Пентация - Pentation

Первые три значения выражения Икс[5] 2. Значение 3 [5] 2 составляет примерно 7,626 × 10¹²; значения для высших Икс слишком велики, чтобы отображаться на графике.

В математика, пентация (или же гипер-5) следующий гипероперация после тетрация и перед гексагоном. Он определяется как повторяется (повторная) тетрация, как повторяется тетрация возведение в степень.^[1] Это бинарная операция определяется двумя числами а и б, куда а привязан к себе б раз. Например, используя гипероперация обозначения для пентации и тетрации, ${ displaystyle 2 [5] 3}$ означает тетратинг 2 раза 3 раза, или ${ Displaystyle 2 [4] (2 [4] 2)}$. Затем это можно свести к ${ displaystyle 2 [4] (2 ^ {2}) = 2 [4] 4 = 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}} = 2 ^ {2 ^ {4}} = 2 ^ {16} = 65536.}$

Этимология

Слово «пентация» было придумано Рубен Гудштейн в 1947 году от корней пента- (пять) и итерация. Это часть его общей схемы именования гипероперации.^[2]

Обозначение

По поводу обозначения пентации нет единого мнения; Таким образом, есть много разных способов записать операцию. Однако некоторые из них используются чаще, чем другие, а некоторые имеют явные преимущества или недостатки по сравнению с другими.

• Пентацию можно записать как гипероперация так как ${ displaystyle a [5] b}$. В этом формате ${ displaystyle a [3] b}$ может быть истолковано как результат неоднократно применяя функция ${ Displaystyle х mapsto а [2] х}$, за ${ displaystyle b}$ повторений, начиная с номера 1. Аналогично, ${ displaystyle a [4] b}$, тетрация, представляет собой значение, полученное многократным применением функции ${ Displaystyle х mapsto а [3] х}$, за ${ displaystyle b}$ повторы, начиная с цифры 1, и пентация ${ displaystyle a [5] b}$ представляет значение, полученное многократным применением функции ${ Displaystyle х mapsto а [4] х}$, за ${ displaystyle b}$ повторы, начиная с цифры 1.^[3][4] Это будет обозначение, используемое в остальной части статьи.

• В Обозначение Кнута со стрелкой вверх, ${ displaystyle a [5] b}$ представлен как ${ displaystyle a uparrow uparrow uparrow b}$ или ${ displaystyle a uparrow ^ {3} b}$. В этих обозначениях ${ displaystyle a uparrow b}$ представляет функцию возведения в степень ${ displaystyle a ^ {b}}$ и ${ displaystyle a uparrow uparrow b}$ представляет собой тетрацию. Операцию можно легко адаптировать для гексагона, добавив еще одну стрелку.

• В Обозначение стрелок Конвея, ${ displaystyle a [5] b = a rightarrow b rightarrow 3}$.^[5]

• Другое предлагаемое обозначение ${ displaystyle {_ {b} a}}$, хотя это не распространяется на более высокие гипероперации.^[6]

Примеры

Значения функции пентации также могут быть получены из значений в четвертой строке таблицы значений варианта Функция Аккермана: если ${ Displaystyle А (п, м)}$ определяется рекуррентностью Аккермана ${ Displaystyle А (м-1, А (м, п-1))}$ с начальными условиями ${ Displaystyle А (1, п) = ап}$ и ${ Displaystyle А (м, 1) = а}$, тогда ${ Displaystyle а [5] Ь = А (4, Ь)}$.^[7]

Поскольку тетрация, его основная операция, не была расширена до нецелочисленных высот, пентация ${ displaystyle a [5] b}$ в настоящее время определено только для целых значений а и б куда а > 0 и б ≥ −1 и несколько других целочисленных значений, которые май быть однозначно определенным. Как и все гипероперации порядка 3 (возведение в степень ) и выше, пентация имеет следующие тривиальные случаи (тождества), которые справедливы для всех значений а и б в пределах своей области:

• ${ displaystyle 1 [5] b = 1}$
• ${ Displaystyle а [5] 1 = а}$

Кроме того, мы также можем определить:

• ${ displaystyle a [5] 0 = 1}$
• ${ displaystyle a [5] (- 1) = 0}$

Помимо тривиальных случаев, показанных выше, пентация генерирует очень большие числа очень быстро, так что есть только несколько нетривиальных случаев, которые дают числа, которые могут быть записаны в обычных обозначениях, как показано ниже:

• ${ Displaystyle 2 [5] 2 = 2 [4] 2 = 2 ^ {2} = 4}$
• ${ Displaystyle 2 [5] 3 = 2 [4] (2 [4] 2) = 2 [4] 4 = 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}} = 2 ^ {2 ^ {4}} = 2 ^ {16} = 65 536}$
• ${ Displaystyle 2 [5] 4 = 2 [4] (2 [4] (2 [4] 2)) = 2 [4] (2 [4] 4) = 2 [4] 65536 = 2 ^ {2 ^ {2 ^ { cdot ^ { cdot ^ { cdot ^ {2}}}}}} { mbox {(силовая башня высотой 65 536)}} приблизительно exp _ {10} ^ {65 533} ( 4.29508)}$ (показано здесь в повторяющейся экспоненциальной записи, так как она слишком велика для записи в обычной записи. Примечание ${ Displaystyle ехр _ {10} (п) = 10 ^ {п}}$)
• ${ displaystyle 3 [5] 2 = 3 [4] 3 = 3 ^ {3 ^ {3}} = 3 ^ {27} = 7 625 597 484 987}$
• ${ Displaystyle 3 [5] 3 = 3 [4] (3 [4] 3) = 3 [4] 7 625 597 484 987 = 3 ^ {3 ^ {3 ^ { cdot ^ { cdot ^ { cdot ^ {3} }}}}} { mbox {(силовая башня высотой 7 625 597 484 987)}} приблизительно exp _ {10} ^ {7 625 597 484 986} (1.09902)}$
• ${ displaystyle 4 [5] 2 = 4 [4] 4 = 4 ^ {4 ^ {4 ^ {4}}} = 4 ^ {4 ^ {256}} приблизительно exp _ {10} ^ {3} (2.19)}$ (число более 10¹⁵³ цифры)
• ${ displaystyle 5 [5] 2 = 5 [4] 5 = 5 ^ {5 ^ {5 ^ {5 ^ {5}}}} = 5 ^ {5 ^ {5 ^ {3125}}} приблизительно exp _ {10} ^ {4} (3.33928)}$ (число более 10¹⁰²¹⁸⁴ цифры)

Смотрите также

• Функция Аккермана
• Большие числа
• Число Грэма
• История больших чисел

Рекомендации