Теорема факторизации Вейерштрасса

В математика, и особенно в области комплексный анализ, то Теорема факторизации Вейерштрасса утверждает, что каждый вся функция можно представить как (возможно, бесконечное) произведение, включающее его нули. Теорема может рассматриваться как расширение основная теорема алгебры, который утверждает, что каждый многочлен можно разложить на линейные множители, по одному для каждого корня.

Теорема, названная в честь Карл Вейерштрасс, тесно связано со вторым результатом, что каждая последовательность, стремящаяся к бесконечности, имеет связанную целую функцию с нулями точно в точках этой последовательности.

Обобщение теоремы распространяет ее на мероморфные функции и позволяет рассматривать данную мероморфную функцию как произведение трех факторов: членов, зависящих от функции нули и полюсы, и связанный ненулевой голоморфная функция.^{[нужна цитата ]}

Мотивация

Последствия основная теорема алгебры двоякие.^[1]Во-первых, любая конечная последовательность ${ displaystyle {c_ {n} }}$ в комплексная плоскость имеет связанный многочлен ${ displaystyle p (z)}$ который имеет нули именно в точках этого последовательность, ${ displaystyle p (z) = , prod _ {n} (z-c_ {n}).}$

Во-вторых, любая полиномиальная функция ${ displaystyle p (z)}$ в комплексной плоскости имеет факторизация ${ Displaystyle , п (г) = а прод _ {п} (г-с_ {п}),}$ где $а$ ненулевая константа и $c п$ нули $п$ .

Две формы теоремы факторизации Вейерштрасса можно рассматривать как расширение вышеперечисленного на целые функции. Необходимость дополнительного оборудования демонстрируется при рассмотрении продукта. ${ displaystyle , prod _ {n} (z-c_ {n})}$ если последовательность ${ displaystyle {c_ {n} }}$ не является конечный. Он никогда не может определить целую функцию, потому что бесконечный продукт не сходится. Таким образом, в общем случае нельзя определить целую функцию из последовательности предписанных нулей или представить целую функцию ее нулями, используя выражения, полученные из фундаментальной теоремы алгебры.

Необходимым условием сходимости рассматриваемого бесконечного произведения является то, что для каждого z множители ${ Displaystyle (г-с_ {п})}$ должен приближаться к 1 как ${ Displaystyle п к infty}$ . Таким образом, понятно, что нужно искать функцию, которая могла бы быть 0 в заданной точке, но оставаться близкой к 1, когда не в этой точке, и, кроме того, вводить не больше нулей, чем предписано. Вейерштрасса элементарные факторы обладают этими свойствами и служат той же цели, что и факторы ${ Displaystyle (г-с_ {п})}$ над.

Элементарные факторы

Рассмотрим функции вида ${ Displaystyle ехр (- { tfrac {z ^ {n + 1}} {n + 1}})}$ для ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$ . В ${ displaystyle z = 0}$ , они оценивают ${ displaystyle 1}$ и иметь пологий уклон порядка до ${ displaystyle n}$ . Сразу после ${ displaystyle z = 1}$ , они резко падают до некоторого небольшого положительного значения. Напротив, рассмотрим функцию ${ displaystyle 1-z}$ который не имеет пологого склона, но при ${ displaystyle z = 1}$ , дает ровно ноль. Также обратите внимание, что для $| z | < 1$ ,

{ Displaystyle (1-z) = ехр ( пер (1-z)) = ехр влево (- { tfrac {z ^ {1}} {1}} - { tfrac {z ^ {2 }} {2}} - { tfrac {z ^ {3}} {3}} + cdots right)}

.

Участок

{ Displaystyle E_ {п} (х)}

для n = 0, ..., 4 и x в интервале [-1,1].

В элементарные факторы ^[2], также называемый основные факторы ^[3], являются функциями, сочетающими в себе свойства нулевого наклона и нулевого значения (см. рисунок):

{ displaystyle E_ {n} (z) = { begin {case} (1-z) & { text {if}} n = 0, (1-z) exp left ({ frac { z ^ {1}} {1}} + { frac {z ^ {2}} {2}} + cdots + { frac {z ^ {n}} {n}} right) & { text {в противном случае}}. end {case}}}

Для $| z | < 1$ и ${ displaystyle n> 0}$ , можно выразить это как ${ displaystyle E_ {n} (z) = exp (- { tfrac {z ^ {n + 1}} {n + 1}} Sigma _ {k = 0} ^ { infty} { tfrac { z ^ {k}} {1 + k / (n + 1)}})}$ и можно прочитать, как эти свойства применяются.

Полезность элементарных факторов $E п (z)$ содержится в следующей лемме:^[2]

Лемма (15.8, Рудин). для $| z | \leq 1$ , ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$

{ displaystyle vert 1-E_ {n} (z) vert leq vert z vert ^ {n + 1}.}

Две формы теоремы

Существование целой функции с указанными нулями

Позволять ${ Displaystyle {а_ {п} }}$ последовательность ненулевых комплексных чисел такая, что ${ displaystyle | a_ {n} | to infty}$ .Если ${ displaystyle {p_ {n} }}$ - любая последовательность целых чисел такая, что для всех ${ displaystyle r> 0}$ ,

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} left (r / | a_ {n} | right) ^ {1 + p_ {n}} < infty,}

тогда функция

{ displaystyle f (z) = prod _ {n = 1} ^ { infty} E_ {p_ {n}} (z / a_ {n})}

целое с нулями только в точках ${ displaystyle a_ {n}}$ . Если число ${ displaystyle z_ {0}}$ происходит в последовательности ${ Displaystyle {а_ {п} }}$ именно так $м$ раз, затем функция $ж$ имеет ноль в ${ displaystyle z = z_ {0}}$ множественности $м$ .

Последовательность ${ displaystyle {p_ {n} }}$ в формулировке теоремы всегда существует. Например, мы всегда можем взять ${ displaystyle p_ {n} = n}$ и есть сближение. Такая последовательность не уникальна: изменение ее в конечном числе позиций или взятие другой последовательности $п' п \geq п п$ , не нарушит сходимость.
Теорема обобщается на следующее: последовательности в открытые подмножества (и, следовательно регионы ) из Сфера Римана имеют связанные функции, которые голоморфный в этих подмножествах и имеют нули в точках последовательности.^[2]
Также сюда включен случай, описываемый основной теоремой алгебры. Если последовательность ${ Displaystyle {а_ {п} }}$ конечно, то мы можем взять ${ displaystyle p_ {n} = 0}$ и получите: ${ Displaystyle , е (г) = с , { Displaystyle prod} _ {п} (г-а_ {п})}$ .

Позволять $ƒ$ - целая функция, и пусть ${ Displaystyle {а_ {п} }}$ ненулевые нули $ƒ$ повторяется по кратности; предположим также, что $ƒ$ имеет ноль в $z = 0$ порядка $м \geq 0$ (ноль порядка $м = 0$ в $z = 0$ означает $ƒ (0) \neq 0$ Тогда существует целая функция $г$ и последовательность целых чисел ${ displaystyle {p_ {n} }}$ такой, что

{ displaystyle f (z) = z ^ {m} e ^ {g (z)} prod _ {n = 1} ^ { infty} E_ {p_ {n}} ! ! left ({ frac {z} {a_ {n}}} right).}

^[4]

Примеры факторизации

Тригонометрические функции синус и косинус иметь факторизации

{ displaystyle sin pi Z = pi z prod _ {n neq 0} left (1 - { frac {z} {n}} right) e ^ {z / n} = pi z prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1- left ({ frac {z} {n}} right) ^ {2} right)}

{ displaystyle cos pi z = prod _ {q in mathbb {Z}, , q ; { text {odd}}} left (1 - { frac {2z} {q}} right) e ^ {2z / q} = prod _ {n = 0} ^ { infty} left (1- left ({ frac {z} {n + { tfrac {1} {2}}) }} right) ^ {2} right)}

в то время гамма-функция

{ displaystyle Gamma}

имеет факторизацию

{ displaystyle { frac {1} { Gamma (z)}} = e ^ { gamma z} z prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 + { frac {z} {n}} right) e ^ {- z / n},}

{ displaystyle gamma}

это Константа Эйлера – Маскерони.^{[нужна цитата ]} Тождество косинуса можно рассматривать как частный случай

{ Displaystyle { frac {1} { Gamma (sz) Gamma (s + z)}} = { frac {1} { Gamma (s) ^ {2}}} prod _ {n = 0 } ^ { infty} left (1- left ({ frac {z} {n + s}} right) ^ {2} right)}

для

{ displaystyle s = { tfrac {1} {2}}}

.^{[нужна цитата ]}

Теорема факторизации Адамара

Если $ƒ$ целая функция конечного порядок $ρ$ и $м$ это порядок нуля $ƒ$ в $z$ = $0$ , то допускает факторизацию

{ displaystyle f (z) = z ^ {m} e ^ {g (z)} displaystyle prod _ {n = 1} ^ { infty} E_ {p} ! ! left ({ frac {z} {a_ {n}}} right)}

где $г (z)$ является многочленом степени $q$ , $q \leq ρ$ и $п = [ρ]$ это целая часть $ρ$ .^[4]

Смотрите также

Теорема Миттаг-Леффлера
Уоллис продукт, который можно вывести из этой теоремы, примененной к синусоиде

Заметки

^ Кнопп, К. (1996), "Фактор-теорема Вейерштрасса", Теория функций, часть II, New York: Dover, pp. 1–7..
^ ^а ^б ^c Рудин, В. (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Бостон: McGraw Hill, стр. 301–304, ISBN 0-07-054234-1, OCLC 13093736
^ Боас, Р. П. (1954), Целые функции, Нью-Йорк: Academic Press Inc., ISBN 0-8218-4505-5, OCLC 6487790, Глава 2.
^ ^а ^б Конвей, Дж. Б. (1995), Функции одной комплексной переменной I, 2-е изд., springer.com: Springer, ISBN 0-387-90328-3

внешние ссылки

[knopp-1] Кнопп, К. (1996), "Фактор-теорема Вейерштрасса", Теория функций, часть II, New York: Dover, pp. 1–7..

[rudin-2] а ^б ^c Рудин, В. (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Бостон: McGraw Hill, стр. 301–304, ISBN 0-07-054234-1, OCLC 13093736

[boas-3] Боас, Р. П. (1954), Целые функции, Нью-Йорк: Academic Press Inc., ISBN 0-8218-4505-5, OCLC 6487790, Глава 2.

[conway-4] а ^б Конвей, Дж. Б. (1995), Функции одной комплексной переменной I, 2-е изд., springer.com: Springer, ISBN 0-387-90328-3

[1]

[2]

[3]

[4]