Транспонируемое целое число - Transposable integer

Цифры некоторых конкретных целых чисел переставлять или же сдвиг циклически, когда они умножаются на число п. Примеры:

• 142857 × 3 = 428571 (циклический сдвиг на одно место влево)
• 142857 × 5 = 714285 (циклический сдвиг на одно место вправо)
• 128205 × 4 = 512820 (циклический сдвиг на одну позицию вправо)
• 076923 × 9 = 692307 (циклический сдвиг на два места влево)

Эти конкретные целые числа, известные как транспонируемые целые числа, может быть, но не всегда циклические числа. Характеристику таких чисел можно выполнить с помощью повторяющиеся десятичные дроби (и, следовательно, связанные дроби), или напрямую.

Общий

Для любого целого числа, взаимно простого с 10, его обратным значением является повторяющееся десятичное число без каких-либо неповторяющихся цифр. Например. Взаимодействие с другими людьми¹⁄₁₄₃ = 0.006993006993006993...

В то время как выражение одной серии с винкулум сверху является адекватным, цель приведенного выше выражения - показать, что шесть циклические перестановки 006993 можно получить из этого повторяющегося десятичного числа, если мы выберем шесть последовательных цифр из повторяющегося десятичного разделителя, начиная с разных цифр.

Это показывает, что циклические перестановки каким-то образом связаны с повторяющимися десятичными знаками и соответствующими дробями.

В наибольший общий делитель (gcd) между любой циклической перестановкой м-значное целое число и 10^м - 1 постоянно. Выражаясь формулой,

${ displaystyle gcd left (N, 10 ^ {m} -1 right) = gcd left (N_ {c}, 10 ^ {m} -1 right),}$

куда N является м-разрядное целое число; и N_c любая циклическая перестановка N.

Например,

   gcd (091575, 999999) = gcd (32×52×11×37, 33× 7 × 11 × 13 × 37) = 3663 = gcd (915750, 999999) = gcd (157509, 999999) = gcd (575091, 999999) = gcd (750915, 999999) = gcd (509157, 999999)

Если N является м-значное целое число, число N_c, полученный сдвигом N влево циклически, можно получить из:

${ Displaystyle N_ {c} = 10N-d left (10 ^ {m} -1 right), ,}$

куда d это первая цифра N и м это количество цифр.

Это объясняет вышеупомянутый общий gcd, и это явление справедливо для любого основание если 10 заменить на б, база.

Таким образом, циклические перестановки связаны с повторяющимися десятичными знаками, соответствующими дробями и делителями 10^м−1. Например, дроби, связанные с вышеуказанными циклическими перестановками, таковы:

• ​⁰⁹¹⁵⁷⁵⁄₉₉₉₉₉₉, ​⁹¹⁵⁷⁵⁰⁄₉₉₉₉₉₉, ​¹⁵⁷⁵⁰⁹⁄₉₉₉₉₉₉, ​⁵⁷⁵⁰⁹¹⁄₉₉₉₉₉₉, ​⁷⁵⁰⁹¹⁵⁄₉₉₉₉₉₉, и⁵⁰⁹¹⁵⁷⁄₉₉₉₉₉₉.

Уменьшенные до самых низких значений с использованием общего gcd, они:

• ​²⁵⁄₂₇₃, ​²⁵⁰⁄₂₇₃, ​⁴³⁄₂₇₃, ​¹⁵⁷⁄₂₇₃, ​²⁰⁵⁄₂₇₃, и¹³⁹⁄₂₇₃.

То есть эти дроби при выражении в самые низкие сроки, имеют тот же знаменатель. Это верно для циклических перестановок любого целого числа.

Метод фракции

Интегральный множитель

Интегральный множитель относится к множителю п целое число:

1. Целое число Икс сдвиг верно циклически k позиции при умножении на целое число п. Икс тогда повторяющиеся цифры¹⁄_F, Посредством чего F является F₀ = п 10^k − 1 (F₀ является совмещать до 10), или коэффициент F₀; исключая любые значения F которые не более чем п.
2. Целое число Икс сдвиг оставили циклически k позиции при умножении на целое число п. Икс тогда повторяющиеся цифры¹⁄_F, Посредством чего F является F₀ = 10^k - п, или фактор F₀; исключая любые значения F которые не более чем п и которые не совмещать до 10.

Необходимо, чтобы F было взаимно просто с 10, чтобы¹⁄_F - повторяющееся десятичное число без предшествующих неповторяющихся цифр (см. несколько разделов Повторяющаяся десятичная дробь ). Если цифры не в точке, то соответствующего решения нет.

Для этих двух случаев кратные Икс, т.е. (j X) также являются решениями при условии, что целое число я удовлетворяет условию^{n j}⁄_F <1. Чаще всего удобно выбирать самые маленькие F что соответствует вышесказанному. Решения можно выразить формулой:

${ displaystyle X = j { frac {10 ^ {p} -1} {F}}}$

куда п длина периода¹⁄_F; и F фактор F₀ взаимно проста с 10.

Например, F₀ = 1260 = 2² × 3² × 5 × 7. Множители, исключая 2 и 5, перестраиваются в F = 3² × 7 = 63. Или удалите все конечные нули от 1260 до 126, затем делите его на 2 (или 5) итеративно, пока частное не перестанет делиться на 2 (или 5). Результат также F = 63.

Чтобы исключить из решений целые числа, начинающиеся с нулей, выберите целое число j такой, что^j⁄_F > ​¹⁄₁₀, т.е. j > ​^F⁄₁₀.

Нет решения, когда п > F.

Дробный множитель

Целое число Икс сдвиг оставили циклически k позиции при умножении на часть^п⁄_s. Икс тогда повторяющиеся цифры^s⁄_F, Посредством чего F является F₀ = s 10^k - п, или фактор F₀; и F должен быть взаимно прост с 10.

В этом третьем случае кратные Икс, т.е. (j X) снова являются решениями, но условие, которое должно выполняться для целых j это что^{n j}⁄_F <1. Опять же удобно выбирать наименьшее F что соответствует вышесказанному.

Решения можно выразить формулой:

${ displaystyle X = js { frac {10 ^ {p} -1} {F}}}$

куда п определяется аналогично; и F сделана взаимно простой с 10 тем же способом, что и раньше.

Чтобы исключить из решений целые числа, начинающиеся с нулей, выберите целое число j такой, что^{j s}⁄_F > ​¹⁄₁₀, т.е. j > ​^F⁄_10s.

Опять же, если^{j s}⁄_F > 1, решения нет.

Прямое представительство

Подход прямой алгебры к приведенным выше случаям интегрального множителя приводит к следующей формуле:

1. ${ displaystyle X = D { frac {10 ^ {m} -1} {n10 ^ {k} -1}},}$

   куда м это количество цифр Икс, и D, то k-значный номер сдвинут с нижнего конца Икс к высокому уровню п Икс, удовлетворяет D < 10^k.

   Если числа не должны иметь ведущих нулей, то п 10^k − 1 ≤ D.

2. ${ displaystyle X = D { frac {10 ^ {m} -1} {10 ^ {k} -n}},}$

   куда м это количество цифр Икс, и D, то k-значное число сдвинуто с верхнего предела Икс к нижнему пределу п Икс, удовлетворяет:

   1. ${ displaystyle D <{ frac {10 ^ {k}} {n}} - 1,}$
   2. и 10-частный (произведение членов, соответствующих простым числам 2 и 5 числа факторизация ) из 10^k − п разделяет D.

      Десятичная часть целого числа т часто сокращается ${ displaystyle operatorname {gcd} left (10 ^ { infty}, t right).}$

   Если в числах не должно быть ведущих нулей, то 10^k − 1 ≤ D.

Циклическая перестановка умножением

Деление 1 на 7 в столбик дает:

        0.142857...    7 ) 1.000000         .7          3          28           2           14            6            56             4             35              5              49               1

На последнем шаге снова появляется 1 как остаток. Циклические остатки равны {1, 3, 2, 6, 4, 5}. Мы перепишем частные с соответствующими дивидендами / остатками над ними на всех этапах:

    Дивиденды / остатки 1 3 2 6 4 5 Коэффициенты 1 4 2 8 5 7

а также обратите внимание, что:

• ​¹⁄₇ = 0.142857...
• ​³⁄₇ = 0.428571...
• ​²⁄₇ = 0.285714...
• ​⁶⁄₇ = 0.857142...
• ​⁴⁄₇ = 0.571428...
• ​⁵⁄₇ = 0.714285...

Наблюдая за остатками на каждом этапе, мы можем таким образом выполнить желаемое циклическая перестановка умножением. Например.,

• Целое число 142857, соответствующее остатку 1, переставляется в 428571 при умножении на 3, соответствующий остаток от последнего.
• Целое число 142857, соответствующее остатку 1, переставляется в 857142 при умножении на 6, соответствующий остаток от последнего.
• Целое число 857142, соответствующее остатку 6, переставляется в 571428 при умножении на⁵⁄₆; т.е. делится на 6 и умножается на 5, получается соответствующий остаток от последнего.

Таким образом может быть выполнен циклический сдвиг влево или вправо на любое количество позиций.

Что менее важно, этот метод можно применить к любому целому числу, чтобы переключаться циклически вправо или влево на любое заданное количество мест по следующей причине:

• Каждую повторяющуюся десятичную дробь можно выразить как рациональное число (дробь).
• Каждое целое число, если оно добавлено с десятичной точкой впереди и соединено с собой бесконечное количество раз, может быть преобразовано в дробь, например мы можем преобразовать 123456 таким образом в 0,123456123456 ..., что, таким образом, может быть преобразовано в дробь¹²³⁴⁵⁶⁄₉₉₉₉₉₉. Эту дробь можно еще больше упростить, но здесь этого делать не будем.
• Чтобы переставить целое число 123456 в 234561, все, что нужно сделать, это умножить 123456 на²³⁴⁵⁶¹⁄₁₂₃₄₅₆. Это похоже на обман, но если²³⁴⁵⁶¹⁄₁₂₃₄₅₆ целое число (в данном случае его нет), миссия выполнена.

Доказательство формулы для циклического переключения вправо

Целое число Икс циклически сдвигаться вправо на k позиции при умножении на целое число п. Докажите его формулу.

Доказательство

Сначала признайте, что Икс это повторяющиеся цифры повторяющаяся десятичная дробь, который всегда имеет циклическое поведение при умножении. Целое число Икс и его многочисленные п X тогда будут следующие отношения:

1. Целое число Икс это повторяющиеся цифры дроби¹⁄_F, сказать d_пd_п-1... г₃d₂d₁, куда d_п, d_п-1, ..., d₃, d₂ и d₁ каждый представляет собой цифру и п это количество цифр.
2. Несколько п X таким образом, повторяющиеся цифры дроби^п⁄_F, сказать d_kd_к-1... г₃d₂d₁d_пd_п-1... г_{к + 2}d_{к + 1}, представляющий результаты после правого циклического сдвига k позиции.
3. F должен быть взаимно прост с 10, так что когда¹⁄_F выражается в десятичном виде, нет предшествующих неповторяющихся цифр, в противном случае повторяющееся десятичное число не имеет циклического поведения при умножении.
4. Если принять первый остаток п тогда 1 будет (k + 1) -й остаток в длинном делении для^п⁄_F для того, чтобы эта циклическая перестановка имела место.
5. Для того, чтобы п × 10^k = 1 (мод F) тогда F должен быть либо F₀ = (п × 10^k - 1), или коэффициент F₀; но без учета значений не более п и любое значение, имеющее нетривиальный общий множитель с 10, как показано выше.

Это завершает доказательство.

Доказательство формулы для циклической работы левой смены

Целое число Икс сдвигать циклически влево на k позиции при умножении на целое число п. Докажите его формулу.

Доказательство

Сначала признайте, что Икс это повторяющиеся цифры повторяющаяся десятичная дробь, который всегда имеет циклическое поведение при умножении. Целое число Икс и его многочисленные п X тогда будут следующие отношения:

1. Целое число Икс это повторяющиеся цифры дроби¹⁄_F, сказать d_пd_п-1... г₃d₂d₁ .
2. Несколько п X таким образом, повторяющиеся цифры дроби^п⁄_F, сказать d_п-кd_п-к-1... г₃d₂d₁d_пd_п-1... г_{п-к + 1},

который представляет результаты после левого циклического сдвига k позиции.

1. F должен быть взаимно прост с 10, чтобы¹⁄_F не имеет предшествующих неповторяющихся цифр, в противном случае повторяющееся десятичное число не имеет циклического поведения при умножении.
2. Если первый остаток принять равным 1, то п будет (k + 1) -й остаток в длинном делении для¹⁄_F для того, чтобы эта циклическая перестановка имела место.
3. Для того, чтобы 1 × 10^k = п (Режим F) тогда F должен быть либо F₀ = (10^k -п), или фактор F₀; но без учета стоимости не более п, и любое значение, имеющее нетривиальный общий множитель с 10, как показано выше.

Это завершает доказательство. Доказательство для нецелого множителя, такого как^п⁄_s может быть получен аналогичным образом и здесь не документирован.

Циклический сдвиг целого числа

Перестановки могут быть:

• Циклическое переключение вправо на одну позицию (паразитарные числа );
• Циклическое переключение вправо на двойное положение;
• Циклическое переключение вправо на любое количество позиций;
• Циклическое переключение влево на одну позицию;
• Циклическое переключение влево на двойное положение; и
• Циклическое переключение влево на любое количество позиций

Паразитарные числа

Когда паразитное число умножается на n, оно не только демонстрирует циклическое поведение, но и перестановка такова, что последняя цифра паразитного числа теперь становится первой цифрой кратного. Например, 102564 x 4 = 410256. Обратите внимание, что 102564 - это повторяющиеся цифры⁴⁄₃₉ и 410256 повторяющиеся цифры¹⁶⁄₃₉.

Циклическое переключение вправо на двойное положение

Целое число Икс циклический сдвиг вправо на двойные позиции при умножении на целое число п. Икс тогда повторяющиеся цифры¹⁄_F, Посредством чего F = п × 10² - 1; или его фактор; но исключая значения, для которых¹⁄_F имеет длину периода, равную 2 (или, что то же самое, меньше 3); и F должен быть взаимно прост с 10.

Чаще всего удобно выбирать самые маленькие F что соответствует вышесказанному.

Резюме результатов

Следующее умножение перемещает последние две цифры каждого исходного целого числа в первые две цифры и сдвигает все остальные цифры вправо:

Обратите внимание, что:

• 299 = 13 x 23, а период¹⁄₂₉₉ точно определяется по формуле, НОК (6, 22) = 66, согласно Повторяющаяся десятичная дробь # Обобщение.
• 399 = 3 х 7 х 19, а период¹⁄₃₉₉ точно определяется по формуле, НОК (1, 6, 18) = 18.

Есть много других возможностей.

Циклическое переключение влево на одну позицию

Проблема: целое число Икс циклический сдвиг влево на одну позицию при умножении на 3. Найти Икс.

Решение: сначала осознайте, что Икс это повторяющиеся цифры повторяющаяся десятичная дробь, который всегда проявляет интересное циклическое поведение при умножении. Икс и его кратное значение будет иметь следующие отношения:

• Целое число Икс это повторяющиеся цифры дроби¹⁄_F, сказать ab ***.
• Таким образом, кратное - это повторяющиеся цифры дроби³⁄_F, сказать сука.
• Для того чтобы эта циклическая перестановка имела место, 3 должно быть следующим остатком в длинном делении для¹⁄_F. Таким образом F должно быть 7, поскольку 1 × 10 ÷ 7 дает остаток 3.

Это дает следующие результаты:

Икс = повторяющиеся цифры¹⁄₇

= 142857, и

кратное = 142857 × 3 = 428571, повторяющиеся цифры³⁄₇

Другое решение представлено²⁄₇ х 3 =⁶⁄₇:

• 285714 х 3 = 857142

Других решений нет ^[1] потому что:

• Целое число п должен быть последующим остатком в длинном делении дроби¹⁄_F. Учитывая, что n = 10 - F, и F взаимно просто с 10, чтобы¹⁄_F быть повторяющимся десятичным числом, тогда п должно быть меньше 10.
• За п = 2, F должно быть 10 - 2 = 8. Однако¹⁄₈ не генерирует повторяющуюся десятичную дробь, аналогично для п = 5.
• За п = 7, F должно быть 10 - 7 = 3. Однако 7> 3 и⁷⁄₃ = 2.333> 1 и не соответствует цели.
• Точно так же нет решения для любого другого целого числа п менее 10, кроме п = 3.

Однако, если множитель не ограничен целым числом (хотя и уродливым), есть много других решений из этого метода. Например, если целое число Икс сдвиг вправо циклически на одну позицию при умножении на³⁄₂, то 3 будет следующим остатком после 2 в длинном делении дроби²⁄_F. Отсюда следует, что F = 2 x 10 - 3 = 17, что дает Икс как повторяющиеся цифры²⁄₁₇, то есть 1176470588235294, а его кратное - 1764705882352941.

Ниже приведены некоторые результаты, полученные таким образом:

Циклическое переключение влево на двойное положение

Целое число Икс циклический сдвиг влево на двойные позиции при умножении на целое число п. Икс тогда повторяющиеся цифры¹⁄_F, Посредством чего F является р = 10² - n, или коэффициент р; за исключением стоимости F для чего¹⁄_F имеет длину периода, равную 2 (или, что то же самое, меньше 3); и F должен быть взаимно прост с 10.

Чаще всего удобно выбирать самые маленькие F что соответствует вышесказанному.

Резюме результатов

Ниже приведены некоторые результаты, полученные таким образом, где пробелы между цифрами делят цифры на группы из 10 цифр:

Другие базы

В двенадцатеричный В системе транспонируемые целые числа: (используя перевернутые два и три для десяти и одиннадцати, соответственно)

Обратите внимание, что задача «Циклический сдвиг влево на одну позицию» не имеет решения для множителя меньше 12, кроме 2 и 5, та же проблема в десятичной системе не имеет решения для множителя меньше 10, кроме 3.

Примечания

Рекомендации

• П. Ю, k-транспонируемые вправо целые числа, k-транспонируемые влево целые числа Глава 18.1, 18.2 стр. 168/360 в «Рекреационной математике», https://web.archive.org/web/20090901180500/http://math.fau.edu/Yiu/RecreationalMat Mathematics2003.pdf
• К. А. Пиковер, Чудеса чисел, Глава 28, Oxford University Press Великобритания, 2000 г.
• Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A092697 (для 1 <= n <= 9, a (n) = наименьшее число m такое, что произведение n * m получается просто путем сдвига крайней правой цифры m в левый конец)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
• Гарднер, Мартин. Математический цирк: больше головоломок, игр, парадоксов и других математических развлечений от журнала Scientific American. Нью-Йорк: Математическая ассоциация Америки, 1979. С. 111–122.
• Кальман, Дэн; «Дроби с циклическими схемами цифр» The College Mathematics Journal, Vol. 27, No. 2. (март 1996 г.), стр. 109–115.
• Лесли, Джон. «Философия арифметики: демонстрация прогрессивного взгляда на теорию и практику ...», Лонгман, Херст, Рис, Орм и Браун, 1820 г., ISBN  1-4020-1546-1
• Уэллс, Дэвид; "Словарь любопытных и интересных чисел Penguin ", Penguin Press. ISBN  0-14-008029-5