 1» за 2010 налоговый год.

В алгебре и естественных науках деление часто отображается с помощью дивиденд над делитель с горизонтальной линией, также называемой дробная полоса, между ними. Например, "а деленное на б"можно записать как:

{ displaystyle { frac {a} {b}}}

что также можно прочитать вслух как "разделить а от б" или "а над б". Чтобы выразить деление в одной строке, нужно написать дивиденд (или числитель), затем слэш, то делитель (или знаменатель) следующим образом:

{ displaystyle a / b}

Это обычный способ указания деления в большинстве компьютерных языки программирования, поскольку его можно легко набрать как простую последовательность ASCII символы. Немного математическое программное обеспечение, такие как MATLAB и GNU Octave, позволяет записывать операнды в обратном порядке с помощью обратная косая черта в качестве оператора деления:

{ displaystyle b backslash a}

Типографская вариация на полпути между этими двумя формами использует солидус (дробная косая черта), но увеличивает дивиденд и уменьшает делитель:

{ displaystyle {} ^ {a} / {} _ {b}}

Любую из этих форм можно использовать для отображения дробная часть. Дробь - это выражение деления, в котором и делимое, и делитель целые числа (обычно называется числитель и знаменатель), и это не означает, что разделение необходимо оценивать дальше. Второй способ показать деление - использовать знак деления (÷, также известный как обел хотя этот термин имеет дополнительные значения), обычно в арифметике, следующим образом:

{ displaystyle a div b}

Эта форма встречается нечасто, за исключением элементарной арифметики. ISO 80000-2 -9.6 заявляет, что его не следует использовать. Этот знак деления также используется отдельно для представления самой операции деления, например, как метка на клавише калькулятор. Обелус был представлен швейцарским математиком. Иоганн Ран в 1659 г. в Тойческая алгебра.^[11]^:211 В некоторых европейских странах символ ÷ используется для обозначения вычитания, поэтому его использование может быть неправильно понято.

В некоторых не-английский -говорящие страны, двоеточие используется для обозначения разделения:^[12]

{ displaystyle a: b}

Это обозначение было введено Готфрид Вильгельм Лейбниц в его 1684 Acta eruditorum.^[11]^:295 Лейбниц не любил использовать отдельные символы для соотношения и деления. Однако в английском использовании двоеточие ограничивается выражением связанной концепции соотношения.

С 19 века в учебниках США использовались ${ Displaystyle б) а}$ или ${ displaystyle b { overline {) a}}}$ обозначать а деленное на б, особенно при обсуждении длинное деление. История этого обозначения не совсем ясна, потому что со временем она развивалась.^[13]

Вычисление

Ручные методы

Разделение часто вводится через понятие «разделения» набора объектов, например, кучи леденцов, на несколько равных частей. Распределение объектов по нескольку одновременно в каждом раунде совместного использования каждой части приводит к идее «дробление '- форма деления, при которой из самого дивиденда многократно вычитаются кратные делителя.

Позволяя вычесть больше кратных, чем позволяет частичный остаток на данном этапе, можно также разработать более гибкие методы, такие как двунаправленный вариант разбиения на фрагменты.^[14]

Более систематизированный и более эффективный (но также более формализованный, более основанный на правилах и более удаленный от общей целостной картины того, что достигается разделением), человек, знающий таблицы умножения можно разделить два целых числа карандашом и бумагой, используя метод короткое деление, если делитель мал, или длинное деление, если делитель больше. Если дивиденд имеет дробный часть (выраженная как десятичная дробь ), можно продолжать алгоритм до места с единицами сколько угодно. Если делитель имеет дробную часть, можно повторить проблему, переместив десятичную дробь вправо в обоих числах, пока в делителе не будет дроби.

Человек может рассчитать деление с счеты.^[15]

Человек может использовать таблицы логарифмов для деления двух чисел путем вычитания логарифмов этих двух чисел и последующего поиска антилогарифма результата.

Человек может рассчитать деление с помощью логарифмическая линейка совместив делитель на шкале C с делимым на шкале D. Частное можно найти на шкале D, где оно совмещено с левым индексом на шкале C. Однако ответственность за мысленное отслеживание десятичной точки лежит на пользователе.

С помощью компьютера или с помощью компьютера

Современные компьютеры вычисляют деление с помощью методов, которые быстрее, чем деление в столбик, причем более эффективные из них основаны на методах аппроксимации из численного анализа. Для деление с остатком, увидеть Алгоритм деления.

В модульная арифметика (по модулю простого числа) и для действительные числа, ненулевые числа имеют мультипликативный обратный. В этих случаях деление на $Икс$ может быть вычислено как произведение на мультипликативную обратную величину $Икс$ . Этот подход часто ассоциируется с более быстрыми методами компьютерной арифметики.

Разделение в разных контекстах

Евклидово деление

Евклидово деление - это математическая формулировка результата обычного процесса деления целых чисел. Он утверждает, что для двух целых чисел а, то дивиденд, и б, то делитель, так что б ≠ 0 есть уникальный целые числа q, то частное, и р, остаток такой, что а = бк + р и 0 ≤ р < |б|, где |б| обозначает абсолютная величина из б.

Целых чисел

Целые числа не закрыто под делением. Кроме того, что деление на ноль не определено, частное не является целым числом, если делимое не является целым числом, кратным делителю. Например, 26 нельзя разделить на 11, чтобы получить целое число. В таком случае используется один из пяти подходов:

Скажите, что 26 нельзя разделить на 11; разделение становится частичная функция.
Дайте примерный ответ в виде "настоящий "число. Такой подход обычно используется в числовое вычисление.
Дайте ответ как дробная часть представляющий рациональное число, поэтому результат деления 26 на 11 будет ${ displaystyle { tfrac {26} {11}}}$ (или как смешанное число, так ${ displaystyle { tfrac {26} {11}} = 2 { tfrac {4} {11}}.}$ ) Обычно полученную дробь следует упростить: результат деления 52 на 22 также ${ displaystyle { tfrac {26} {11}}}$ . Это упрощение может быть выполнено путем исключения наибольший общий делитель.
Дайте ответ целым числом частное и остаток, так ${ displaystyle { tfrac {26} {11}} = 2 { mbox {остаток}} 4.}$ Чтобы отличить предыдущий случай, это деление с двумя целыми числами иногда называют Евклидово деление, потому что это основа Евклидов алгоритм.
В качестве ответа укажите целое частное, поэтому ${ displaystyle { tfrac {26} {11}} = 2.}$ Иногда это называют целочисленное деление.

Деление целых чисел на компьютерная программа требует особого ухода. Немного языки программирования, такие как C, обрабатывайте целочисленное деление, как в случае 5 выше, поэтому ответ будет целым числом. Другие языки, например MATLAB и каждый система компьютерной алгебры вернуть рациональное число в качестве ответа, как в случае 3 выше. Эти языки также предоставляют функции для получения результатов других наблюдений либо напрямую, либо из результата случая 3.

Имена и символы, используемые для целочисленного деления, включают div, /, и%. Определения различаются относительно целочисленного деления, когда делимое или делитель отрицательное: округление может быть в сторону нуля (так называемое Т-деление) или в сторону −∞ (F-деление); могут встречаться более редкие стили - см. Операция по модулю для подробностей.

Правила делимости иногда можно использовать, чтобы быстро определить, точно ли одно целое число делится на другое.

Рациональных чисел

Результат деления двух рациональное число - еще одно рациональное число, когда делитель не равен 0. Деление двух рациональных чисел п/q и р/s можно вычислить как

{ displaystyle {p / q over r / s} = {p over q} times {s over r} = {ps over qr}.}

Все четыре величины являются целыми числами, и только п может быть 0. Это определение гарантирует, что деление является обратной операцией умножение.

Реальных чисел

Деление двух действительные числа приводит к другому действительному числу (когда делитель ненулевой). Он определяется так, что а/б = c если и только если а = cb и б ≠ 0.

Комплексных чисел

Разделение двух сложные числа (когда делитель не равен нулю) приводит к другому комплексному числу, которое находится с помощью сопряженного знаменателя:

{ displaystyle {p + iq over r + is} = {(p + iq) (r-is) over (r + is) (r-is)} = {pr + qs + i (qr-ps) over r ^ {2} + s ^ {2}} = {pr + qs over r ^ {2} + s ^ {2}} + i {qr-ps over r ^ {2} + s ^ { 2}}.}

Этот процесс умножения и деления на ${ displaystyle r-is}$ называется реализацией или (по аналогии) рационализация. Все четыре величины п, q, р, s настоящие числа, и р и s не могут быть оба равны 0.

Деление комплексных чисел в полярной форме проще, чем определение выше:

{ displaystyle {pe ^ {iq} over re ^ {is}} = {pe ^ {iq} e ^ {- is} over re ^ {is} e ^ {- is}} = {p over r } e ^ {i (qs)}.}

Снова все четыре величины п, q, р, s настоящие числа, и р не может быть 0.

Многочленов

Можно определить операцию деления для многочлены в одной переменной над поле. Тогда, как и в случае с целыми числами, остается остаток. Увидеть Евклидово деление многочленов, а для рукописных вычислений полиномиальное деление в столбик или синтетическое подразделение.

Матриц

Для матриц можно определить операцию деления. Обычный способ сделать это - определить А / B = AB⁻¹, где B⁻¹ обозначает обратный из B, но гораздо чаще выписывают AB⁻¹ явно, чтобы избежать путаницы. An поэлементное деление также можно определить в терминах Произведение Адамара.

Левое и правое деление

Потому что матричное умножение не является коммутативный, можно также определить левый отдел или так называемый обратная косая черта так как А \ B = А⁻¹B. Чтобы это было четко определено, B⁻¹ не обязательно, однако А⁻¹ действительно должен существовать. Чтобы избежать путаницы, разделение, как определено А / B = AB⁻¹ иногда называют правое деление или слэш-деление в контексте.

Обратите внимание, что с левым и правым делением, определенным таким образом, А / (до н.э) в целом не то же самое, что (А / B) / C, ни (AB) \ C такой же как А \ (B \ C). Однако он считает, что А / (до н.э) = (А / C) / B и (AB) \ C = B \ (А \ C).

Псевдообратный

Чтобы избежать проблем при А⁻¹ и / или B⁻¹ не существует, деление также можно определить как умножение на псевдообратный. Это, А / B = AB⁺ и А \ B = А⁺B, где А⁺ и B⁺ обозначают псевдообратные А и B.

Абстрактная алгебра

В абстрактная алгебра, учитывая магма с бинарной операцией * (которую условно можно назвать умножением), левое деление б от а (написано а \ б) обычно определяется как решение Икс к уравнению а ∗ Икс = б, если он существует и уникален. Точно так же правое деление б от а (написано б / а) является решением у к уравнению у ∗ а = б. Деление в этом смысле не требует от ∗ каких-либо конкретных свойств (таких как коммутативность, ассоциативность или единичный элемент).

«Разделение» в смысле «аннулирование» может быть выполнено в любой магме элементом с аннулирование собственности. Примеры включают матрица алгебры и кватернион алгебры. А квазигруппа - это структура, в которой всегда возможно разделение, даже без элемента идентичности, а значит, и обратное. В область целостности, где не каждый элемент должен иметь обратный, деление отменяющим элементом а все еще может выполняться на элементах формы ab или ок левой или правой отменой соответственно. Если кольцо конечно, и каждый ненулевой элемент сокращается, то с применением принцип голубятни, каждый ненулевой элемент кольца обратим и деление любым ненулевым элементом. Чтобы узнать, когда алгебры (в техническом смысле) имеют операцию деления, см. страницу на алгебры с делением. Особенно Периодичность Ботта может использоваться, чтобы показать, что любой настоящий нормированная алгебра с делением должно быть изоморфный к действительным числам р, то сложные числа C, то кватернионы ЧАС, или октонионы О.

Исчисление

В производная отношения двух функций дается правило частного:

{ displaystyle { left ({ frac {f} {g}} right)} '= { frac {f'g-fg'} {g ^ {2}}}.}

Деление на ноль

Деление любого числа на нуль в большинстве математических систем не определено, потому что умножение нуля на любое конечное число всегда дает товар нуля.^[16] Вхождение такого выражения в большинство калькуляторы выдает сообщение об ошибке. Однако в некоторых математиках более высокого уровня деление на ноль возможно с помощью нулевое кольцо и такие алгебры, как колеса.^[17] В этих алгебрах значение деления отличается от традиционных определений.

Смотрите также

Заметки

^ В некоторых случаях деление на ноль может быть определено путем расширения действительных чисел до расширенная строка действительных чисел или в проективно расширенная действительная линия или когда встречается как предел делений на числа, стремящиеся к 0. Например: $Lim Икс \to0 грех Икс / Икс = 1.$ ^[3]^[4]

использованная литература

^ ISO 80000-2, Раздел 9 «Операции», 2-9.6
^ Блейк, А. Г. (1887). Арифметика. Дублин, Ирландия: Александр Том и компания.
^ ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Дивизия». MathWorld.
^ Вайсштейн, Эрик В. "Деление на ноль". MathWorld.
^ Дербишир, Джон (2004). Основная одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема математики. Нью-Йорк: Книги о пингвинах. ISBN 978-0-452-28525-5.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Целочисленное деление». MathWorld.
^ http://www.mathwords.com/c/commutative.htm В архиве 2018-10-28 на Wayback Machine Проверено 23 октября 2018 г.
^ http://www.mathwords.com/a/associative_operation.htm В архиве 2018-10-28 на Wayback Machine Проверено 23 октября 2018 г.
^ Джордж Марк Бергман: Порядок арифметических операций В архиве 2017-03-05 в Wayback Machine
^ Место обучения: Порядок действий В архиве 2017-06-08 в Wayback Machine
^ ^а ^б Кахори, Флориан (1929). История математических обозначений. Open Court Pub. Co.
^ Томас Соннабенд (2010). Математика для учителей: интерактивный подход для классов K – 8. Брукс / Коул, Cengage Learning (Чарльз Ван Вагнер). п. 126. ISBN 978-0-495-56166-8.
^ Смит, Дэвид Юджин (1925). История математики Том II. Джинн и компания.
^ "Полное руководство по высшей математике по делению в столбик и его вариантам - для целых чисел". Математическое хранилище. 2019-02-24. В архиве из оригинала на 21.06.2019. Получено 2019-06-24.
^ Кодзима, Такаши (09.07.2012). Продвинутые счеты: теория и практика. Издательство Tuttle. ISBN 978-1-4629-0365-8.
^ http://mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html В архиве 2018-10-23 на Wayback Machine Проверено 23 октября 2018 г.
^ Джеспер Карлстрём. «О делении на ноль» В архиве 2019-08-17 в Wayback Machine Проверено 23 октября 2018 г.

внешние ссылки

[5] В некоторых случаях деление на ноль может быть определено путем расширения действительных чисел до расширенная строка действительных чисел или в проективно расширенная действительная линия или когда встречается как предел делений на числа, стремящиеся к 0. Например: $Lim Икс \to0 грех Икс / Икс = 1.$ ^[3]^[4]

[1] ISO 80000-2, Раздел 9 «Операции», 2-9.6

[2] Блейк, А. Г. (1887). Арифметика. Дублин, Ирландия: Александр Том и компания.

[mwdiv-3] а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Дивизия». MathWorld.

[db0-4] Вайсштейн, Эрик В. "Деление на ноль". MathWorld.

[6] Дербишир, Джон (2004). Основная одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема математики. Нью-Йорк: Книги о пингвинах. ISBN 978-0-452-28525-5.

[mwintdiv-7] Вайсштейн, Эрик В. «Целочисленное деление». MathWorld.

[8] ttp://www.mathwords.com/c/commutative.htm В архиве 2018-10-28 на Wayback Machine Проверено 23 октября 2018 г.

[9] ttp://www.mathwords.com/a/associative_operation.htm В архиве 2018-10-28 на Wayback Machine Проверено 23 октября 2018 г.

[Order_of_arithmetic_operations-10] Джордж Марк Бергман: Порядок арифметических операций В архиве 2017-03-05 в Wayback Machine

[The_Order_of_Operations-11] Место обучения: Порядок действий В архиве 2017-06-08 в Wayback Machine

[Cajori-12] а ^б Кахори, Флориан (1929). История математических обозначений. Open Court Pub. Co.

[13] Томас Соннабенд (2010). Математика для учителей: интерактивный подход для классов K – 8. Брукс / Коул, Cengage Learning (Чарльз Ван Вагнер). п. 126. ISBN 978-0-495-56166-8.

[Smith-14] Смит, Дэвид Юджин (1925). История математики Том II. Джинн и компания.

[15] "Полное руководство по высшей математике по делению в столбик и его вариантам - для целых чисел". Математическое хранилище. 2019-02-24. В архиве из оригинала на 21.06.2019. Получено 2019-06-24.

[16] Кодзима, Такаши (09.07.2012). Продвинутые счеты: теория и практика. Издательство Tuttle. ISBN 978-1-4629-0365-8.

[17] ttp://mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html В архиве 2018-10-23 на Wayback Machine Проверено 23 октября 2018 г.

[18] Джеспер Карлстрём. «О делении на ноль» В архиве 2019-08-17 в Wayback Machine Проверено 23 октября 2018 г.

[1]

[2]

[а]

[5]

[3]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[4]

Фракции и соотношения
	Деление и соотношение	Дивиденды : Делитель = Частное
	Дробная часть	Числитель / знаменатель = частное
	Алгебраический Аспект Двоичный Продолжение Десятичная дробь Диадический Египтянин Золотой Серебряный Целое число Неприводимый Сокращение Просто интонация ЖК-дисплей Музыкальный интервал Размер бумаги Процент Единица измерения

Гипероперации
Первичный	Преемник (0) Дополнение (1) Умножение (2) Возведение в степень (3) Тетрация (4) Пентация (5)
Обратный для левого аргумента	Вычитание (1) Дивизия (2) пкорень th (3) Супер-корень (4)
Обратный для правильного аргумента	Вычитание (1) Дивизия (2) Логарифм (3) Суперлогарифм (4)
Статьи по Теме	Функция Аккермана Обозначение стрелок Конвея Иерархия Гжегорчика Обозначение Кнута со стрелкой вверх Обозначения Штейнгауза – Мозера