М-тест Вейерштрасса - Weierstrass M-test

В математика, то М-тест Вейерштрасса это тест для определения того, бесконечная серия из функции сходится равномерно и абсолютно. Это применимо к сериям, условия которых ограниченные функции с настоящий или же сложный значения, и аналогичен сравнительный тест для определения сходимости серий действительных или комплексных чисел. Назван в честь немецкого математика. Карл Вейерштрасс (1815-1897).

Заявление

М-тест Вейерштрасса. Предположим, что (ж_п) это последовательность действительных или комплексных функций, определенных на набор А, и что существует последовательность неотрицательных чисел (M_п) удовлетворение

${ displaystyle forall n geq 1, forall x in A: | f_ {n} (x) | leq M_ {n},}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} M_ {n} < infty.}$

Тогда сериал

${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} е_ {п} (х)}$

сходится абсолютно и равномерно на А.

Замечание. Результат часто используется в сочетании с равномерная предельная теорема. Вместе они говорят, что если, помимо вышеперечисленных условий, набор А это топологическое пространство и функции ж_п находятся непрерывный на А, то ряд сходится к непрерывной функции.

Доказательство

Рассмотрим последовательность функций

${ Displaystyle S_ {n} (x) = sum _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} (x).}$

Поскольку сериал ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} M_ {п}}$ сходится и M_п ≥ 0 для каждого п, то по Критерий Коши,

${ displaystyle forall varepsilon> 0: exists N: forall m> n> N: sum _ {k = n + 1} ^ {m} M_ {k} < varepsilon.}$

Для избранных N,

${ displaystyle forall x in A: forall m> n> N}$

${ displaystyle left | S_ {m} (x) -S_ {n} (x) right | = left | sum _ {k = n + 1} ^ {m} f_ {k} (x) справа | { overset {(1)} { leq}} sum _ {k = n + 1} ^ {m} | f_ {k} (x) | leq sum _ {k = n + 1} ^ {m} M_ {k} < varepsilon.}$

(Неравенство (1) следует из неравенство треугольника.)

Последовательность S_п(Икс) таким образом Последовательность Коши в р или же C, и по полнота, он сходится к некоторому числу S(Икс) это зависит от Икс. За п > N мы можем написать

${ displaystyle left | S (x) -S_ {n} (x) right | = left | lim _ {m to infty} S_ {m} (x) -S_ {n} (x) right | = lim _ {m to infty} left | S_ {m} (x) -S_ {n} (x) right | leq varepsilon.}$

С N не зависит от Икс, это означает, что последовательность S_п частичных сумм сходится равномерно к функции S. Следовательно, по определению ряд ${ Displaystyle сумма _ {к = 1} ^ { infty} е_ {к} (х)}$ сходится равномерно.

Аналогично можно доказать, что ${ Displaystyle сумма _ {к = 1} ^ { infty} | е_ {к} (х) |}$ сходится равномерно.

Обобщение

Более общий вариант М-критерия Вейерштрасса выполняется, если codomain функций (ж_п) это Банахово пространство, в этом случае посылка

${ displaystyle | f_ {n} (x) | leq M_ {n}}$

должен быть заменен на

${ Displaystyle | е_ {п} (х) | leq M_ {п}}$,

куда ${ displaystyle | cdot |}$ это норма на банаховом пространстве. Пример использования этого теста на банаховом пространстве см. В статье Производная Фреше.

Смотрите также

• Пример М-теста Вейерштрасса

Рекомендации

• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Рудин, Вальтер (май 1986). Реальный и комплексный анализ. McGraw-Hill Наука / Инженерия / Математика. ISBN  0-07-054234-1.
• Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. McGraw-Hill Наука / Инженерия / Математика.
• Уиттакер, E.T.; Уотсон, Г. (1927). Курс современного анализа (Четвертое изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 49.