Двоичный логарифм - Binary logarithm

График бревно2 Икс как функция положительного действительного числа Икс

В математика, то двоичный логарифм (бревно2 п) это мощность к которому номер 2 должно быть поднятый получить значениеп. То есть для любого реального числа Икс,

Например, двоичный логарифм 1 является 0, двоичный логарифм 2 является 1, двоичный логарифм 4 является2, и двоичный логарифм 32 является5.

Двоичный логарифм - это логарифм к базе 2. Функция двоичного логарифма - это обратная функция из сила двух функция. А также бревно2, альтернативные обозначения для двоичного логарифма включают LG, ld, фунт (обозначение, предпочитаемое ISO 31-11 и ISO 80000-2 ) и (с предыдущим утверждением, что база по умолчанию - 2) бревно.

Исторически первое применение двоичных логарифмов было в теория музыки, к Леонард Эйлер: двоичный логарифм отношения частот двух музыкальных тонов дает количество октавы чем отличаются тона. Двоичные логарифмы можно использовать для вычисления длины представления числа в двоичная система счисления, или количество биты необходимо закодировать сообщение в теория информации. В Информатика, они подсчитывают количество шагов, необходимых для бинарный поиск и связанные алгоритмы. Другие области, в которых часто используется двоичный логарифм, включают комбинаторика, биоинформатика, дизайн спорта турниры, и фотография.

Двоичные логарифмы включены в стандарт C математические функции и другие пакеты математических программ. Целая часть двоичного логарифма может быть найдена с помощью найти первый набор операции над целочисленным значением или путем поиска экспоненты плавающая точка Дробная часть логарифма может быть вычислена эффективно.

История

Основная статья: История логарифмов
Леонард Эйлер был первым, кто применил двоичные логарифмы к теория музыки, в 1739 г.

В силы двух известны с глубокой древности; например, они появляются в Евклида Элементы, Реквизит. IX.32 (на факторизация степеней двойки) и IX.36 (половина Теорема Евклида – Эйлера, о структуре даже идеальные числа И двоичный логарифм степени двойки - это просто ее позиция в упорядоченной последовательности степеней двойки. Майкл Стифель приписывают публикацию первой известной таблицы двоичных логарифмов в 1544 году. Его книга Арифметика Интегра содержит несколько таблиц, которые показывают целые числа с соответствующими степенями двойки. Переворачивание строк этих таблиц позволяет интерпретировать их как таблицы двоичных логарифмов.[1][2]

Раньше Стифеля, VIII век Джайн математик Вирасена ставится предшественником двоичного логарифма. Концепция Вирасены Ардхачеда был определен как количество раз, когда данное число может делиться поровну на два. Это определение порождает функцию, которая совпадает с двоичным логарифмом степеней двойки:[3] но для других целых чисел он отличается, давая 2-адический порядок а не логарифм.[4]

Современная форма двоичного логарифма, применяемая к любому числу (а не только к степеням двойки), была явно рассмотрена Леонард Эйлер в 1739 г. Эйлер установил применение двоичных логарифмов в теории музыки задолго до того, как стало известно их применение в теории информации и информатике. В рамках своей работы в этой области Эйлер опубликовал таблицу двоичных логарифмов целых чисел от 1 до 8 с точностью до семи десятичных знаков.[5][6]

Определение и свойства

Функция двоичного логарифмирования может быть определена как обратная функция к сила двух функция, которая является строго возрастающей функцией над положительным действительные числа и поэтому имеет единственный обратный.[7]В качестве альтернативы его можно определить как пер п/ ln 2, куда пер это натуральный логарифм, определенный любым из своих стандартных способов. С использованием комплексный логарифм в этом определении позволяет расширить двоичный логарифм до сложные числа.[8]

Как и в случае с другими логарифмами, двоичный логарифм подчиняется следующим уравнениям, которые можно использовать для упрощения формул, сочетающих двоичные логарифмы с умножением или возведением в степень:[9]

Подробнее см. список логарифмических тождеств.

Обозначение

В математике двоичный логарифм числа п часто пишется как бревно2 п.[10] Однако было использовано или предложено несколько других обозначений для этой функции, особенно в прикладных областях.

Некоторые авторы записывают двоичный логарифм как LG п,[11][12] обозначения, перечисленные в Чикагское руководство стиля.[13] Дональд Кнут приписывает это обозначение предложению Эдвард Рейнгольд,[14] но его использование как в теории информации, так и в информатике началось еще до того, как Рейнгольд начал свою деятельность.[15][16] Двоичный логарифм также записывается как бревно п с предыдущим утверждением, что основанием по умолчанию для логарифма является2.[17][18][19] Другое обозначение, которое часто используется для той же функции (особенно в немецкой научной литературе), - это ld п,[20][21][22] из латинский логарифм дуалис[20] или же логарифм диадис.[20]В DIN 1302 [де ], ISO 31-11 и ISO 80000-2 стандарты рекомендуют еще одну нотацию, фунт п. Согласно этим стандартам, LG п не следует использовать для двоичного логарифма, поскольку он зарезервирован для десятичный логарифм бревно10 п.[23][24][25]

Приложения

Смотрите также: Удвоение времени

Теория информации

Количество цифр (биты ) в двоичное представление положительного целого числа п это неотъемлемая часть из 1 + журнал2 п, т.е.[12]

В теории информации определение количества самоинформация и информационная энтропия часто выражается двоичным логарифмом, что соответствует тому, что бит является основной единицей информации. Тем не менее натуральный логарифм и нац также используются в альтернативных обозначениях для этих определений.[26]

Комбинаторика

16 игроков одиночное исключение турнирная сетка со структурой полное двоичное дерево. Высота дерева (количество раундов турнира) - это двоичный логарифм количества игроков, округленный до целого числа.

Хотя натуральный логарифм важнее двоичного логарифма во многих областях чистой математики, таких как теория чисел и математический анализ,[27] двоичный логарифм имеет несколько применений в комбинаторика:

  • Каждый двоичное дерево с п листья имеют высоту не менее бревно2 п, с равенством при п это сила двух а дерево - это полное двоичное дерево.[28] Соответственно, Номер Strahler речной системы с п притоков не более бревно2 п + 1.[29]
  • Каждый семейство наборов с п в разных наборах есть не менее бревно2 п элементы в своем союзе, с равенством, когда семья набор мощности.[30]
  • Каждый частичный куб с п вершины имеют изометрическую размерность не менее бревно2 п, и имеет не более 1/2 п бревно2 п ребер, с равенством, когда частичный куб является граф гиперкуба.[31]
  • В соответствии с Теорема Рамсея, каждый п-вертекс неориентированный граф имеет либо клика или независимый набор логарифмического размера в п. Точный размер, который может быть гарантирован, неизвестен, но наилучшие известные оценки его размера включают двоичные логарифмы. В частности, все графы имеют клику или независимое множество размером не менее 1/2 бревно2 п (1 − о(1)) и почти все графы не имеют клики или независимого набора размером больше, чем 2 журнала2 п (1 + о(1)).[32]
  • Из математического анализа Модель Гилберта – Шеннона – Ридса случайных перемешиваний, можно показать, что сколько раз нужно перемешать п-карточная колода карт, использующая волнистая перетасовка, чтобы получить распределение по перестановкам, близкое к равномерно случайному, составляет приблизительно 3/2 бревно2 п. Этот расчет является основанием для рекомендации перетасовать колоды из 52 карт семь раз.[33]

Вычислительная сложность

Бинарный поиск в отсортированном массиве алгоритм, временная сложность которого включает двоичные логарифмы

Двоичный логарифм также часто встречается в анализ алгоритмов,[19] не только из-за частого использования арифметики двоичных чисел в алгоритмах, но и потому, что двоичные логарифмы возникают при анализе алгоритмов, основанных на двустороннем ветвлении.[14] Если проблема изначально возникла п вариантов для его решения, и каждая итерация алгоритма уменьшает количество вариантов в два раза, тогда количество итераций, необходимых для выбора одного варианта, снова является неотъемлемой частью бревно2 п. Эта идея используется при анализе нескольких алгоритмы и структуры данных. Например, в бинарный поиск, размер решаемой задачи уменьшается вдвое с каждой итерацией, и поэтому примерно бревно2 п итерации необходимы, чтобы получить решение проблемы размера п.[34] Точно так же идеально сбалансированный двоичное дерево поиска содержащий п элементы имеют высоту бревно2(п + 1) − 1.[35]

Время работы алгоритма обычно выражается в нотация большой O, который используется для упрощения выражений, опуская их постоянные множители и младшие члены. Поскольку логарифмы в разных основаниях отличаются друг от друга только постоянным множителем, алгоритмы, работающие в О(бревно2 п) можно также сказать, что время бежит, скажем, О(бревно13 п) время. Основание логарифма в таких выражениях, как О(бревно п) или же О(п бревно п) поэтому не имеет значения и может быть опущен.[11][36] Однако для логарифмов, которые появляются в показателе степени привязки по времени, основание логарифма не может быть опущено. Например, О(2бревно2 п) не то же самое, что О(2пер п) потому что первое равно О(п) и последний О(п0.6931...).

Алгоритмы с наработкой О(п бревноп) иногда называют линейный.[37] Некоторые примеры алгоритмов с временем работы О(бревно п) или же О(п бревно п) находятся:

Двоичные логарифмы также встречаются в показателях временных границ для некоторых разделяй и властвуй алгоритмы, такой как Алгоритм Карацубы для умножения п-битовые числа во времени О(пбревно2 3),[42]и Алгоритм Штрассена для умножения п × п матрицы во времениО(пбревно2 7).[43] Появление двоичных логарифмов в этих временах выполнения можно объяснить с помощью ссылки на основная теорема для повторений "разделяй и властвуй".

Биоинформатика

А микрочип примерно 8700 генов. Уровни экспрессии этих генов сравниваются с использованием двоичных логарифмов.

В биоинформатика, микрочипы используются для измерения того, насколько сильно разные гены экспрессируются в образце биологического материала. Различные скорости экспрессии гена часто сравнивают, используя двоичный логарифм отношения скоростей экспрессии: логарифм отношения двух скоростей экспрессии определяется как двоичный логарифм отношения двух скоростей. Двоичные логарифмы позволяют удобно сравнивать скорости экспрессии: удвоенную скорость экспрессии можно описать логарифмическим соотношением 1, уменьшение скорости экспрессии вдвое можно описать логарифмическим соотношением −1, а неизменная скорость экспрессии может быть описана, например, логарифмическим коэффициентом, равным нулю.[44]

Полученные таким образом точки данных часто визуализируются как диаграмма рассеяния в котором одна или обе оси координат являются двоичными логарифмами отношений интенсивностей, или в визуализациях, таких как Сюжет MA и РА сюжет которые вращают и масштабируют эти диаграммы рассеяния логарифмических соотношений.[45]

Теория музыки

В теория музыки, то интервал или разница восприятия между двумя тонами определяется соотношением их частот. Интервалы из Рациональное число отношения с маленькими числителями и знаменателями воспринимаются как особенно благозвучные. Самый простой и важный из этих интервалов - это октава, отношение частот 2:1. Число октав, на которые различаются два тона, является двоичным логарифмом их отношения частот.[46]

Учиться системы настройки и другие аспекты теории музыки, которые требуют более тонких различий между тонами, полезно иметь меру размера интервала, который меньше октавы и является аддитивным (как логарифмы), а не мультипликативным (как соотношение частот). То есть, если тоны Икс, у, и z формируют восходящую последовательность тонов, затем измеряют интервал от Икс к у плюс мера интервала от у к z должен быть равен мере интервала от Икс к z. Такую меру дает цент, который делит октаву на 1200 равные интервалы (12 полутоны из 100 центов каждый). Математически, учитывая тона с частотами ж1 и ж2, количество центов в интервале от ж1 к ж2 является[46]

В миллиоктава определяется таким же образом, но с множителем 1000 вместо 1200.[47]

Расписание занятий спортом

В соревновательных играх и видах спорта, в которых участвуют два игрока или команды в каждой игре или матче, двоичный логарифм указывает количество раундов, необходимых для турнир на выбывание требуется для определения победителя. Например, турнир 4 игрокам требуется бревно2 4 = 2 раундов для определения победителя, турнир 32 командам требуется бревно2 32 = 5 раундов и т. д. В этом случае для п игроки / команды, где п не является степенью двойки, бревно2 п округляется в большую сторону, поскольку необходимо провести хотя бы один раунд, в котором участвуют не все оставшиеся участники. Например, бревно2 6 примерно 2.585, который округляется до 3, указывая, что турнир 6 командам требуется 3 раунды (либо две команды выбывают из первого раунда, либо одна команда выходит из второго раунда). Такое же количество раундов также необходимо для определения явного победителя в Турнир по швейцарской системе.[48]

Фотография

В фотография, значения экспозиции измеряются в виде двоичного логарифма количества света, попадающего на пленку или датчик, в соответствии с Закон Вебера – Фехнера описывающий логарифмический отклик зрительной системы человека на свет. Одна остановка экспозиции - это одна единица на основе2 логарифмическая шкала.[49][50] Точнее, значение экспозиции фотографии определяется как

куда N это f-число измерение отверстие линзы во время экспонирования, и т - количество секунд воздействия.[51]

Двоичные логарифмы (выраженные в виде остановок) также используются в денситометрия, чтобы выразить динамический диапазон светочувствительных материалов или цифровых датчиков.[52]

Расчет

ТИ СР-50 научный калькулятор (1974). Клавиши ln и log находятся во втором ряду; нет журнала2 ключ.

Конвертация с других баз

Простой способ расчета бревно2 п на калькуляторы у которых нет бревно2 функция заключается в использовании натуральный логарифм (пер) или десятичный логарифм (бревно или же бревно10) функций, которые встречаются на большинстве научные калькуляторы. Конкретные изменение основания логарифма формулы для этого:[50][53]

или примерно

Целочисленное округление

Двоичный логарифм может быть преобразован в функцию от целых чисел до целых с помощью округление вверх или вниз. Эти две формы целочисленного двоичного логарифма связаны следующей формулой:

[54]

Определение можно расширить, определив . В таком расширении эта функция связана с количество ведущих нулей 32-битного беззнакового двоичного представления Икс, nlz (Икс).

[54]

Целочисленный двоичный логарифм можно интерпретировать как отсчитываемый от нуля индекс наиболее значимых 1 бит на входе. В этом смысле это дополнение найти первый набор операция, которая находит индекс наименее значимого 1 кусочек. Многие аппаратные платформы включают поддержку поиска количества ведущих нулей или эквивалентных операций, которые можно использовать для быстрого нахождения двоичного логарифма. В fls и flsl функции в Ядро Linux[55] и в некоторых версиях libc Программная библиотека также вычисляет двоичный логарифм (округляется до целого числа плюс один).

Итерационное приближение

Для генерала положительное действительное число, двоичный логарифм можно вычислить в двух частях.[56]Во-первых, вычисляется целая часть, (называется характеристикой логарифма). Это сводит проблему к проблеме, в которой аргумент логарифма находится в ограниченном диапазоне, интервале [1, 2), упрощая второй шаг вычисления дробной части (мантисса логарифма ).Для любого Икс > 0, существует единственное целое число п такой, что 2п ≤ Икс < 2п+1, или эквивалентно 1 ≤ 2−пИкс < 2. Теперь целая часть логарифма просто п, а дробная часть равна бревно2(2−пИкс).[56] Другими словами:

Для нормализованных плавающая точка числа, целая часть дается показателем с плавающей запятой,[57] а для целых чисел его можно определить, выполнив считать ведущие нули операция.[58]

Дробная часть результата равна бревно2 у и может быть вычислен итеративно, используя только элементарное умножение и деление.[56]Алгоритм вычисления дробной части можно описать в псевдокод следующее:

  1. Начни с реального числа у в полуоткрытом интервале [1, 2). Если у = 1, то алгоритм выполнен, а дробная часть равна нулю.
  2. В противном случае квадрат у неоднократно до результата z лежит в интервале [2, 4). Позволять м быть необходимым количеством квадратов. То есть, z = у2м с м выбран так, что z в [2, 4).
  3. Логарифмируем обе части и занимаемся алгеброй:
  4. Снова z/2 действительное число в интервале [1, 2). Вернитесь к шагу 1 и вычислите двоичный логарифм z/2 используя тот же метод.

Результат этого выражается следующими рекурсивными формулами, в которых количество квадратов, необходимых в я-я итерация алгоритма:

В частном случае, когда дробная часть на шаге 1 оказывается равной нулю, это конечный последовательность заканчивается в какой-то момент. В противном случае это бесконечная серия который сходится согласно тест соотношения, поскольку каждый член строго меньше предыдущего (поскольку каждый мя > 0). Для практического использования этот бесконечный ряд необходимо усечь, чтобы получить приблизительный результат. Если серия усекается после я-го члена, то погрешность результата меньше 2−(м1 + м2 + ... + мя).[56]

Поддержка библиотеки программного обеспечения

В log2 функция включена в стандарт C математические функции. Версия этой функции по умолчанию принимает двойная точность аргументы, но его варианты позволяют аргументу быть одинарной точностью или быть длинный двойной.[59] В MATLAB, аргумент в пользу log2 функция может быть отрицательное число, и в этом случае результат будет комплексное число.[60]

Рекомендации

  1. ^ Гроза, Вивиан Шоу; Шелли, Сюзанна М. (1972), Математика Precalculus, Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон, стр. 182, г. ISBN  978-0-03-077670-0.
  2. ^ Стифель, Майкл (1544), Арифметика интегра (на латыни), стр. 31 год. Копия той же таблицы с еще двумя записями отображается на стр. 237, а другая копия, расширенная до отрицательных степеней, появляется на стр. 249b.
  3. ^ Джозеф, Г. Г. (2011), Герб Павлина: неевропейские корни математики (3-е изд.), Princeton University Press, стр.352.
  4. ^ См., Например, Шпарлинский, Игорь (2013), Криптографические приложения аналитической теории чисел: нижние границы сложности и псевдослучайность, Прогресс в области компьютерных наук и прикладной логики, 22, Биркхойзер, стр. 35, ISBN  978-3-0348-8037-4.
  5. ^ Эйлер, Леонард (1739), "Глава VII. De Variorum Intervallorum Receptis Appelationibus", Tentamen novae theoriae musicae ex certissismisharmoniae Principiis dilucide expositae (на латыни), Санкт-Петербургская Академия, С. 102–112..
  6. ^ Тегг, Томас (1829 г.), «Двоичные логарифмы», Лондонская энциклопедия; или Универсальный словарь науки, искусства, литературы и практической механики: содержащий популярный взгляд на современное состояние знаний, Том 4, стр. 142–143.
  7. ^ Бачелет, Э. (2012), Введение в математику для ученых-биологов, Springer, стр. 128, ISBN  978-3-642-96080-2.
  8. ^ Например, Майкрософт Эксель обеспечивает IMLOG2 функция для сложных двоичных логарифмов: см. Бург, Дэвид М. (2006), Справочник по науке и технике Excel, O'Reilly Media, стр. 232, ISBN  978-0-596-55317-3.
  9. ^ Колман, Бернард; Шапиро, Арнольд (1982), "11.4 Свойства логарифмов", Алгебра для студентов колледжа, Academic Press, стр. 334–335, ISBN  978-1-4832-7121-7.
  10. ^ Например, это обозначение, используемое в Энциклопедия математики и Принстонский компаньон математики.
  11. ^ а б Кормен, Томас Х.; Лейзерсон, Чарльз Э.; Ривест, Рональд Л.; Штейн, Клиффорд (2001) [1990], Введение в алгоритмы (2-е изд.), MIT Press и McGraw-Hill, стр. 34, 53–54, ISBN  0-262-03293-7
  12. ^ а б Седжвик, Роберт; Уэйн, Кевин Дэниел (2011), Алгоритмы, Addison-Wesley Professional, стр. 185, ISBN  978-0-321-57351-3.
  13. ^ Чикагское руководство стиля (25-е изд.), University of Chicago Press, 2003, стр. 530.
  14. ^ а б Кнут, Дональд Э. (1997), Фундаментальные алгоритмы, Искусство программирования, 1 (3-е изд.), Addison-Wesley Professional, ISBN  978-0-321-63574-7, п. 11. Такое же обозначение было во втором издании той же книги 1973 г. (стр. 23), но без упоминания Рейнгольда.
  15. ^ Трукко, Эрнесто (1956), «Заметка об информационном содержании графиков», Бык. Математика. Биофиз., 18 (2): 129–135, Дои:10.1007 / BF02477836, МИСТЕР  0077919.
  16. ^ Митчелл, Джон Н. (1962), "Компьютерное умножение и деление с использованием двоичных логарифмов", Операции IRE на электронных компьютерах, ИС-11 (4): 512–517, Дои:10.1109 / TEC.1962.5219391.
  17. ^ Фиш, Жорж; Эбютерн, Жерар (2013), Математика для инженеров, John Wiley & Sons, стр. 152, ISBN  978-1-118-62333-6, В дальнейшем, если не указано иное, обозначения бревно Икс всегда означает логарифм с основанием 2 из Икс.
  18. ^ Обложка, Томас М.; Томас, Джой А. (2012), Элементы теории информации (2-е изд.), Джон Уайли и сыновья, п. 33, ISBN  978-1-118-58577-1, Если не указано иное, мы возьмем все логарифмы по основанию 2.
  19. ^ а б Гудрич, Майкл Т.; Тамассия, Роберто (2002), Разработка алгоритмов: основы, анализ и примеры в Интернете, John Wiley & Sons, стр. 23, Одним из интересных, а иногда и неожиданных аспектов анализа структур данных и алгоритмов является повсеместное присутствие логарифмов ... Как это принято в компьютерной литературе, мы опускаем запись базы б логарифма, когда б = 2.
  20. ^ а б c Тафель, Ханс Йорг (1971), Einführung in die digitale Datenverarbeitung [Введение в цифровую обработку информации] (на немецком языке), Мюнхен: Карл Хансер Верлаг, стр. 20–21, ISBN  3-446-10569-7
  21. ^ Титце, Ульрих; Шенк, Кристоф (1999), Halbleiter-Schaltungstechnik (на немецком языке) (1-е исправленное издание, 11-е изд.), Springer Verlag, п.1370, ISBN  3-540-64192-0
  22. ^ Бауэр, Фридрих Л. (2009), Истоки и основы вычислительной техники: в сотрудничестве с Heinz Nixdorf MuseumsForum, Springer Science & Business Media, п. 54, ISBN  978-3-642-02991-2.
  23. ^ Для DIN 1302 см. Brockhaus Enzyklopädie в Цванциг-Бенден [Энциклопедия Брокгауза в двадцати томах] (на немецком), 11, Висбаден: F.A. Brockhaus, 1970, с. 554, г. ISBN  978-3-7653-0000-4.
  24. ^ Для ISO 31-11 см. Томпсон, Эмблер; Тейлор, Барри М. (март 2008 г.), Руководство по использованию Международной системы единиц (СИ) - Специальная публикация NIST 811, издание 2008 г. - второе издание (PDF), NIST, п. 33.
  25. ^ Для ISO 80000-2 см. «Величины и единицы - Часть 2: Математические знаки и символы для использования в естественных науках и технике» (PDF), Международный стандарт ISO 80000-2 (1-е изд.), 1 декабря 2009 г., Раздел 12, Экспоненциальные и логарифмические функции, с. 18.
  26. ^ Ван дер Люббе, Ян К. А. (1997), Теория информации, Cambridge University Press, стр. 3, ISBN  978-0-521-46760-5.
  27. ^ Стюарт, Ян (2015), Укрощение бесконечности, Quercus, стр. 120, ISBN  9781623654733, в высшей математике и естественных науках единственным важным логарифмом является натуральный логарифм.
  28. ^ Лейсс, Эрнст Л. (2006), Помощник программиста в анализе алгоритмов, CRC Press, стр. 28, ISBN  978-1-4200-1170-8.
  29. ^ Деврой, Л.; Крушевский, П. (1996), «О числе Хортона – Стрелера для случайных попыток», RAIRO Informatique Théorique et Applications, 30 (5): 443–456, Дои:10.1051 / ita / 1996300504431, МИСТЕР  1435732.
  30. ^ Равно как семья с k отдельные элементы имеют не более 2k различные наборы с равенством, когда это набор мощности.
  31. ^ Эппштейн, Дэвид (2005), "Решетчатая размерность графа", Европейский журнал комбинаторики, 26 (5): 585–592, arXiv:cs.DS / 0402028, Дои:10.1016 / j.ejc.2004.05.001, МИСТЕР  2127682.
  32. ^ Грэм, Рональд Л.; Ротшильд, Брюс Л.; Спенсер, Джоэл Х. (1980), Теория Рэмси, Wiley-Interscience, стр. 78.
  33. ^ Байер, Дэйв; Диаконис, Перси (1992), «Следуя за шарканьем ласточкиного хвоста к его логову», Анналы прикладной теории вероятностей, 2 (2): 294–313, Дои:10.1214 / aoap / 1177005705, JSTOR  2959752, МИСТЕР  1161056.
  34. ^ Мельхорн, Курт; Сандерс, Питер (2008), «2.5 Пример - бинарный поиск», Алгоритмы и структуры данных: базовый набор инструментов (PDF), Springer, стр. 34–36, ISBN  978-3-540-77977-3.
  35. ^ Робертс, Фред; Тесман, Барри (2009), Прикладная комбинаторика (2-е изд.), CRC Press, стр. 206, ISBN  978-1-4200-9983-6.
  36. ^ Сипсер, Майкл (2012), «Пример 7.4», Введение в теорию вычислений (3-е изд.), Cengage Learning, стр. 277–278, ISBN  9781133187790.
  37. ^ Седжвик и Уэйн (2011), п. 186.
  38. ^ Кормен и др., Стр. 156; Гудрич и Тамассия, стр. 238.
  39. ^ Кормен и др., Стр. 276; Гудрич и Тамассия, стр. 159.
  40. ^ Cormen et al., Стр. 879–880; Гудрич и Тамассия, стр. 464.
  41. ^ Эдмондс, Джефф (2008), Как думать об алгоритмах, Cambridge University Press, стр. 302, ISBN  978-1-139-47175-6.
  42. ^ Кормен и др., Стр. 844; Гудрич и Тамассия, стр. 279.
  43. ^ Кормен и др., Раздел 28.2.
  44. ^ Каустон, Хелен; Quackenbush, Джон; Бразма, Алвис (2009), Анализ данных экспрессии генов на микрочипах: руководство для начинающих, John Wiley & Sons, стр. 49–50, ISBN  978-1-4443-1156-3.
  45. ^ Эйдхаммер, Ингвар; Барснес, Харальд; Эйде, Гейр Эгиль; Мартенс, Леннарт (2012), Вычислительные и статистические методы количественного определения белка с помощью масс-спектрометрии, John Wiley & Sons, стр. 105, ISBN  978-1-118-49378-6.
  46. ^ а б Кэмпбелл, Мюррей; Greated, Клайв (1994), Путеводитель по акустике для музыкантов, Oxford University Press, стр. 78, ISBN  978-0-19-159167-9.
  47. ^ Рэндел, Дон Майкл, изд. (2003), Гарвардский музыкальный словарь (4-е изд.), The Belknap Press of Harvard University Press, стр. 416, г. ISBN  978-0-674-01163-2.
  48. ^ Франция, Роберт (2008), Введение в физическое воспитание и науку о спорте, Cengage Learning, стр. 282, г. ISBN  978-1-4180-5529-5.
  49. ^ Аллен, Элизабет; Триантафиллиду, Софи (2011), Руководство по фотографии, Тейлор и Фрэнсис, стр. 228, ISBN  978-0-240-52037-7.
  50. ^ а б Дэвис, Фил (1998), За пределами системы зон, CRC Press, стр. 17, ISBN  978-1-136-09294-7.
  51. ^ Аллен и Триантафиллиду (2011), п. 235.
  52. ^ Цверман, Сьюзен; Окунь, Джеффри А. (2012), Справочник Общества визуальных эффектов: рабочий процесс и методы, CRC Press, стр. 205, ISBN  978-1-136-13614-6.
  53. ^ Бауэр, Крейг П. (2013), Тайная история: история криптологии, CRC Press, стр. 332, ISBN  978-1-4665-6186-1.
  54. ^ а б Уоррен-младший, Генри С. (2002), Хакерское наслаждение (1-е изд.), Эддисон Уэсли, п. 215, ISBN  978-0-201-91465-8
  55. ^ fls, API ядра Linux, kernel.org, получено 17 октября 2010.
  56. ^ а б c d Majithia, J.C .; Леван, Д. (1973), "Заметка о вычислениях логарифма с основанием 2", Труды IEEE, 61 (10): 1519–1520, Дои:10.1109 / PROC.1973.9318.
  57. ^ Стивенсон, Ян (2005), «9.6 Fast Power, Log2 и Exp2 Functions», Производственный рендеринг: дизайн и реализация, Springer-Verlag, стр. 270–273, ISBN  978-1-84628-085-6.
  58. ^ Уоррен-младший, Генри С. (2013) [2002], «11-4: Целочисленный логарифм», Хакерское наслаждение (2-е изд.), Эддисон Уэсли – Pearson Education, Inc., п. 291, ISBN  978-0-321-84268-8, 0-321-84268-5.
  59. ^ «7.12.6.10 Функции log2», ISO / IEC 9899: 1999 спецификация (PDF), п. 226.
  60. ^ Редферн, Даррен; Кэмпбелл, Колин (1998), Справочник по Matlab® 5, Springer-Verlag, стр. 141, ISBN  978-1-4612-2170-8.

внешняя ссылка