Функция Миттаг-Леффлера - Mittag-Leffler function

Функцию Миттаг-Леффлера можно использовать для непрерывной интерполяции между гауссовой и лоренцевой функциями.

В математика, то Функция Миттаг-Леффлера E_α,β это специальная функция, а сложный функция который зависит от двух комплексных параметров α и β. Его можно определить следующим образом: серии когда действительная часть α строго положительна:^[1][2]

${ displaystyle E _ { alpha, beta} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {k}} { Gamma ( alpha k + beta)}} .}$

где ${ Displaystyle Gamma (х)}$ это гамма-функция. Когда ${ displaystyle beta = 1}$, сокращенно ${ Displaystyle Е _ { альфа} (г) = Е _ { альфа, 1} (г)}$.Для ${ Displaystyle альфа = 0}$, указанный выше ряд равен разложению Тейлора геометрического ряда и, следовательно, ${ displaystyle E_ {0, beta} (z) = { frac {1} { Gamma ( beta)}} { frac {1} {1-z}}}$.

В этом случае α и β действительны и положительны, ряд сходится для всех значений аргумента z, поэтому функция Миттаг-Леффлера является вся функция. Эта функция названа в честь Гёста Миттаг-Леффлер. Этот класс функций важен в теории дробное исчисление.

Для α > 0 функция Миттаг-Леффлера ${ Displaystyle Е _ { альфа, 1} (г)}$ - целая функция порядка 1 /α, и в некотором смысле является простейшей целой функцией своего порядка.

Функция Миттаг-Леффлера удовлетворяет свойству рекуррентности (теорема 5.1 из ^[1])

${ Displaystyle E _ { alpha, beta} (z) = { frac {1} {z}} E _ { alpha, beta - alpha} (z) - { frac {1} {z Gamma ( beta - alpha),}}}$

откуда Асимптотическое разложение Пуанкаре

${ displaystyle E _ { alpha, beta} (z) sim - sum _ {k = 1} { frac {1} {z ^ {k} Gamma ( beta -k alpha)}}}$

следует, что верно для ${ Displaystyle г к - infty}$.

Особые случаи

Для ${ Displaystyle альфа = 0,1 / 2,1,2}$ мы находим: (Раздел 2 ^[1])

Функция ошибки:

${ displaystyle E _ { frac {1} {2}} (z) = exp (z ^ {2}) operatorname {erfc} (-z).}$

Сумма геометрическая прогрессия:

${ Displaystyle E_ {0} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} z ^ {k} = { frac {1} {1-z}}, , | z | <1 .}$

Экспоненциальная функция:

${ Displaystyle E_ {1} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {k}} { Gamma (k + 1)}} = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {k}} {k!}} = Exp (z).}$

Гиперболический косинус:

${ displaystyle E_ {2} (z) = cosh ({ sqrt {z}}), { text {и}} E_ {2} (- z ^ {2}) = cos (z).}$

Для ${ displaystyle beta = 2}$, у нас есть

${ displaystyle E_ {1,2} (z) = { frac {e ^ {z} -1} {z}},}$

${ displaystyle E_ {2,2} (z) = { frac { sinh ({ sqrt {z}})} { sqrt {z}}}.}$

Для ${ Displaystyle альфа = 0,1,2}$, интеграл

${ displaystyle int _ {0} ^ {z} E _ { alpha} (- s ^ {2}) , { mathrm {d}} s}$

дает соответственно: ${ Displaystyle arctan (г)}$, ${ displaystyle { tfrac { sqrt { pi}} {2}} operatorname {erf} (z)}$, ${ Displaystyle грех (г)}$.

Интегральное представление Миттаг-Леффлера

Интегральное представление функции Миттаг-Леффлера имеет вид (Раздел 6 ^[1])

${ displaystyle E _ { alpha, beta} (z) = { frac {1} {2 pi i}} int _ {C} { frac {t ^ { alpha - beta} e ^ { t}} {t ^ { alpha} -z}} , dt, Re ( alpha)> 0, Re ( beta)> 0,}$

где контур C начинается и заканчивается в −∞ и обводит вокруг особенностей и точек ветвления подынтегрального выражения.

Связанный с Преобразование Лапласа и Суммирование Миттаг-Леффлера является выражением (уравнение (7.5)) ^[1], при m = 0)

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- tz} t ^ { beta -1} E _ { alpha, beta} ( pm r , t ^ { alpha}) , dt = { frac {z ^ { alpha - beta}} {z ^ { alpha} mp r}}, Re (z)> 0, Re ( alpha)> 0, Re ( beta)> 0.}$

Смотрите также

• Суммирование Миттаг-Леффлера
• Распределение Mittag-Leffler
• Функция Фокса – Райта

Заметки

• р Пакет 'MittagLeffleR' Авторы Gurtek Gill, Peter Straka. Реализует функцию Миттаг-Леффлера, распределение, генерацию случайных переменных и оценку.

использованная литература

Эта статья включает список литературы, связанное чтение или внешние ссылки, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшить эта статья введение более точные цитаты. (Сентябрь 2015 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

• Mittag-Leffler, M.G .: Sur la nouvelle fonction E (x). C. R. Acad. Sci. Париж, 137, 554–558 (1903)
• Mittag-Leffler, M.G .: Sopra la funzione E˛.x /. Ренд. R. Acc. Линчеи, (сер. 5) 13, 3–5 (1904).
• Горенфло Р., Килбас А.А., Майнарди Ф., Рогозин С.В., Функции Миттаг-Леффлера, связанные темы и приложения (Springer, Нью-Йорк, 2014) 443 страницы ISBN  978-3-662-43929-6
• Игорь Подлубный (1998). "глава 1". Дробные дифференциальные уравнения. Введение в дробные производные, дробные дифференциальные уравнения, некоторые методы их решения и некоторые их приложения. Математика в науке и технике. Академическая пресса. ISBN  0-12-558840-2.
• Кай Дитхельм (2010). "Глава 4". Анализ дробных дифференциальных уравнений: прикладное изложение с использованием дифференциальных операторов типа Капуто. Конспект лекций по математике. Гейдельберг и Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-642-14573-5.

внешние ссылки

• Функция Миттаг-Леффлера справочник по математике mathHandbook.com
• Функция Миттаг-Леффлера: код MATLAB
• Миттаг-Леффлер и стабильные случайные числа: случайные блуждания в непрерывном времени и стохастическое решение пространственно-временных уравнений дробной диффузии

В этой статье использован материал из функции Миттаг-Леффлера по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.