Формула суммирования Абельса - Википедия - Abels summation formula

В математика, Формула суммирования Абеля, представлен Нильс Хенрик Абель, интенсивно используется в теория чисел и изучение специальные функции вычислить серии.

Формула

Позволять ${ Displaystyle (а_ {п}) _ {п = 0} ^ { infty}}$ быть последовательность из настоящий или же сложные числа. Определите функцию частичной суммы ${ displaystyle A}$ к

{ Displaystyle А (т) = сумма _ {0 Leq п Leq т} а_ {п}}

для любого реального числа ${ displaystyle t}$ . Исправить реальные числа ${ Displaystyle х <у}$ , и разреши ${ displaystyle phi}$ быть непрерывно дифференцируемый функция на ${ Displaystyle [х, у]}$ . Потом:

{ Displaystyle сумма _ {Икс <п Leq у} а_ {п} фи (п) = А (у) фи (у) -А (х) фи (х) - int _ {х} ^ {y} A (u) phi '(u) , du.}

Формула получается путем применения интеграция по частям для Интеграл Римана – Стилтьеса. к функциям ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle phi}$ .

Вариации

Принимая левую конечную точку за ${ displaystyle -1}$ дает формулу

{ Displaystyle сумма _ {0 Leq п Leq x} a_ {n} phi (n) = A (x) phi (x) - int _ {0} ^ {x} A (u) фи '(и) , ду.}

Если последовательность ${ Displaystyle (а_ {п})}$ индексируется, начиная с ${ displaystyle n = 1}$ , то можно формально определить ${ displaystyle a_ {0} = 0}$ . Предыдущая формула становится

{ Displaystyle сумма _ {1 Leq п Leq х} a_ {n} phi (n) = A (x) phi (x) - int _ {1} ^ {x} A (u) фи '(и) , ду.}

Распространенный способ применения формулы суммирования Абеля - это взять предел одной из этих формул как ${ Displaystyle х к infty}$ . Полученные формулы:

{ displaystyle { begin {align} sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} phi (n) & = lim _ {x to infty} { bigl (} A ( x) phi (x) { bigr)} - int _ {0} ^ { infty} A (u) phi '(u) , du, sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} phi (n) & = lim _ {x to infty} { bigl (} A (x) phi (x) { bigr)} - int _ {1} ^ { infty} А (и) фи '(и) , ду. конец {выровнено}}}

Эти уравнения верны, если оба предела в правой части существуют и конечны.

Особенно полезным случаем является последовательность ${ displaystyle a_ {n} = 1}$ для всех ${ Displaystyle п geq 0}$ . В этом случае, ${ Displaystyle А (х) = lfloor x + 1 rfloor}$ . Для этой последовательности формула суммирования Абеля упрощается до

{ displaystyle sum _ {0 Leq n Leq x} phi (n) = lfloor x + 1 rfloor phi (x) - int _ {0} ^ {x} lfloor u + 1 rfloor phi '(u) , du.}

Аналогично для последовательности ${ displaystyle a_ {0} = 0}$ и ${ displaystyle a_ {n} = 1}$ для всех ${ Displaystyle п geq 1}$ , формула принимает вид

{ displaystyle sum _ {1 leq n leq x} phi (n) = lfloor x rfloor phi (x) - int _ {1} ^ {x} lfloor u rfloor phi ' (и) , ду.}

Приняв предел как ${ Displaystyle х к infty}$ , мы нашли

{ displaystyle { begin {align} sum _ {n = 0} ^ { infty} phi (n) & = lim _ {x to infty} { bigl (} lfloor x + 1 rfloor phi (x) { bigr)} - int _ {0} ^ { infty} lfloor u + 1 rfloor phi '(u) , du, сумма _ {n = 1} ^ { infty} phi (n) & = lim _ {x to infty} { bigl (} lfloor x rfloor phi (x) { bigr)} - int _ {1} ^ { infty} lfloor u rfloor phi '(u) , du, end {align}}}

предполагая, что оба члена в правой части существуют и конечны.

Формула суммирования Абеля может быть обобщена на случай, когда ${ displaystyle phi}$ считается непрерывным только в том случае, если интеграл интерпретируется как Интеграл Римана – Стилтьеса.:

{ Displaystyle сумма _ {Икс <п Leq у} а_ {п} фи (п) = А (у) фи (у) -А (х) фи (х) - int _ {х} ^ {y} A (u) , d phi (u).}

Принимая ${ displaystyle phi}$ быть функцией частичной суммы, связанной с некоторой последовательностью, это приводит к суммирование по частям формула.

Примеры

Гармонические числа

Если ${ displaystyle a_ {n} = 1}$ за ${ Displaystyle п geq 1}$ и ${ Displaystyle фи (х) = 1 / х,}$ тогда ${ Displaystyle А (х) = lfloor x rfloor}$ и формула дает

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { lfloor x rfloor} { frac {1} {n}} = { frac { lfloor x rfloor} {x}} + int _ {1 } ^ {x} { frac { lfloor u rfloor} {u ^ {2}}} , du.}

Левая часть - это номер гармоники ${ displaystyle H _ { lfloor x rfloor}}$ .

Представление дзета-функции Римана

Исправить комплексное число ${ displaystyle s}$ . Если ${ displaystyle a_ {n} = 1}$ за ${ Displaystyle п geq 1}$ и ${ Displaystyle фи (х) = х ^ {- s},}$ тогда ${ Displaystyle А (х) = lfloor x rfloor}$ и формула становится

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { lfloor x rfloor} { frac {1} {n ^ {s}}} = { frac { lfloor x rfloor} {x ^ {s} }} + s int _ {1} ^ {x} { frac { lfloor u rfloor} {u ^ {1 + s}}} , du.}

Если ${ Displaystyle Re (s)> 1}$ , то предел при ${ Displaystyle х к infty}$ существует и дает формулу

{ displaystyle zeta (s) = s int _ {1} ^ { infty} { frac { lfloor u rfloor} {u ^ {1 + s}}} , du.}

Это может быть использовано для вывода теоремы Дирихле о том, что ${ displaystyle zeta (s)}$ имеет простой столб с остаток 1 в $s = 1$ .

Взаимная дзета-функция Римана

Технику из предыдущего примера можно применить и к другим Серия Дирихле. Если ${ Displaystyle а_ {п} = му (п)}$ это Функция Мёбиуса и ${ Displaystyle фи (х) = х ^ {- s}}$ , тогда ${ Displaystyle А (х) = М (х) = сумма _ {п Leq х} му (п)}$ является Функция Мертенса и