Остаток (комплексный анализ) - Википедия - Residue (complex analysis)

В математика, более конкретно комплексный анализ, то остаток это комплексное число пропорционально контурный интеграл из мероморфная функция по тропинке, охватывающей одну из особенности. (В более общем смысле остатки можно вычислить для любой функции ${ Displaystyle е двоеточие mathbb {C} setminus {a_ {k} } _ {k} rightarrow mathbb {C}}$ то есть голоморфный кроме дискретных точек {а_k}_k, даже если некоторые из них существенные особенности.) Остатки могут быть вычислены довольно легко и, когда они известны, позволяют определять общие контурные интегралы с помощью теорема о вычетах.

Определение

Остаток мероморфная функция ${ displaystyle f}$ загар изолированная особенность ${ displaystyle a}$ , часто обозначаемый ${ displaystyle operatorname {Res} (f, a)}$ или же ${ displaystyle operatorname {Res} _ {a} (f)}$ , - уникальное значение ${ displaystyle R}$ такой, что ${ Displaystyle f (z) -R / (z-a)}$ имеет аналитический первообразный в проколотый диск ${ Displaystyle 0 < верт z-а верт < дельта}$ .

В качестве альтернативы остатки можно рассчитать, найдя Серия Laurent разложения, а остаток можно определить как коэффициент а₋₁ из серии Laurent.

Определение вычета можно обобщить на произвольные Римановы поверхности. Предполагать ${ displaystyle omega}$ это 1-форма на римановой поверхности. Позволять ${ displaystyle omega}$ быть мероморфным в какой-то момент ${ displaystyle x}$ , чтобы мы могли написать ${ displaystyle omega}$ в местных координатах как ${ Displaystyle f (z) ; dz}$ . Тогда остаток ${ displaystyle omega}$ в ${ displaystyle x}$ определяется как остаток ${ displaystyle f (z)}$ в точке, соответствующей ${ displaystyle x}$ .

Примеры

Остаток монома

Вычисление остатка одночлен

{ displaystyle oint _ {C} z ^ {k} , dz}

упрощает выполнение большинства вычислений остатков. Поскольку вычисления интегралов по путям гомотопия инвариантен, пусть ${ displaystyle C}$ быть окружностью с радиусом ${ displaystyle 1}$ . Затем, используя замену координат ${ Displaystyle г к е ^ {я тета}}$ мы находим, что

{ displaystyle dz to d (e ^ {i theta}) = ie ^ {i theta} , d theta}

следовательно, наш интеграл теперь читается как

{ Displaystyle oint _ {C} z ^ {k} dz = int _ {0} ^ {2 pi}, т.е. ^ {я (k + 1) theta} , d theta = { begin { case} 2 pi i & { text {if}} k = -1, 0 & { text {else}}. end {ases}}}

Применение мономиального вычета

В качестве примера рассмотрим контурный интеграл

{ displaystyle oint _ {C} {e ^ {z} over z ^ {5}} , dz}

куда C есть некоторые простая замкнутая кривая около 0.

Оценим этот интеграл, используя стандартный результат сходимости об интегрировании по рядам. Мы можем заменить Серия Тейлор за ${ displaystyle e ^ {z}}$ в подынтегральное выражение. Тогда интеграл принимает вид

{ displaystyle oint _ {C} {1 over z ^ {5}} left (1 + z + {z ^ {2} over 2!} + {z ^ {3} over 3!} + { z ^ {4} over 4!} + {z ^ {5} over 5!} + {z ^ {6} over 6!} + cdots right) , dz.}

Приведем 1 /z⁵ фактор в серию. Тогда контурный интеграл ряда записывает

{ displaystyle { begin {align} & oint _ {C} left ({1 over z ^ {5}} + {z over z ^ {5}} + {z ^ {2} over 2) ! ; z ^ {5}} + {z ^ {3} over 3! ; z ^ {5}} + {z ^ {4} over 4! ; z ^ {5}} + {z ^ {5} более 5! ; Z ^ {5}} + {z ^ {6} более 6! ; Z ^ {5}} + cdots right) , dz [4pt] = {} & oint _ {C} left ({1 over ; z ^ {5}} + {1 over ; z ^ {4}} + {1 over 2! ; z ^ {3 }} + {1 over 3! ; Z ^ {2}} + {1 over 4! ; Z} + {1 over ; 5!} + {Z over 6!} + Cdots справа) , dz. end {выравнивается}}}

Поскольку ряд сходится равномерно на опоре пути интегрирования, нам разрешено обмениваться интегрированием и суммированием. Затем ряд интегралов по траекториям схлопывается до гораздо более простой формы из-за предыдущего вычисления. Итак, теперь интеграл вокруг C любого другого термина не в форме cz⁻¹ равен нулю, а интеграл сводится к

{ displaystyle oint _ {C} {1 over 4! ; z} , dz = {1 over 4!} oint _ {C} {1 over z} , dz = {1 over 4!} (2 pi i) = { pi i более 12}.}

Стоимость 1/4! это остаток из е^z/z⁵ в z = 0 и обозначается

{ displaystyle operatorname {Res} _ {0} {e ^ {z} over z ^ {5}}, { text {или}} operatorname {Res} _ {z = 0} {e ^ {z } over z ^ {5}}, { text {или}} operatorname {Res} (f, 0) { text {for}} f = {e ^ {z} over z ^ {5}} .}

Расчет остатков

Предположим, что проколотый диск D = {z : 0 < |z − c| < р} в комплексной плоскости и ж это голоморфная функция определено (по крайней мере) на D. Остаток Res (ж, c) из ж в c это коэффициент а₋₁ из (z − c)⁻¹ в Серия Laurent расширение ж вокруг c. Существуют различные методы для вычисления этого значения, и выбор того, какой метод использовать, зависит от рассматриваемой функции и от природы особенности.

Согласно теорема о вычетах, у нас есть:

{ displaystyle operatorname {Res} (f, c) = {1 over 2 pi i} oint _ { gamma} f (z) , dz}

куда γ очерчивает круг вокруг c против часовой стрелки. Мы можем выбрать путь γ быть кругом радиуса ε вокруг c, куда ε настолько мал, насколько мы желаем. Это можно использовать для вычисления в тех случаях, когда интеграл можно вычислить напрямую, но обычно вычеты используются для упрощения вычисления интегралов, а не наоборот.

Устранимые особенности

Если функция ж возможно продолжение к голоморфная функция на весь диск ${ Displaystyle | у-с |$ , то Res (ж, c) = 0. Обратное, как правило, неверно.

Простые столбы

На простой полюс c, остаток ж дан кем-то:

{ displaystyle operatorname {Res} (f, c) = lim _ {z to c} (z-c) f (z).}

Возможно, функция ж может быть выражено как отношение двух функций, ${ Displaystyle е (г) = { гидроразрыва {г (г)} {ч (г)}}}$ , куда грамм и час находятся голоморфные функции в район из c, с час(c) = 0 ичас'(c) ≠ 0. В таком случае Правило L'Hôpital можно использовать для упрощения приведенной выше формулы:

{ displaystyle { begin {align} operatorname {Res} (f, c) & = lim _ {z to c} (zc) f (z) = lim _ {z to c} { frac {zg (z) -cg (z)} {h (z)}} [4pt] & = lim _ {z to c} { frac {g (z) + zg '(z) -cg '(z)} {h' (z)}} = { frac {g (c)} {h '(c)}}. end {выравнивается}}}

Формула предела для полюсов более высокого порядка

В более общем смысле, если c это столб порядка п, то остаток ж вокруг z = c можно найти по формуле:

{ displaystyle operatorname {Res} (f, c) = { frac {1} {(n-1)!}} lim _ {z to c} { frac {d ^ {n-1}} {dz ^ {n-1}}} left ((zc) ^ {n} f (z) right).}

Эта формула может быть очень полезной при определении остатков для полюсов низкого порядка. Для полюсов более высокого порядка вычисления могут стать неуправляемыми, и расширение ряда обычно упрощается. За существенные особенности, такой простой формулы не существует, и вычеты обычно следует брать непосредственно из разложений в ряд.

Остаток на бесконечности

В целом остаток на бесконечности дан кем-то:

{ displaystyle operatorname {Res} (f (z), infty) = - operatorname {Res} left ({ frac {1} {z ^ {2}}} f left ({ frac {1 } {z}} right), 0 right).}

Если соблюдается следующее условие:

{ Displaystyle lim _ {| z | к infty} f (z) = 0,}

затем остаток на бесконечности можно вычислить по следующей формуле:

{ displaystyle operatorname {Res} (f, infty) = - lim _ {| z | to infty} z cdot f (z).}

Если вместо этого

{ Displaystyle lim _ {| z | к infty} е (г) = с neq 0,}

затем остаток на бесконечности является

{ displaystyle operatorname {Res} (f, infty) = lim _ {| z | to infty} z ^ {2} cdot f '(z).}

Серийные методы

Если часть или всю функцию можно развернуть в Серия Тейлор или же Серия Laurent, что может быть возможным, если части или вся функция имеют стандартное разложение в ряд, тогда вычисление остатка значительно проще, чем другими методами.

В качестве первого примера рассмотрим вычисление вычетов в особенностях функции
${ Displaystyle е (г) = { грех г над г ^ {2} -z}}$
которые можно использовать для вычисления некоторых контурных интегралов. Эта функция, по-видимому, имеет особенность при z = 0, но если разложить знаменатель на множители и, таким образом, записать функцию как
${ Displaystyle е (г) = { грех г над г (г-1)}}$
очевидно, что особенность при z = 0 является устранимая особенность а затем остаток при z = 0, следовательно, 0.
Единственная другая особенность - z = 1. Напомним выражение для ряда Тейлора для функции грамм(z) о z = а:
${ displaystyle g (z) = g (a) + g '(a) (za) + {g' '(a) (za) ^ {2} over 2!} + {g' '' (a) (za) ^ {3} более 3!} + cdots}$
Таким образом, для грамм(z) = грехz и а = 1 имеем
${ displaystyle sin z = sin 1 + ( cos 1) (z-1) + {- ( sin 1) (z-1) ^ {2} over 2!} + {- ( cos 1 ) (z-1) ^ {3} over 3!} + cdots.}$
и для грамм(z) = 1/z и а = 1 имеем
${ displaystyle { frac {1} {z}} = { frac {1} {(z-1) +1}} = 1- (z-1) + (z-1) ^ {2} - ( z-1) ^ {3} + cdots.}$
Умножая эти две серии и вводя 1 / (z - 1) дает нам
${ displaystyle { frac { sin z} {z (z-1)}} = { sin 1 over z-1} + ( соз 1- sin 1) + (z-1) left ( - { frac { sin 1} {2!}} - cos 1+ sin 1 right) + cdots.}$
Итак, остаток ж(z) в z = 1 - это грех 1.
Следующий пример показывает, что при вычислении остатка разложением в ряд основную роль играет Теорема обращения Лагранжа. Позволять
${ Displaystyle и (г): = сумма _ {к geq 1} и_ {к} г ^ {к}}$
быть вся функция, и разреши
${ Displaystyle v (z): = сумма _ {к geq 1} v_ {k} z ^ {k}}$
с положительным радиусом сходимости, а с ${ displaystyle textstyle v_ {1} neq 0}$ . Так ${ displaystyle textstyle v (z)}$ имеет местный обратный ${ displaystyle textstyle V (z)}$ при 0 и ${ Displaystyle textstyle и (1 / V (z))}$ является мероморфный при 0. Тогда мы имеем:
${ displaystyle operatorname {Res} _ {0} { big (} u (1 / V (z)) { big)} = sum _ {k = 0} ^ { infty} ku_ {k} v_ {k}.}$
В самом деле,
${ displaystyle operatorname {Res} _ {0} { big (} u (1 / V (z)) { big)} = operatorname {Res} _ {0} left ( sum _ {k geq 1} u_ {k} V (z) ^ {- k} right) = sum _ {k geq 1} u_ {k} operatorname {Res} _ {0} { big (} V (z ) ^ {- k} { big)}}$
потому что первый ряд сходится равномерно на любом маленьком круге вокруг 0. Используя теорему об обращении Лагранжа
${ displaystyle operatorname {Res} _ {0} { big (} V (z) ^ {- k} { big)} = kv_ {k},}$
и мы получаем вышеуказанное выражение. Например, если ${ Displaystyle и (г) = г + г ^ {2}}$ а также ${ Displaystyle v (z) = z + z ^ {2}}$ , тогда
${ displaystyle V (z) = { frac {2z} {1 + { sqrt {1 + 4z}}}}}$
и
${ displaystyle u (1 / V (z)) = { frac {1 + { sqrt {1 + 4z}}} {2z}} + { frac {1 + 2z + { sqrt {1 + 4z}} } {2z ^ {2}}}.}$
Первый член дает 1 вклад в вычет, а второй член дает 2, поскольку он асимптотичен ${ displaystyle 1 / z ^ {2} + 2 / z}$ Заметим, что при соответствующих более сильных симметричных предположениях на ${ Displaystyle textstyle и (г)}$ и ${ displaystyle textstyle v (z)}$ , это также следует
${ displaystyle operatorname {Res} _ {0} left (u (1 / V) right) = operatorname {Res} _ {0} left (v (1 / U) right),}$
куда ${ displaystyle textstyle U (z)}$ является локальной инверсией ${ Displaystyle textstyle и (г)}$ при 0.