Сила двух - Power of two

Визуализация степеней двойки от 1 до 1024 (2⁰ до 2¹⁰).

А сила двух число в форме $2 п$ где $п$ является целое число, то есть результат возведение в степень с номером два как база и целое число $п$ как показатель степени.

В контексте, где рассматриваются только целые числа, $п$ ограничен неотрицательными значениями,^[1] так что у нас есть 1, 2 и 2 умноженный само по себе определенное количество раз.^[2]

Потому что два - это основа двоичная система счисления, степени двойки являются общими в Информатика. В двоичном формате степень двойки всегда имеет вид 100 ... 000 или 0,00 ... 001, как и степень десяти в десятичная дробь система.

Информатика

Два в степени $п$ , записанный как $2 п$ , - количество способов биты в двоичный слово длины $п$ можно организовать. Слово, интерпретируемое как беззнаковое целое число, может представлять значения от 0 ( $000...000 2$ ) к $2 п - 1$ ( $111...111 2$ ) включительно. Соответствующий подписанный целочисленные значения могут быть положительными, отрицательными и нулевыми; увидеть представление числа со знаком. В любом случае, на единицу меньше, чем степень двойки, часто бывает верхней границей целого числа в двоичных компьютерах. Как следствие, числа в этой форме часто появляются в компьютерных программах. Например, видео игра работа в 8-битной системе может ограничить счет или количество предметов, которые игрок может держать до 255 - результат использования байт, который 8 бит длиной, чтобы сохранить число, давая максимальное значение $28 - 1 = 255$ . Например, в оригинале Легенда о Зельде у главного героя было ограничение на ношение 255 рупий (валюта игры) в любой момент времени, а видеоигра Pac-Man лихо имеет экран отключения на уровне 256.

Степень двойки часто используется для измерения памяти компьютера. Байт теперь считается восьмибитным ( октет, что дает возможность 256 значений (2⁸). (Период, термин байт когда-то означало (а в некоторых случаях все еще означает) сбор бит, обычно от 5 до 32 бит, а не только 8-битный блок.) Префикс килограмм, в сочетании с байт, может быть и традиционно использовалось для обозначения 1024 (2¹⁰). Однако в целом термин килограмм был использован в Международная система единиц означать 1000 (10³). Бинарные префиксы были стандартизированы, например киби (Ki) означает 1024. Почти все регистры процессора имеют размеры, равные степени двойки, 32 или 64, что очень часто.

Степень двойки также встречается в ряде других мест. Для многих Дисковый привод, по крайней мере, одно из размера сектора, количества секторов на дорожку и количества дорожек на поверхность является степенью двойки. Размер логического блока почти всегда равен степени двойки.

Числа, не являющиеся степенями двойки, встречаются в ряде ситуаций, например, при разрешении видео, но они часто являются суммой или произведением двух или трех степеней двойки или степеней двойки минус один. Например, $640 = 32 \times 20$ , и $480 = 32 \times 15$ . Другими словами, они имеют довольно регулярные битовые шаблоны.

Простые числа Мерсенна и Ферма

А простое число то есть на единицу меньше, чем степень двойки, называется Мерсенн прайм. Например, простое число 31 является простым числом Мерсенна, потому что оно на 1 меньше 32 (2⁵). Точно так же простое число (например, 257 ), который на единицу больше положительной степени двойки, называется Ферма Прайм - показатель степени равен степени двойки. А дробная часть который имеет степень двойки как его знаменатель называется диадический рациональный. Числа, которые могут быть представлены в виде суммы последовательных положительных целых чисел, называются вежливые номера; это именно те числа, которые не являются степенями двойки.

Евклида Элементы, Книга IX

Геометрическая прогрессия 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (или, в двоичная система счисления, 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, ...) важен в теория чисел. Книга IX, предложение 36 из Элементы доказывает, что если сумма первых $п$ члены этой прогрессии - простое число (и, следовательно, простое число Мерсенна, как упомянуто выше), тогда эта сумма умножается на $п$ -й член - это идеальное число. Например, сумма первых 5 членов ряда 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, что является простым числом. Сумма 31, умноженная на 16 (пятый член в ряду), дает 496, что является идеальным числом.

Книга IX, Предложение 35, доказывает, что в геометрическом ряду, если первый член вычитается из второго и последнего члена в последовательности, тогда как избыток второго относится к первому, так и избыток последнего относится ко всем этим перед этим. (Это повторение нашей формулы для геометрического ряда сверху.) Применяя это к геометрической прогрессии 31, 62, 124, 248, 496 (которая получается из 1, 2, 4, 8, 16 путем умножения всех членов на 31) , мы видим, что 62 минус 31 равно 31, поскольку 496 минус 31 равно сумме 31, 62, 124, 248. Следовательно, числа 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 складываются до 496 и далее это все числа, делить 496. Ибо предположим, что $п$ делит 496, и его нет среди этих чисел. Предполагать $p q$ равно $16 \times 31$ , или 31 до $q$ так как $п$ до 16. Сейчас $п$ не может делить 16, иначе оно будет среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Следовательно, 31 не может делиться $q$ . А поскольку 31 не делит $q$ и $q$ меры 496, основная теорема арифметики подразумевает, что $q$ должно делиться на 16 и находиться среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Пусть $q$ быть 4, тогда $п$ должно быть 124, что невозможно, поскольку по предположению $п$ не входит в число 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 или 248.

Таблица значений

(последовательность A000079 в OEIS )

$п$	$2 п$	$п$	$2 п$	$п$	$2 п$	$п$	$2 п$
0	1	16	65,536	32	4,294,967,296	48	281,474,976,710,656
1	2	17	131,072	33	8,589,934,592	49	562,949,953,421,312
2	4	18	262,144	34	17,179,869,184	50	1,125,899,906,842,624
3	8	19	524,288	35	34,359,738,368	51	2,251,799,813,685,248
4	16	20	1,048,576	36	68,719,476,736	52	4,503,599,627,370,496
5	32	21	2,097,152	37	137,438,953,472	53	9,007,199,254,740,992
6	64	22	4,194,304	38	274,877,906,944	54	18,014,398,509,481,984
7	128	23	8,388,608	39	549,755,813,888	55	36,028,797,018,963,968
8	256	24	16,777,216	40	1,099,511,627,776	56	72,057,594,037,927,936
9	512	25	33,554,432	41	2,199,023,255,552	57	144,115,188,075,855,872
10	1,024	26	67,108,864	42	4,398,046,511,104	58	288,230,376,151,711,744
11	2,048	27	134,217,728	43	8,796,093,022,208	59	576,460,752,303,423,488
12	4,096	28	268,435,456	44	17,592,186,044,416	60	1,152,921,504,606,846,976
13	8,192	29	536,870,912	45	35,184,372,088,832	61	2,305,843,009,213,693,952
14	16,384	30	1,073,741,824	46	70,368,744,177,664	62	4,611,686,018,427,387,904
15	32,768	31	2,147,483,648	47	140,737,488,355,328	63	9,223,372,036,854,775,808

Начиная с 2 последняя цифра является периодической с периодом 4, с циклом 2–4–8–6–, а начиная с 4 последние две цифры являются периодическими с периодом 20. Эти закономерности обычно верны для любой степени в отношении Любые база. Шаблон продолжается там, где у каждого шаблона есть отправная точка. $2 k$ , а период - это мультипликативный порядок из 2 по модулю $5 k$ , который $φ (5 k) = 4 \times 5 k -1$ (увидеть Мультипликативная группа целых чисел по модулю n ).^{[нужна цитата ]}

Степень 1024

(последовательность A140300 в OEIS )

Первые несколько степеней двойки¹⁰ немного больше, чем те же степени 1000 (10³):

2⁰	=	1	= 1000⁰	(Отклонение 0%)
2¹⁰	=	1 024	≈ 1000¹	(Отклонение 2,4%)
2²⁰	=	1 048 576	≈ 1000²	(Отклонение 4,9%)
2³⁰	=	1 073 741 824	≈ 1000³	(Отклонение 7,4%)
2⁴⁰	=	1 099 511 627 776	≈ 1000⁴	(Отклонение 10,0%)
2⁵⁰	=	1 125 899 906 842 624	≈ 1000⁵	(Отклонение 12,6%)
2⁶⁰	=	1 152 921 504 606 846 976	≈ 1000⁶	(Отклонение 15,3%)
2⁷⁰	=	1 180 591 620 717 411 303 424	≈ 1000⁷	(Отклонение 18,1%)
2⁸⁰	=	1 208 925 819 614 629 174 706 176	≈ 1000⁸	(Отклонение 20,9%)
2⁹⁰	=	1 237 940 039 285 380 274 899 124 224	≈ 1000⁹	(Отклонение 23,8%)
2¹⁰⁰	=	1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376	≈ 1000¹⁰	(Отклонение 26,8%)
2¹¹⁰	=	1 298 074 214 633 706 907 132 624 082 305 024	≈ 1000¹¹	(Отклонение 29,8%)
2¹²⁰	=	1 329 227 995 784 915 872 903 807 060 280 344 576	≈ 1000¹²	(Отклонение 32,9%)
2¹³⁰	=	1 361 129 467 683 753 853 853 498 429 727 072 845 824	≈ 1000¹³	(Отклонение 36,1%)
2¹⁴⁰	=	1 393 796 574 908 163 946 345 982 392 040 522 594 123 776	≈ 1000¹⁴	(Отклонение 39,4%)
2¹⁵⁰	=	1 427 247 692 705 959 881 058 285 969 449 495 136 382 746 624	≈ 1000¹⁵	(Отклонение 42,7%)

Степени двойки, экспоненты которых равны степени двойки

Поскольку данные (в частности, целые числа) и адреса данных хранятся на одном и том же оборудовании, а данные хранятся в одном или нескольких октетах ( $23$ ), двойные экспоненты из двух являются общими. Например,

$п$	$2 п$	$2 2 п$ (последовательность A001146 в OEIS )
0	1	2
1	2	4
2	4	16
3	8	256
4	16	65,536
5	32	4,294,967,296
6	64	18,446,744,073,709,551,616 (20 цифр)
7	128	340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456 (39 цифр)
8	256	115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936 (78 цифр)
9	512	13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,030,073,546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,649,006,084,096 (155 цифр)
10	1,024	179,769,313,486,231,590,772,930,...,304,835,356,329,624,224,137,216 (309 цифр)
11	2,048	32,317,006,071,311,007,300,714,8...,193,555,853,611,059,596,230,656 (617 цифр)
12	4,096	1,044,388,881,413,152,506,691,75...,243,804,708,340,403,154,190,336 (1234 цифры)
13	8,192	1,090,748,135,619,415,929,462,98...,997,186,505,665,475,715,792,896 (2467 цифр)
14	16,384	1,189,731,495,357,231,765,085,75...,460,447,027,290,669,964,066,816 (4933 цифры)
15	32,768	1,415,461,031,044,954,789,001,55...,541,122,668,104,633,712,377,856 (9865 цифр)
16	65,536	2,003,529,930,406,846,464,979,07...,339,445,587,895,905,719,156,736 (19729 цифр)
17	131,072	4,014,132,182,036,063,039,166,06...,850,665,812,318,570,934,173,696 (39 457 цифр)
18	262,144	16,113,257,174,857,604,736,195,7...,753,862,605,349,934,298,300,416 (78 914 цифр)

Некоторые из этих чисел представляют собой количество значений, которые можно представить с помощью общих типы компьютерных данных. Например, 32-битное слово, состоящее из 4 байтов, может представлять $232$ различные значения, которые можно рассматривать либо как простые битовые шаблоны, либо чаще интерпретировать как беззнаковые числа от 0 до $232 - 1$ , или как диапазон чисел со знаком между $-2 31$ и $231 - 1$ . Также см тетрация и нижние гипероперации. Подробнее о представлении чисел со знаком см. два дополнения.

В связи с ловцы эти числа часто называют Ферма 2 степени.

Число ${ displaystyle 2 ^ {2 ^ {n}}}$ для мужчины последовательность иррациональности: для каждой последовательности ${ displaystyle x_ {i}}$ из положительные целые числа, то серии

{ displaystyle sum _ {я = 0} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {2 ^ {i}} x_ {i}}} = { frac {1} {2x_ {0} }} + { frac {1} {4x_ {1}}} + { frac {1} {16x_ {2}}} + cdots}

сходится к иррациональный номер. Несмотря на быстрый рост этой последовательности, это самая медленно растущая последовательность иррациональности из известных.^[3]

Избранные полномочия двух

2⁸ = 256: Количество значений, представленных 8 биты в байт, более конкретно называемый октет. (Период, термин байт часто определяется как сбор бит а не строгое определение 8-битной величины, как демонстрирует термин килобайт.)
2¹⁰ = 1,024: Бинарное приближение кило-, или множитель 1000, который вызывает изменение префикса. Например: 1024байты = 1 килобайт (или кибибайт ).; Это число не имеет особого значения для компьютеров, но важно для людей, потому что мы используем степень десяти.
2¹² = 4,096: Оборудование страница размер Intel x86 -совместимый процессор.
2¹⁵ = 32,768: Количество неотрицательных значений для подписанный 16-битное целое число.
2¹⁶ = 65,536: Количество различных значений, представленных в одном слово на 16 бит процессор, такой как оригинал x86 процессоры.^[4]; Максимальная дальность стрельбы короткое целое число переменная в C #, и Ява языки программирования. Максимальная дальность стрельбы слово или Смоллинт переменная в Паскаль язык программирования.; Номер бинарные отношения на наборе из 4 элементов.
2²⁰ = 1,048,576: Бинарное приближение мега-, или множитель 1 000 000, вызывающий изменение префикса. Например: 1 048 576байты = 1 мегабайт (или мибибайт ).; Это число не имеет особого значения для компьютеров, но важно для людей, потому что мы используем степень десяти.
2²⁴ = 16,777,216: Количество уникальных цвета что может быть отображено в истинный цвет, который используется обычным компьютерные мониторы.; Это число является результатом использования трехканального RGB система с 8 битами для каждого канала или 24 битами всего.; Размер наибольшего беззнакового целого числа или адреса на компьютерах с 24 бит регистры или шины данных.
2²⁹ = 536,870,912: Наибольшая степень двойки с различными цифрами в базе десять.^[5]
2³⁰ = 1,073,741,824: Бинарное приближение гига-, или множитель 1 000 000 000, вызывающий изменение префикса. Например, 1 073 741 824 байты = 1 гигабайт (или гибибайт ).; Это число не имеет особого значения для компьютеров, но важно для людей, потому что мы используем степень десяти.
2³¹ = 2,147,483,648: Количество неотрицательных значений для подписанный 32-битное целое число. поскольку Время Unix измеряется в секундах с 1 января 1970 года, он закончится через 2147483647 секунд или 03:14:07 UTC во вторник, 19 января 2038 года, на 32-битных компьютерах под управлением Unix, проблема, известная как проблема 2038 года.
2³² = 4,294,967,296: Количество различных значений, представленных в одном слово на 32-битный процессор.^[6] Или количество значений, представленных в двойное слово на 16 бит процессор, такой как оригинал x86 процессоры.^[4]; Диапазон int переменная в Ява и C # языки программирования.; Диапазон Кардинал или Целое число переменная в Паскаль язык программирования.; Минимальный диапазон длинное целое переменная в C и C ++ языки программирования.; Общее количество IP-адреса под IPv4. Хотя это, казалось бы, большое число, Исчерпание адреса IPv4 неизбежно.; Номер бинарные операции с доменом, равным любому набору из 4 элементов, например GF (4).
2⁴⁰ = 1,099,511,627,776: Бинарное приближение тера-, или 1 000 000 000 000 множителей, вызывающих изменение префикса. Например, 1 099 511 627 776 байты = 1 терабайт (или тебибайт ).; Это число не имеет особого значения для компьютеров, но важно для людей, потому что мы используем степень десяти.
2⁵⁰ = 1,125,899,906,842,624: Бинарное приближение пета-, или мультипликатор 1 000 000 000 000 000. 1 125 899 906 842 624 байты = 1 петабайт (или пебибайт ).
2⁵³ = 9,007,199,254,740,992: Число, до которого все целочисленные значения могут быть точно представлены в IEEE формат с плавающей запятой двойной точности.
2⁵⁶ = 72,057,594,037,927,936: Количество различных возможных ключей в устаревшем 56 бит DES симметричный шифр.
2⁶⁰ = 1,152,921,504,606,846,976: Бинарное приближение ex-, или множитель 1,000,000,000,000,000,000. 1,152,921,504,606,846,976 байты = 1 эксабайт (или эксбибайт ).
2⁶³ = 9,223,372,036,854,775,808: Количество неотрицательных значений для подписанный 64-битное целое число.
2⁶⁴ = 18,446,744,073,709,551,616: Количество различных значений, представленных в одном слово на 64-битный процессор. Или количество значений, представленных в двойное слово на 32-битный процессор. Или количество значений, представленных в четырехслово на 16 бит процессор, такой как оригинал x86 процессоры.^[4]; Диапазон длинная переменная в Ява и C # языки программирования.; Диапазон Int64 или QWord переменная в Паскаль язык программирования.; Общее количество IPv6-адреса обычно предоставляется одной локальной сети или подсети.; На единицу больше, чем количество зерен риса на шахматной доске, согласно старой истории, где первый квадрат содержит одно рисовое зерно, а каждый последующий квадрат в два раза больше, чем предыдущий. По этой причине номер 2⁶⁴ - 1 известен как «шахматное число».; 2⁶⁴ - 1 - это также количество ходов, необходимых для завершения легендарной 64-дисковой версии Ханойская башня.
2⁶⁸ = 295,147,905,179,352,825,856: Первая степень двойки, содержащая все десятичные цифры. (последовательность A137214 в OEIS )
2⁷⁰ = 1,180,591,620,717,411,303,424: Бинарное приближение зетта-, или мультипликатор 1,000,000,000,000,000,000,000. 1,180,591,620,717,411,303,424 байты = 1 зеттабайт (или зебибайт ).
2⁸⁰ = 1,208,925,819,614,629,174,706,176: Бинарное приближение йотта-, или мультипликатор 1,000,000,000,000,000,000,000,000. 1 208 925 819 614 629 174 706 176 байты = 1 йоттабайт (или йобибайт ).
2⁸⁶ = 77,371,252,455,336,267,181,195,264: 2⁸⁶ предполагается, что это наибольшая степень двойки, не содержащая десятичного нуля.^[7]
2⁹⁶ = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,336: Общее количество IPv6-адреса обычно дается локальный интернет-реестр. В CIDR обозначения, ISP получают /32, что означает, что для адресов доступно 128-32 = 96 бит (в отличие от обозначения сети). Таким образом, 2⁹⁶ адреса.
2¹²⁸ = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456: Общее количество IP-адреса доступно под IPv6. Также количество различных универсальные уникальные идентификаторы (UUID).
2¹⁶⁸ = 374,144,419,156,711,147,060,143,317,175,368,453,031,918,731,001,856: Наибольшая известная степень двойки, не содержащая всех десятичных цифр (цифра 2 в этом случае отсутствует). (последовательность A137214 в OEIS )
2¹⁹² = 6,277,101,735,386,680,763,835,789,423,207,666,416,102,355,444,464,034,512,896: Общее количество различных возможных ключей в AES 192-битный ключевое пространство (симметричный шифр).
2²⁵⁶ = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936: Общее количество различных возможных ключей в AES 256 бит ключевое пространство (симметричный шифр).
2³³³ = 17,498,005,798,264,095,394,980,017,816,940,970,922,825,355,447,145,699,491,406,164,851,279,623,993,595,007,385,788,105,416,184,430,592: Наименьшая степень двойки больше a гугол (10¹⁰⁰).
2¹⁰²⁴ = 179,769,313,486,231,590,772,931,...,304,835,356,329,624,224,137,216: Максимальное количество, которое может поместиться в IEEE формат с плавающей запятой двойной точности, и, следовательно, максимальное количество, которое может быть представлено многими программами, например Майкрософт Эксель.
2^82,589,933 = 148,894,445,742,041,...,210,325,217,902,592: Еще один, чем наибольшее известное простое число по состоянию на декабрь 2018 г.^{[Обновить]}. В нем более 24 миллионов цифр.^[8]

Другие свойства

Сумма всех $п$ -выбирать биномиальные коэффициенты равно $2 п$ . Рассмотрим набор всех $п$ -значные двоичные целые числа. это мощность является $2 п$ . Это также суммы мощностей определенных подмножеств: подмножество целых чисел без единиц (состоящее из одного числа, записанного как $п$ 0s), подмножество с одной единицей, подмножество с двумя единицами и т. Д. До подмножества с $п$ 1s (состоящий из числа, записанного как $п$ 1с). Каждый из них, в свою очередь, равен биномиальному коэффициенту, индексированному $п$ и количество учитываемых единиц (например, есть двоичные числа из 10 вариантов выбора 3 с десятью цифрами, которые включают ровно три единицы).

В настоящее время известны только степени двойки. почти идеальные числа.

Номер вершины из $п$ -размерный гиперкуб является $2 п$ . Точно так же количество $(п - 1)$ -лики $п$ -размерный кросс-многогранник это также $2 п$ и формула для количества $Икс$ сталкивается с $п$ -мерный кросс-многогранник имеет ${ displaystyle 2 ^ {x} { tbinom {n} {x}}.}$

В сумма взаимных степеней двух является 1. В сумма обратных значений квадратов степеней двойки составляет 1/3.

Наименьшая природная сила из двух, чьи десятичное представление начинается с 7^[9]

{ Displaystyle 2 ^ {46} = 70 368 744 177 664.}

Каждую степень двойки (исключая 1) можно записать как сумма четырех квадратных чисел 24 способами. Степени двойки - это натуральные числа больше 1, которые можно записать как сумму четырех квадратных чисел наименьшим количеством способов.

Смотрите также

использованная литература

^ Липшуц, Сеймур (1982). Очерк теории и проблем основной компьютерной математики Шаума. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 3. ISBN 0-07-037990-4.
^ Сьюэлл, Майкл Дж. (1997). Мастер-классы по математике. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п.78. ISBN 0-19-851494-8.
^ Гай, Ричард К. (2004), "E24 Последовательности иррациональности", Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag, п. 346, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001, в архиве из оригинала от 28.04.2016
^ ^а ^б ^c Хотя они различаются по размеру слова, все процессоры x86 используют термин «слово» для обозначения 16 бит; таким образом, 32-разрядный процессор x86 называет свой родной размер слова двойным словом.
^ Prime Curios !: 536870912 «Архивная копия». В архиве из оригинала на 2017-09-05. Получено 2017-09-05.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (ссылка на сайт)
^ "Степень 2 таблицы - - - - - - Резюме Вона". www.vaughns-1-pagers.com. Архивировано из оригинал 12 августа 2015 года.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Ноль». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. «Архивная копия». В архиве из оригинала от 01.06.2013. Получено 2013-05-29.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (ссылка на сайт)
^ «Мерсенн Прайм Дискавери - 2 ^ 82589933-1 - Прайм!». www.mersenne.org.
^ Павел Стшелецкий (1994). "O potęgach dwójki (О степени двойки)" (по польски). Дельта. В архиве из оригинала от 09.05.2016.

[1] Липшуц, Сеймур (1982). Очерк теории и проблем основной компьютерной математики Шаума. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 3. ISBN 0-07-037990-4.

[2] Сьюэлл, Майкл Дж. (1997). Мастер-классы по математике. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п.78. ISBN 0-19-851494-8.

[3] Гай, Ричард К. (2004), "E24 Последовательности иррациональности", Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag, п. 346, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001, в архиве из оригинала от 28.04.2016

[iword-4] а ^б ^c Хотя они различаются по размеру слова, все процессоры x86 используют термин «слово» для обозначения 16 бит; таким образом, 32-разрядный процессор x86 называет свой родной размер слова двойным словом.

[5] Prime Curios !: 536870912 «Архивная копия». В архиве из оригинала на 2017-09-05. Получено 2017-09-05.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (ссылка на сайт)

[6] "Степень 2 таблицы - - - - - - Резюме Вона". www.vaughns-1-pagers.com. Архивировано из оригинал 12 августа 2015 года.

[7] Вайсштейн, Эрик В. «Ноль». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. «Архивная копия». В архиве из оригинала от 01.06.2013. Получено 2013-05-29.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (ссылка на сайт)

[8] «Мерсенн Прайм Дискавери - 2 ^ 82589933-1 - Прайм!». www.mersenne.org.

[o_potegach_dwojki-9] Павел Стшелецкий (1994). "O potęgach dwójki (О степени двойки)" (по польски). Дельта. В архиве из оригинала от 09.05.2016.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]