Последовательность Гулдса - Википедия - Goulds sequence
Последовательность Гулда является целочисленная последовательность названный в честь Генри В. Гулд что считает нечетные числа в каждом ряду Треугольник Паскаля. Он состоит только из силы двух, и начинается:[1][2]
- 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, ... (последовательность A001316 в OEIS )
Например, шестое число в последовательности - 4, потому что в шестой строке треугольника Паскаля четыре нечетных числа (четыре жирных числа в последовательности 1, 5, 10, 10, 5, 1).
Дополнительные интерпретации
В п-ое значение в последовательности (начиная с п = 0) дает наибольшую степень двойки, которая делит центральный биномиальный коэффициент , и это дает числитель (выражается в виде дроби в наименьшем значении).[1]
Последовательность Гулда также дает количество живых клеток в п-е поколение Правило 90 клеточный автомат начиная с одной живой клетки.[1][3]Имеет характерный рост пилообразный форма, которую можно использовать для распознавания физических процессов, которые ведут себя аналогично Правилу 90.[4]
Связанные последовательности
В двоичные логарифмы (показатели в степенях двойки) последовательности Гулда сами образуют целочисленную последовательность,
- 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, ... (последовательность A000120 в OEIS )
в которой пth значение дает количество ненулевых битов в двоичное представление числа п, иногда записываемый в математических обозначениях как .[1][2] Эквивалентно п-ое значение в последовательности Гулда равно
Взяв последовательность показателей по модулю два, получаем Последовательность Туэ – Морса.[5]
В частичные суммы последовательности Гулда,
- 0, 1, 3, 5, 9, 11, 15, 19, 27, 29, 33, 37, 45, 49, 57, 65, 81, 83, 87, 91, 99, 103, 111, ... ( последовательность A006046 в OEIS )
посчитайте все нечетные числа в первом п ряды треугольника Паскаля. Эти числа растут пропорционально , но с константой пропорциональности, которая периодически колеблется между 0,812556 ... и 1 в зависимости от бревно п.[6][7]
Рекурсивное построение и самоподобие
Первый 2я значения в последовательности Гулда могут быть построены рекурсивным построением первого 2я − 1 значения, а затем конкатенация удвоений первого 2я − 1 значения. Например, объединение первых четырех значений 1, 2, 2, 4 с их двойными числами 2, 4, 4, 8 дает первые восемь значений. Из-за этой конструкции удвоения первое появление каждой степени двойки 2я в этой последовательности находится в позиции 2я − 1.[1]
Последовательность Гулда, последовательность ее показателей и последовательность Туэ – Морса - все это самоподобный: у них есть свойство, что подпоследовательность значений в четных позициях во всей последовательности равна исходной последовательности, свойство, которое они также разделяют с некоторыми другими последовательностями, такими как Двухатомная последовательность Штерна.[3][8][9] В последовательности Гулда значения в нечетных позициях вдвое превышают их предшественников, тогда как в последовательности экспонент значения в нечетных позициях равны единице плюс их предшественники.
История
Последовательность названа в честь Генри В. Гулд, изучавшие его в начале 1960-х гг. Однако тот факт, что эти числа являются степенями двойки, с показателем степени пчисло, равное количеству единиц в двоичное представление из п, уже было известно Дж. У. Л. Глейшер в 1899 г.[10][11]
Доказательство того, что числа в последовательности Гулда являются степенями двойки, было проблемой в 1956 году. Математический конкурс Уильяма Лоуэлла Патнэма.[12]
Рекомендации
- ^ а б c d е Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A001316 (последовательность Гулда)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
- ^ а б Полиа, Джордж; Тарджан, Роберт Э.; Вудс, Дональд Р. (2009), Заметки по вводной комбинаторике, Прогресс в области компьютерных наук и прикладной логики, 4, Springer, стр. 21, ISBN 9780817649531.
- ^ а б Вольфрам, Стивен (1984), «Геометрия биномиальных коэффициентов», Американский математический ежемесячный журнал, 91 (9): 566–571, Дои:10.2307/2323743, МИСТЕР 0764797.
- ^ Клауссен, Йенс Кристиан; Наглер, Ян; Шустер, Хайнц Георг (2004), «сигнал Серпинского генерирует 1 ∕ж α спектры », Физический обзор E, 70: 032101, arXiv:cond-mat / 0308277, Bibcode:2004PhRvE..70c2101C, Дои:10.1103 / PhysRevE.70.032101.
- ^ Нортшилд, Сэм (2010), «Суммы по модулю треугольника Паскаля 2», Congressus Numerantium, 200: 35–52, МИСТЕР 2597704, заархивировано из оригинал на 2015-09-10, получено 2016-09-10.
- ^ Харборт, Хейко (1976), "Число нечетных биномиальных коэффициентов", Труды Американского математического общества, 62 (1): 19–22, Дои:10.2307/2041936, МИСТЕР 0429714.
- ^ Ларчер, Г. (1996), "О количестве нечетных биномиальных коэффициентов", Acta Mathematica Hungarica, 71 (3): 183–203, Дои:10.1007 / BF00052108, МИСТЕР 1397551.
- ^ Гиллеланд, Майкл, Некоторые самоподобные целочисленные последовательности, OEIS, получено 2016-09-10.
- ^ Шредер, Манфред (1996), «Фракталы в музыке», в Пиковер, Клиффорд А. (ред.), Фрактальные горизонты, Нью-Йорк: St. Martin's Press, стр. 207–223.. Цитируется Гиллеландом.
- ^ Гранвиль, Эндрю (1992), «Мозг Зафода Библброкса и пятьдесят девятый ряд треугольника Паскаля», Американский математический ежемесячный журнал, 99 (4): 318–331, Дои:10.2307/2324898, МИСТЕР 1157222.
- ^ Глейшер, Дж. У. Л. (1899), «О вычете коэффициента биномиальной теоремы относительно простого модуля», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики, 30: 150–156. См., В частности, последний абзац на стр. 156.
- ^ Глисон, Эндрю М.; Greenwood, R.E .; Келли, Лерой Милтон, ред. (1980), Математический конкурс Уильяма Лоуэлла Патнэма: проблемы и решения: 1938–1964, Математическая ассоциация Америки, стр. 46, ISBN 9780883854624.