Суммирование по частям - Summation by parts

В математика, суммирование по частям преобразует суммирование продуктов последовательности в другие суммирования, часто упрощающие вычисление или (особенно) оценку определенных типов сумм. Формулу суммирования по частям иногда называют Авеля лемма или же Преобразование Авеля.

Заявление

Предполагать ${ Displaystyle {е_ {к} }}$ и ${ displaystyle {g_ {k} }}$ два последовательности. Потом,

{ displaystyle sum _ {k = m} ^ {n} f_ {k} (g_ {k + 1} -g_ {k}) = left (f_ {n} g_ {n + 1} -f_ {m } g_ {m} right) - sum _ {k = m + 1} ^ {n} g_ {k} (f_ {k} -f_ {k-1}).}

С использованием оператор прямой разницы ${ displaystyle Delta}$ , более кратко его можно сформулировать как

{ displaystyle sum _ {k = m} ^ {n} f_ {k} Delta g_ {k} = left (f_ {n} g_ {n + 1} -f_ {m} g_ {m} right) ) - sum _ {k = m} ^ {n-1} g_ {k + 1} Delta f_ {k},}

Суммирование по частям - аналог интеграция по частям:

{ Displaystyle int е , dg = fg- int g , df,}

или чтобы Формула суммирования Абеля:

{ displaystyle sum _ {k = m + 1} ^ {n} f (k) (g_ {k} -g_ {k-1}) = left (f (n) g_ {n} -f (m ) g_ {m} right) - int _ {m} ^ {n} g _ { lfloor t rfloor} f '(t) dt.}

Альтернативное заявление

{ displaystyle f_ {n} g_ {n} -f_ {m} g_ {m} = sum _ {k = m} ^ {n-1} f_ {k} Delta g_ {k} + sum _ { k = m} ^ {n-1} g_ {k} Delta f_ {k} + sum _ {k = m} ^ {n-1} Delta f_ {k} Delta g_ {k}}

что аналогично формула интегрирования по частям для семимартингалов.

Хотя приложения почти всегда имеют дело с сходимостью последовательностей, это утверждение является чисто алгебраическим и будет работать в любом поле. Это также будет работать, когда одна последовательность находится в векторное пространство, а другой находится в соответствующем поле скаляров.

Серия Ньютон

Формула иногда приводится в одной из этих - немного отличающихся - форм.

{ displaystyle { begin {align} sum _ {k = 0} ^ {n} f_ {k} g_ {k} & = f_ {0} sum _ {k = 0} ^ {n} g_ {k } + sum _ {j = 0} ^ {n-1} (f_ {j + 1} -f_ {j}) sum _ {k = j + 1} ^ {n} g_ {k} & = f_ {n} sum _ {k = 0} ^ {n} g_ {k} - sum _ {j = 0} ^ {n-1} left (f_ {j + 1} -f_ {j} right) sum _ {k = 0} ^ {j} g_ {k}, end {align}}}

которые представляют собой частный случай ( ${ displaystyle M = 1}$ ) более общего правила

{ displaystyle { begin {align} sum _ {k = 0} ^ {n} f_ {k} g_ {k} & = sum _ {i = 0} ^ {M-1} f_ {0} ^ {(i)} G_ {i} ^ {(i + 1)} + sum _ {j = 0} ^ {nM} f_ {j} ^ {(M)} G_ {j + M} ^ {(M )} = & = sum _ {i = 0} ^ {M-1} left (-1 right) ^ {i} f_ {ni} ^ {(i)} { tilde {G}} _ {ni} ^ {(i + 1)} + left (-1 right) ^ {M} sum _ {j = 0} ^ {nM} f_ {j} ^ {(M)} { tilde {G}} _ {j} ^ {(M)}; end {align}}}

оба являются результатом повторного применения исходной формулы. Вспомогательные величины: Серия Ньютон:

{ displaystyle f_ {j} ^ {(M)}: = sum _ {k = 0} ^ {M} left (-1 right) ^ {Mk} {M choose k} f_ {j + k }}

и

{ Displaystyle G_ {j} ^ {(M)}: = sum _ {k = j} ^ {n} {k-j + M-1 select M-1} g_ {k},}

{ displaystyle { tilde {G}} _ {j} ^ {(M)}: = sum _ {k = 0} ^ {j} {j-k + M-1 select M-1} g_ { k}.}

Конкретный ( ${ Displaystyle М = п + 1}$ ) результат тождество

{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} f_ {k} g_ {k} = sum _ {i = 0} ^ {n} f_ {0} ^ {(i)} G_ {i} ^ {(i + 1)} = sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} f_ {ni} ^ {(i)} { tilde {G}} _ {ni} ^ {(i + 1)}.}

Здесь, ${ displaystyle {n select k}}$ это биномиальный коэффициент.

Метод

Для двух заданных последовательностей ${ Displaystyle (а_ {п})}$ и ${ displaystyle (b_ {n})}$ , с ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$ , хочется изучить сумму следующего ряда:
${ displaystyle S_ {N} = sum _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} b_ {n}}$

Если мы определим ${ displaystyle B_ {n} = sum _ {k = 0} ^ {n} b_ {k},}$ затем для каждого ${ displaystyle n> 0,}$ ${ displaystyle b_ {n} = B_ {n} -B_ {n-1}}$ и

{ displaystyle S_ {N} = a_ {0} b_ {0} + sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} (B_ {n} -B_ {n-1}),}

{ displaystyle S_ {N} = a_ {0} b_ {0} -a_ {0} B_ {0} + a_ {N} B_ {N} + sum _ {n = 0} ^ {N-1} B_ {n} (a_ {n} -a_ {n + 1}).}

Ну наконец то ${ displaystyle S_ {N} = a_ {N} B_ {N} - sum _ {n = 0} ^ {N-1} B_ {n} (a_ {n + 1} -a_ {n}).}$

Этот процесс, называемый преобразованием Абеля, может использоваться для доказательства нескольких критериев сходимости для ${ displaystyle S_ {N}}$ .

Сходство с интегрированием по частям

Формула интегрирования по частям: ${ Displaystyle int _ {a} ^ {b} е (х) g '(x) , dx = left [f (x) g (x) right] _ {a} ^ {b} - int _ {a} ^ {b} f '(x) g (x) , dx}$
За граничные условия, заметим, что первый интеграл содержит две умноженные функции, одна из которых интегрируется в окончательный интеграл ( ${ displaystyle g '}$ становится ${ displaystyle g}$ ) и дифференцированный ( ${ displaystyle f}$ становится ${ displaystyle f '}$ ).

Процесс Преобразование Авеля аналогично, поскольку одна из двух исходных последовательностей суммируется ( ${ displaystyle b_ {n}}$ становится ${ displaystyle B_ {n}}$ ), а другой отличается ( ${ displaystyle a_ {n}}$ становится ${ displaystyle a_ {n + 1} -a_ {n}}$ ).

Приложения

Используется для доказательства Лемма Кронекера, что, в свою очередь, используется для доказательства версии сильного закон больших чисел под отклонение ограничения.
Это может быть использовано для доказательства Теорема Никомаха что сумма первых ${ displaystyle n}$ кубиков равняется квадрату суммы первых ${ Displaystyle п ^ {2}}$ положительные целые числа.^[1]
Суммирование по частям часто используется для доказательства Теорема Абеля и Тест Дирихле.
Можно также использовать эту технику для доказательства Тест Авеля: Если ${ displaystyle sum b_ {n}}$ это сходящийся ряд, и ${ displaystyle a_ {n}}$ ограниченный монотонная последовательность, тогда ${ displaystyle S_ {N} = sum _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} b_ {n}}$ сходится.

Доказательство теста Абеля. Суммирование по частям дает

{ displaystyle { begin {align} S_ {M} -S_ {N} & = a_ {M} B_ {M} -a_ {N} B_ {N} - sum _ {n = N} ^ {M- 1} B_ {n} (a_ {n + 1} -a_ {n}) & = (a_ {M} -a) B_ {M} - (a_ {N} -a) B_ {N} + a (B_ {M} -B_ {N}) - sum _ {n = N} ^ {M-1} B_ {n} (a_ {n + 1} -a_ {n}), end {выровнено}} }

куда а это предел ${ displaystyle a_ {n}}$ . В качестве ${ displaystyle sum b_ {n}}$ сходится, ${ displaystyle B_ {N}}$ ограничен независимо от ${ displaystyle N}$ , скажи ${ displaystyle B}$ . В качестве ${ displaystyle a_ {n} -a}$ идем к нулю, поэтому идем первые два члена. Третий член обращается в ноль Критерий Коши за ${ displaystyle sum b_ {n}}$ . Оставшаяся сумма ограничена

{ displaystyle sum _ {n = N} ^ {M-1} | B_ {n} || a_ {n + 1} -a_ {n} | leq B sum _ {n = N} ^ {M -1} | a_ {n + 1} -a_ {n} | = B | a_ {N} -a_ {M} |}

монотонностью ${ displaystyle a_ {n}}$ , а также стремится к нулю при ${ displaystyle N to infty}$ .

Используя то же доказательство, что и выше, можно показать, что если

частичные суммы ${ displaystyle B_ {N}}$ сформировать ограниченная последовательность независимо от ${ displaystyle N}$ ;
${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} | a_ {n + 1} -a_ {n} | < infty}$ (так что сумма ${ displaystyle sum _ {n = N} ^ {M-1} | a_ {n + 1} -a_ {n} |}$ стремится к нулю как ${ displaystyle N}$ уходит в бесконечность)
${ displaystyle lim a_ {n} = 0}$

тогда

{ displaystyle S_ {N} = sum _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} b_ {n}}

сходится.

В обоих случаях сумма ряда удовлетворяет: ${ displaystyle | S | = left | sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} b_ {n} right | leq B sum _ {n = 0} ^ { infty} | a_ {n + 1} -a_ {n} |.}$

Операторы суммирования по частям для конечно-разностных методов высокого порядка

Оператор конечных разностей суммирования по частям (SBP) обычно состоит из внутренней схемы с централизованной разностью и определенных граничных шаблонов, которые имитируют поведение соответствующей формулировки по частям.^[2]^[3] Граничные условия обычно устанавливаются методом одновременного приближения (SAT).^[4] Комбинация SBP-SAT представляет собой мощную основу для лечения границ. Этот метод является предпочтительным из-за хорошо доказанной стабильности для длительного моделирования и высокого порядка точности.