Треугольное число в квадрате - Squared triangular number

Квадрат, длина стороны которого равна треугольному числу, можно разделить на квадраты и полуквадраты, площади которых складываются с кубиками. Из Галлей (2010).

В теория чисел, сумма первых п кубики это квадрат из пth треугольное число. То есть,

${displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + cdots + n ^ {3} = left (1 + 2 + 3 + cdots + night) ^ {2}.}.}$

То же уравнение можно записать более компактно, используя математические обозначения для суммирование:

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {3} = {igg (} sum _ {k = 1} ^ {n} k {igg)} ^ {2}.}.}$

Этот личность иногда называют Теорема Никомаха, после Никомах из Герасы (ок. 60 - ок. 120 г. н. э.).

История

Никомах в конце 20-й главы своего Введение в арифметику, указал, что если написать список нечетных чисел, первое будет кубом 1, сумма следующих двух будет кубом 2, сумма следующих трех будет кубом 3, и так далее. Он не идет дальше этого, но из этого следует, что сумма первых п кубиков равняется сумме первых ${displaystyle n (n + 1) / 2}$ нечетные числа, то есть нечетные числа от 1 до ${displaystyle n (n + 1) -1}$. Среднее значение этих чисел очевидно ${displaystyle n (n + 1) / 2}$, и здесь ${displaystyle n (n + 1) / 2}$ из них, поэтому их сумма ${displaystyle [n (n + 1) / 2] ^ {2}.}$

Многие ранние математики изучили и предоставили доказательства теоремы Никомаха. Строекер (1995) утверждает, что «каждый, кто изучает теорию чисел, наверняка восхищался этим чудесным фактом». Пенгелли (2002) находит упоминания о личности не только в произведениях Никомах в том, что сейчас Иордания в первом веке нашей эры, но также и в Арьябхата в Индия в пятом веке, а в Аль-Караджи около 1000 дюймов Персия. Брессуд (2004) упоминает несколько дополнительных ранних математических работ по этой формуле: Аль-Кабиси (Аравия десятого века), Герсонид (около 1300 г., Франция), и Нилаканта Сомаяджи (около 1500 Индия); он воспроизводит визуальное доказательство Нилакантхи.

Числовые значения; геометрическая и вероятностная интерпретация

Последовательность квадратов треугольных чисел

0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, ... (последовательность A000537 в OEIS ).

Эти числа можно рассматривать как фигуральные числа, четырехмерное гиперпирамидальное обобщение треугольные числа и квадратные пирамидальные числа.

В качестве Штейн (1971) отмечает, что эти числа также подсчитывают количество прямоугольников с горизонтальными и вертикальными сторонами, образованных в п × п сетка. Например, точки 4 × 4 сетка (или квадрат, состоящий из трех меньших квадратов на одной стороне) может образовывать 36 различных прямоугольников. Количество квадратов в квадратной сетке аналогично подсчитывается квадратными пирамидальными числами.

Тождество также допускает естественную вероятностную интерпретацию следующим образом. Позволять Икс, Y, Z, W быть четырьмя целыми числами, независимо и равномерно выбранными случайным образом между 1 и п. Тогда вероятность того, что W быть наибольшим из четырех чисел равна вероятности того, что оба Y по крайней мере такой же большой, как Икс и W по крайней мере такой же большой, как Z, то есть, п({Максимум(Икс,Y,Z) ≤ W}) = п({Икс ≤ Y} ∩ {Z ≤ W}). Эти вероятности представляют собой соответственно левую и правую части тождества Нихомака, нормализованные для получения вероятностей путем деления обеих сторон нап⁴.

Доказательства

Чарльз Уитстон  (1854 ) дает особенно простой вывод, расширяя каждый куб в сумме до набора последовательных нечетных чисел. Он начинает с предоставления личности

${displaystyle n ^ {3} = underbrace {left (n ^ {2} -n + 1ight) + left (n ^ {2} -n + 1 + 2ight) + left (n ^ {2} -n + 1 + 4ight) + cdots + left (n ^ {2} + n-1ight)} _ {n {ext {последовательные нечетные числа}}}.}$

Эта личность связана с треугольные числа ${displaystyle T_ {n}}$ следующим образом:

${displaystyle n ^ {3} = sum _ {k = T_ {n-1} +1} ^ {T_ {n}} (2k-1),}$

и, таким образом, слагаемые, образующие ${displaystyle n ^ {3}}$ начинаются сразу после тех, которые формируют все предыдущие значения ${displaystyle 1 ^ {3}}$ вплоть до ${displaystyle (n-1) ^ {3}}$.Применение этого свойства вместе с другим хорошо известным идентификатором:

${displaystyle n ^ {2} = sum _ {k = 1} ^ {n} (2k-1),}$

получаем следующий вывод:

${displaystyle {egin {align} sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {3} & = 1 + 8 + 27 + 64 + cdots + n ^ {3} & = underbrace {1} _ {1 ^ {3}} + подкладка {3 + 5} _ {2 ^ {3}} + подкладка {7 + 9 + 11} _ {3 ^ {3}} + подкладка {13 + 15 + 17 + 19} _ { 4 ^ {3}} + cdots + underbrace {left (n ^ {2} -n + 1ight) + cdots + left (n ^ {2} + n-1ight)} _ {n ^ {3}} & = underbrace {underbrace {underbrace {underbrace {1} _ {1 ^ {2}} + 3} _ {2 ^ {2}} + 5} _ {3 ^ {2}} + cdots + left (n ^ {2}) + n-1ight)} _ {left ({frac {n ^ {2} + n} {2}} ight) ^ {2}} & = (1 + 2 + cdots + n) ^ {2} & = {igg (} сумма _ {k = 1} ^ {n} k {igg)} ^ {2} .end {выровнено}}}$

Ряд (1893) получает другое доказательство, суммируя числа в квадрате Таблица умножения двумя разными способами. Сумма ${displaystyle i}$-я строка ${displaystyle i}$ умноженное на треугольное число, из чего следует, что сумма всех строк равна квадрату треугольного числа. Как вариант, можно разложить таблицу на последовательность вложенных гномоны, каждый из которых состоит из продуктов, в которых большее из двух членов является фиксированным значением. Сумма внутри каждого gmonon - это куб, поэтому сумма всей таблицы - это сумма кубов.

Наглядная демонстрация того, что квадрат треугольного числа равен сумме кубиков.

В более поздней математической литературе Эдмондс (1957) обеспечивает доказательство использования суммирование по частям. Штейн (1971) использует интерпретацию этих чисел с подсчетом прямоугольников, чтобы сформировать геометрическое доказательство тождества (см. также Бенджамин, Куинн и Вурц 2006 ); он замечает, что это также можно легко (но малоинформативно) доказать по индукции, и утверждает, что Теплиц (1963) дает «интересное старинное арабское доказательство». Каним (2004) обеспечивает чисто визуальное доказательство, Бенджамин и Оррисон (2002) предоставить два дополнительных доказательства, и Нельсен (1993) дает семь геометрических доказательств.

Обобщения

Результат, аналогичный теореме Никомаха, верен для всех суммы мощности, а именно, что суммы нечетных степеней (суммы нечетных степеней) являются многочленами от треугольных чисел. Полиномы Фаульхабера, из которых сумма кубов является самым простым и элегантным примером. Однако ни в каком другом случае одна степень не суммирует квадрат другой (Эдмондс 1957 ).

Строекер (1995) изучает более общие условия, при которых сумма последовательной последовательности кубов образует квадрат. Гаррет и Хаммел (2004) и Варнаар (2004) изучать полиномиальные аналоги формулы квадратно-треугольного числа, в которой ряды многочленов добавляют к квадрату другого многочлена.

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Никомаха». MathWorld.
• Наглядное доказательство теоремы Никомаха