Перегородка набора - Partition of a set

Набор марок, разделенных на пачки: ни одной марки нет в двух пачках, ни одна пачка не пуста, и каждая марка находится в пачке.

В 52 перегородки комплекта из 5 элементов. Цветная область указывает на подмножество X, образующее член включающего раздела. Неокрашенные точки обозначают одноэлементные подмножества. Первый показанный раздел содержит пять одноэлементных подмножеств; последний раздел содержит одно подмножество из пяти элементов.

Традиционные японские символы для 54 глав Сказка о Гэндзи основаны на 52 способах разделения пяти элементов (два красных символа представляют одно и то же разделение, а зеленый символ добавляется для достижения 54).^[1]

В математика, а раздел набора это группировка его элементов в непустой подмножества, таким образом, что каждый элемент входит ровно в одно подмножество.

Каждый отношение эквивалентности на набор определяет разбиение этого множества, и каждое разбиение определяет отношение эквивалентности. Множество, снабженное отношением эквивалентности или разбиением, иногда называют сетоид, обычно в теория типов и теория доказательств.

Определение

Перегородка набора Икс это набор непустых подмножеств Икс так что каждый элемент Икс в Икс находится ровно в одном из этих подмножеств^[2] (т.е. Икс это несвязный союз подмножеств).

Эквивалентно семейство наборов п это раздел Икс тогда и только тогда, когда выполняются все следующие условия:^[3]

Семья п не содержит пустой набор (то есть ${ Displaystyle emptyset notin P}$ ).
В союз наборов в п равно Икс (то есть ${ displaystyle textstyle bigcup _ {A in P} A = X}$ ). Наборы в п говорят крышка Икс.
В пересечение любых двух различных множеств в п пусто (то есть ${ displaystyle ( forall A, B in P) ; A neq B подразумевает A cap B = emptyset}$ ). Элементы п как говорят попарно непересекающиеся.

Наборы в п называются блоки, части или же клетки раздела.^[4]

В классифицировать из п есть |Икс| − |п|, если Икс является конечный.

Примеры

Пустой набор ${ displaystyle emptyset}$ имеет ровно один раздел, а именно ${ displaystyle emptyset}$ . (Примечание: это раздел, а не член раздела.)
Для любого непустого множества Икс, п = {Икс} является разделом Икс, называется тривиальное разделение.
- В частности, каждый одноэлементный набор {Икс} имеет ровно одно разделение, а именно {{Икс} }.
Для любого непустого правильное подмножество А набора U, набор А вместе со своим дополнять сформировать раздел U, а именно {А, U \ А}.
Набор {1, 2, 3} имеет эти пять разделов (по одному разделу на элемент):
- {{1}, {2}, {3}}, иногда пишется 1 | 2 | 3.
- {{1, 2}, {3}} или 12 | 3.
- {{1, 3}, {2}} или 13 | 2.
- {{1}, {2, 3}} или 1 | 23.
- {{1, 2, 3}} или 123 (в контекстах, где не будет путаницы с числом).
Следующие элементы не являются разделами {1, 2, 3}:
- {{}, {1, 3}, {2}} не является разделом (любого набора), потому что один из его элементов является пустой набор.
- {{1, 2}, {2, 3}} не является разделом (любого набора), потому что элемент 2 содержится более чем в одном блоке.
- {{1}, {2}} не является разделом {1, 2, 3}, потому что ни один из его блоков не содержит 3; однако это раздел {1, 2}.

Разбиения и отношения эквивалентности

Для любого отношение эквивалентности на съемочной площадке Икс, набор его классы эквивалентности это раздел Икс. И наоборот, из любого раздела п из Икс, мы можем определить отношение эквивалентности на Икс установив Икс ~ у именно когда Икс и у находятся в той же части в п. Таким образом, понятия отношения эквивалентности и разбиения по существу эквивалентны.^[5]

В аксиома выбора гарантии на любое разделение набора Икс существование подмножества Икс содержащий ровно один элемент из каждой части раздела. Это означает, что для данного отношения эквивалентности на множестве можно выбрать канонический репрезентативный элемент из каждого класса эквивалентности.

Доработка перегородок

Перегородки из 4-х кит по заказу уточнение

Раздел α набора Икс это уточнение раздела ρ из Икс- и мы говорим, что α является тоньше чем ρ и это ρ является грубее чем α- если каждый элемент α является подмножеством некоторого элемента ρ. Неформально это означает, что α это дальнейшая фрагментация ρ. В таком случае написано, что α ≤ ρ.

Этот лучше, чем отношение на множестве разбиений Икс это частичный заказ (так что обозначение «≤» уместно). Каждый набор элементов имеет наименьшая верхняя граница и наибольшая нижняя граница, так что он образует решетка, а точнее (для разбиений конечного множества) это геометрическая решетка.^[6] В решетка перегородок комплекта из 4 элементов состоит из 15 элементов и изображен на Диаграмма Хассе слева.

На основе криптоморфизм между геометрическими решетками и матроиды, эта решетка разбиений конечного множества соответствует матроиду, в котором базовое множество матроида состоит из атомы решетки, а именно перегородки с ${ displaystyle n-2}$ одноэлементные наборы и один двухэлементный набор. Эти атомарные перегородки взаимно однозначно соответствуют ребрам полный график. В закрытие матроида набора атомарных перегородок - лучшее общее огрубление их всех; в терминах теории графов, это разбиение вершины полного графика в связанные компоненты подграфа, образованного заданным набором ребер. Таким образом, решетка перегородок соответствует решетке квартир графический матроид полного графа.

Другой пример иллюстрирует уточнение разделов с точки зрения отношений эквивалентности. Если D набор карт в стандартной колоде из 52 карт, такой же цвет, как отношение на D - который можно обозначить ~_C - имеет два класса эквивалентности: наборы {красные карточки} и {черные карточки}. Двухчастный раздел, соответствующий ~_C имеет уточнение, которое дает такой же костюм, как отношение ~_S, который имеет четыре класса эквивалентности {пики}, {бубны}, {червы} и {трефы}.

Непересекающиеся перегородки

Разбиение множества N = {1, 2, ..., п} с соответствующим отношением эквивалентности ~ есть непересекающийся если он имеет следующее свойство: Если четыре элемента а, б, c и d из N имея а < б < c < d удовлетворить а ~ c и б ~ d, тогда а ~ б ~ c ~ d. Название происходит от следующего эквивалентного определения: представьте себе элементы 1, 2, ..., п из N нарисованный как п вершины регулярного п-угольник (в порядке против часовой стрелки). Затем можно визуализировать раздел, нарисовав каждый блок в виде многоугольника (вершины которого являются элементами блока). Таким образом, разбиение не пересекается тогда и только тогда, когда эти многоугольники не пересекаются.

Решетка непересекающихся разбиений конечного множества в последнее время приобрела большое значение из-за ее роли в свободная вероятность теория. Они образуют подмножество решетки всех разбиений, но не подрешетку, поскольку операции соединения двух решеток не совпадают.

Подсчет разделов

Общее количество разделов п-элементный набор Номер звонка B_п. Первые несколько номеров Белла B₀ = 1,B₁ = 1, B₂ = 2, B₃ = 5, B₄ = 15, B₅ = 52 и B₆ = 203 (последовательность A000110 в OEIS ). Числа Белла удовлетворяют рекурсия

{ displaystyle B_ {n + 1} = sum _ {k = 0} ^ {n} {n select k} B_ {k}}

и иметь экспоненциальная производящая функция

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {B_ {n}} {n!}} z ^ {n} = e ^ {e ^ {z} -1}.}

Строительство Белл-треугольник

Числа Белла также могут быть вычислены с использованием Треугольник колокола в котором первое значение в каждой строке копируется из конца предыдущей строки, а последующие значения вычисляются путем сложения двух чисел: числа слева и числа слева вверху от позиции. Числа Белла повторяются по обеим сторонам этого треугольника. Числа в треугольнике подсчитывают разделы, в которых данный элемент является наибольшим. одиночка.

Количество разделов п-элемент установлен точно в k непустые части - это Число Стирлинга второго рода S(п, k).

Количество непересекающихся перегородок п-элементный набор Каталонский номер C_п, данный

{ displaystyle C_ {n} = {1 over n + 1} {2n choose n}.}

Смотрите также

Примечания

^ Кнут, Дональд Э. (2013), «Две тысячи лет комбинаторики», Уилсон, Робин; Уоткинс, Джон Дж. (Ред.), Комбинаторика: древнее и современное, Oxford University Press, стр. 7–37.CS1 maint: ref = harv (связь)
^ Халмос, Пол (1960). Наивная теория множеств Р. Springer. п. 28. ISBN 9780387900926.
^ Лукас, Джон Ф. (1990). Введение в абстрактную математику. Роуман и Литтлфилд. п. 187. ISBN 9780912675732.
^ Бруальди 2004 С. 44–45.
^ Schechter 1997, п. 54.
^ Биркофф, Гарретт (1995), Теория решеток, Публикации коллоквиума, 25 (3-е изд.), Американское математическое общество, стр. 95, ISBN 9780821810255.