Независимое множество (теория графов) - Independent set (graph theory)

Девять синих вершин образуют максимально независимый набор для Обобщенный граф Петерсена GP (12,4).

В теория графов, независимый набор, стабильный набор, коклика или антиклика это набор вершины в график, из которых нет двух соседних. То есть это набор ${ displaystyle S}$ таких вершин, что для каждых двух вершин в ${ displaystyle S}$, здесь нет край соединяя два. Эквивалентно, каждое ребро в графе имеет не более одной конечной точки в ${ displaystyle S}$. Размер независимого множества - это количество содержащихся в нем вершин. Независимые множества также называются внутренне устойчивыми множествами.^[1]

А максимальное независимое множество независимое множество, не являющееся правильное подмножество любого другого независимого множества.

А максимальный независимый набор независимый набор максимально возможного размера для данного графа ${ displaystyle G}$. Этот размер называется число независимости из ${ displaystyle G}$, и обозначил ${ Displaystyle альфа (G)}$.^[2] В проблема оптимизации поиска такого набора называется Задача максимально независимого набора. Это сильно NP-жесткий.^[3] Таким образом, маловероятно, что существует эффективный алгоритм для поиска максимального независимого набора графа.

Каждое максимальное независимое множество также является максимальным, но обратное утверждение не обязательно.

Свойства

Связь с другими параметрами графика

Набор независим тогда и только тогда, когда он клика на графике дополнять, поэтому эти две концепции дополняют друг друга. Фактически, достаточно большие графы без больших клик имеют большие независимые множества, и эта тема исследуется в Теория Рамсея.

Множество является независимым тогда и только тогда, когда его дополнением является крышка вершины.^[4] Следовательно, сумма размеров наибольшего независимого множества ${ Displaystyle альфа (G)}$ и размер минимального вершинного покрытия ${ Displaystyle бета (G)}$ равно количеству вершин в графе.

А раскраска вершин графа ${ displaystyle G}$ соответствует раздел множества его вершин в независимые подмножества. Следовательно, минимальное количество цветов, необходимое для раскраски вершин, хроматическое число ${ Displaystyle чи (G)}$, по крайней мере, является частным от числа вершин в ${ displaystyle G}$ и независимое число ${ Displaystyle альфа (G)}$.

В двудольный граф без изолированных вершин количество вершин в максимальном независимом множестве равно количеству ребер в минимальном краевое покрытие; это Теорема Кёнига.

Максимальный независимый набор

Независимый набор, который не является надлежащим подмножеством другого независимого набора, называется максимальный. Такие наборы доминирующие наборы. Каждый граф содержит не более 3^п/3 максимальные независимые множества,^[5] но многие графы имеют гораздо меньше. Количество максимальных независимых множеств в п-вертекс графики цикла дается Числа Перрина, а количество максимальных независимых множеств в п-вертекс графы путей дается Падованская последовательность.^[6] Следовательно, оба числа пропорциональны степени 1,324718 ..., пластиковый номер.

Поиск независимых множеств

В Информатика, несколько вычислительные проблемы связанных с независимыми множествами.

• в максимальный независимый набор проблема, вход - неориентированный граф, а выход - максимально независимое множество в графе. Если имеется несколько максимальных независимых наборов, нужно вывести только один. Эту проблему иногда называют "упаковка вершин".
• в независимый набор максимального веса задача, вход - неориентированный граф с весами на его вершинах, а выход - независимое множество с максимальным общим весом. Задача о максимальном независимом множестве - это частный случай, когда все веса равны единице.
• в листинг максимального независимого множества Задача, вход - неориентированный граф, а выход - список всех его максимальных независимых множеств. Задача о максимальном независимом множестве может быть решена с использованием в качестве подпрограммы алгоритма для задачи перечисления максимального независимого множества, поскольку максимальный независимый набор должен быть включен среди всех максимальных независимых множеств.
• в независимое комплексное решение проблема, вход - неориентированный граф и число k, а на выходе Логическое значение: true, если граф содержит независимый набор размеров k, и false в противном случае.

Первые три из этих проблем важны для практических приложений; проблема независимого множества решений не является, но необходима для применения теории NP-полнота к проблемам, связанным с независимыми множествами.

Максимальные независимые множества и максимальные клики

Проблема независимого множества и проблема клики дополняют друг друга: клика в г является независимым множеством в дополнительный граф из г и наоборот. Следовательно, многие результаты вычислений можно одинаково хорошо применить к любой проблеме. Например, результаты, относящиеся к проблеме клики, имеют следующие следствия:

• Задача решения независимого множества: НП-полный, и поэтому не считается, что существует эффективный алгоритм для ее решения.
• Задача о максимальном независимом множестве равна NP-жесткий а также трудно приблизительный.

Несмотря на тесную взаимосвязь между максимальными кликами и максимальными независимыми наборами в произвольных графах, проблемы с независимыми наборами и кликами могут сильно отличаться, когда они ограничиваются специальными классами графов. Например, для разреженные графики (графы, в которых количество ребер не более чем на константу умножается на количество вершин в любом подграфе) максимальная клика имеет ограниченный размер и может быть найдена точно за линейное время;^[7] однако для тех же классов графов или даже для более ограниченного класса графов с ограниченной степенью поиск максимального независимого множества является MAXSNP-полный, подразумевая, что для некоторой постоянной c (в зависимости от степени) это NP-жесткий найти приблизительное решение, которое находится в пределах c оптимума.^[8]

Нахождение максимальных независимых множеств

Точные алгоритмы

Задача о максимальном независимом множестве является NP-сложной. Однако ее можно решить более эффективно, чем O (п² 2^п) время, которое дал бы наивный алгоритм грубой силы который исследует каждое подмножество вершин и проверяет, является ли это независимым набором.

По состоянию на 2017 год ее можно решить за время O (1.1996^п) с использованием полиномиального пространства.^[9] Если ограничиваться графами с максимальной степенью 3, она может быть решена за время O (1.0836^п).^[10]

Для многих классов графов набор, не зависящий от максимального веса, может быть найден за полиномиальное время. Известные примеры: графы без когтей,^[11]п₅-свободные графики^[12]и идеальные графики.^[13]Для хордовые графы, максимальный независимый от веса набор может быть найден за линейное время.^[14]

Модульная декомпозиция - хороший инструмент для решения задачи о максимальном независимом множестве веса; алгоритм линейного времени на кографы является основным примером этого. Еще один важный инструмент: разделители кликов как описано Тарьяном.^[15]

Теорема Кёнига означает, что в двудольный граф максимальный независимый набор может быть найден за полиномиальное время с использованием алгоритма двудольного сопоставления.

Алгоритмы аппроксимации

В общем, задача о максимальном независимом множестве не может быть приближена к постоянному множителю за полиномиальное время (если P = NP). Фактически, Max Independent Set в целом Поли-APX-полный, что означает, что это так же сложно, как и любая проблема, которую можно аппроксимировать полиномиальным множителем.^[16] Однако существуют эффективные алгоритмы аппроксимации для ограниченных классов графов.

В планарные графы, максимальный независимый набор может быть аппроксимирован с точностью до любого отношения аппроксимации c <1 за полиномиальное время; аналогичный схемы полиномиальной аппроксимации существуют в любом семействе графов, замкнутых относительно взятия несовершеннолетние.^[17]

В графах с ограниченной степенью известны эффективные алгоритмы аппроксимации с коэффициенты аппроксимации которые постоянны для фиксированного значения максимальной степени; например, жадный алгоритм который формирует максимальное независимое множество путем выбора на каждом шаге вершины минимальной степени в графе и удаления ее соседей, достигает отношения аппроксимации (Δ + 2) / 3 на графах с максимальной степенью Δ.^[18] Оценки аппроксимационной твердости для таких случаев доказаны в Берман и Карпински (1999). В самом деле, даже Max Independent Set на 3-регулярных 3-краскорасположенных графах является APX-полный.^[19]

Независимые множества в графах пересечения интервалов

An интервальный график представляет собой граф, в котором узлы являются одномерными интервалами (например, временными интервалами), и между двумя интервалами есть ребро, если они пересекаются. Независимый набор в графе интервалов - это просто набор неперекрывающихся интервалов. Проблема поиска максимальных независимых множеств в интервальных графах изучалась, например, в контексте планирование работы: учитывая набор заданий, которые должны быть выполнены на компьютере, найдите максимальный набор заданий, которые могут быть выполнены, не мешая друг другу. Эту задачу можно решить точно за полиномиальное время, используя самый ранний крайний срок первое планирование.

Независимые множества в геометрических графах пересечений

Геометрический граф пересечений представляет собой граф, узлы которого представляют собой геометрические фигуры, и между двумя фигурами есть ребро, если они пересекаются. Независимый набор в геометрическом графе пересечений - это просто набор непересекающихся (непересекающихся) фигур. Проблема поиска максимальных независимых множеств в геометрических графах пересечений изучалась, например, в контексте Автоматическое размещение меток: для заданного набора местоположений на карте найдите максимальный набор непересекающихся прямоугольных надписей рядом с этими местоположениями.

Нахождение максимального независимого множества в графах пересечений все еще является NP-полным, но его легче аппроксимировать, чем общую задачу о максимальном независимом множестве. Недавний обзор можно найти во введении Чан и Хар-Пелед (2012).

Нахождение максимальных независимых множеств

Задача поиска максимального независимого множества может быть решена в полиномиальное время банальным жадный алгоритм.^[20] Все максимальные независимые множества могут быть найдены за время O (3^п/3) = O (1,4423^п).

Программа для поиска максимально независимого множества

Приложения

Максимально независимый набор и его дуальный, минимальное покрытие вершины проблема, участвует в доказательстве вычислительная сложность многих теоретических проблем.^[21] Они также служат полезными моделями для реальных задач оптимизации, например, минимальный независимый набор является полезной моделью для обнаружения стабильных генетические компоненты для проектирования инженерные генетические системы.^[22]

Смотрите также

• Независимый набор ребер - это набор ребер, у которых нет двух общих вершин. Обычно его называют соответствие.
• А раскраска вершин является разбиением множества вершин на независимые множества.

Заметки

использованная литература

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Максимальное независимое множество вершин». MathWorld.
• Сложные тесты для максимальной клики, максимального независимого набора, минимального покрытия вершин и раскраски вершин
• Независимый набор и вершинное покрытие, Ханан Аяд.