Теорема Миттаг-Леффлерса - Википедия - Mittag-Lefflers theorem

В комплексный анализ, Теорема Миттаг-Леффлера касается существования мероморфные функции с предписанным полюса. И наоборот, его можно использовать для выражения любой мероморфной функции как суммы частичные фракции. Это сестра Теорема факторизации Вейерштрасса, который утверждает существование голоморфные функции с предписанным нули. Он назван в честь Гёста Миттаг-Леффлер.

Теорема

Позволять ${ displaystyle D}$ быть открытый набор в ${ Displaystyle mathbb {C}}$ и ${ displaystyle E subset D}$ а закрыто дискретный подмножество. Для каждого ${ displaystyle a}$ в ${ displaystyle E}$, позволять ${ Displaystyle р_ {а} (г)}$ быть полиномом от ${ Displaystyle 1 / (г-а)}$. Есть мероморфная функция ${ displaystyle f}$ на ${ displaystyle D}$ так что для каждого ${ displaystyle a in E}$, функция ${ displaystyle f (z) -p_ {a} (z)}$ имеет только устранимая особенность в ${ displaystyle a}$. В частности, основная часть из ${ displaystyle f}$ в ${ displaystyle a}$ является ${ displaystyle p_ {a} (z)}$.

Один из возможных вариантов доказательства следующий. Если ${ displaystyle E}$ конечно, достаточно взять ${ Displaystyle е (г) = сумма _ {а в Е} р_ {а} (г)}$. Если ${ displaystyle E}$ не конечно, рассмотрим конечную сумму ${ Displaystyle S_ {F} (z) = sum _ {a in F} p_ {a} (z)}$ куда ${ displaystyle F}$ конечное подмножество ${ displaystyle E}$. В то время как ${ Displaystyle S_ {F} (г)}$ не может сходиться как F подходы E, можно вычесть хорошо подобранные рациональные функции с полюсами вне D (предоставлено Теорема Рунге ) без изменения основных частей ${ Displaystyle S_ {F} (г)}$ и таким образом, чтобы гарантировать сходимость.

Пример

Предположим, что нам нужна мероморфная функция с простыми полюсами остаток 1 при всех натуральных числах. С обозначениями, как указано выше, позволяя

${ displaystyle p_ {k} = { frac {1} {z-k}}}$

и ${ Displaystyle E = mathbb {Z} ^ {+}}$, Теорема Миттаг-Леффлера утверждает (неконструктивно) существование мероморфной функции ${ displaystyle f}$ с основной частью ${ displaystyle p_ {k} (z)}$ в ${ displaystyle z = k}$ для каждого положительного целого числа ${ displaystyle k}$. Этот ${ displaystyle f}$ обладает желаемыми свойствами. Более конструктивно мы можем позволить

${ Displaystyle е (г) = г сумма _ {к = 1} ^ { infty} { гидроразрыва {1} {к (г-к)}}}$.

Эта серия сходится нормально на ${ Displaystyle mathbb {C}}$ (как можно показать с помощью М-тест ) в мероморфную функцию с желаемыми свойствами.

Полюсные разложения мероморфных функций

Вот несколько примеров полюсных разложений мероморфных функций:

${ displaystyle tan (z) = sum limits _ {n = 0} ^ { infty} { dfrac {8z} {(2n + 1) ^ {2} pi ^ {2} -4z ^ { 2}}}}$

${ displaystyle csc (z) = sum _ {n in mathbb {Z}} { frac {(-1) ^ {n}} {zn pi}} = { frac {1} {z }} + 2z sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {1} {z ^ {2} - (n , pi) ^ {2}} }}$

${ displaystyle sec (z) Equiv - csc left (z - { frac { pi} {2}} right) = sum _ {n in mathbb {Z}} { frac { (-1) ^ {n-1}} {z- left (n + { frac {1} {2}} right) pi}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} (2n + 1) pi} {(n + { frac {1} {2}}) ^ {2} pi ^ {2} -z ^ {2}} }}$

${ Displaystyle cot (z) Equiv { frac { cos (z)} { sin (z)}} = sum _ {n in mathbb {Z}} { frac {1} {zn pi}} = { frac {1} {z}} + 2z sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {z ^ {2} - (k , pi) ^ {2}}}}$

${ displaystyle csc ^ {2} (z) = sum _ {n in mathbb {Z}} { frac {1} {(z-n , pi) ^ {2}}}}$

${ displaystyle sec ^ {2} (z) = { dfrac {d} {dz}} tan (z) = sum limits _ {n = 0} ^ { infty} { dfrac {8 ( (2n + 1) ^ {2} pi ^ {2} + 4z ^ {2})} {((2n + 1) ^ {2} pi ^ {2} -4z ^ {2}) ^ {2 }}}}$

${ displaystyle { frac {1} {z sin (z)}} = { frac {1} {z ^ {2}}} + sum _ {n neq 0} { frac {(-1 ) ^ {n}} { pi n (z- pi n)}} = { frac {1} {z ^ {2}}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} {( -1) ^ {n}} { frac {2} {z ^ {2} - (n , pi) ^ {2}}}}$

Смотрите также

• Теорема Римана – Роха
• Теорема Лиувилля
• Состояние Миттаг-Леффлера обратного предела
• Суммирование Миттаг-Леффлера
• Функция Миттаг-Леффлера

Рекомендации

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Сентябрь 2015 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

• Альфорс, Ларс (1953), Комплексный анализ (3-е изд.), McGraw Hill (опубликовано в 1979 г.), ISBN  0-07-000657-1.
• Конвей, Джон Б. (1978), Функции одной комплексной переменной I (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-90328-3.

внешняя ссылка

• "Теорема Миттаг-Леффлера", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• «Теорема Миттаг-Леффлера». PlanetMath.