Остаток на бесконечности - Residue at infinity

В комплексный анализ, раздел математики, остаток на бесконечности это остаток из голоморфная функция на кольцо имеющий бесконечный внешний радиус. В бесконечность ${ displaystyle infty}$ это точка, добавленная к локальному пространству ${ displaystyle mathbb {C}}$ чтобы сделать это компактный (в данном случае это одноточечная компактификация ). Это место отмечено ${ displaystyle { hat { mathbb {C}}}}$ является изоморфный к Сфера Римана.^[1] Можно использовать остаток на бесконечности, чтобы вычислить некоторые интегралы.

Определение

Для голоморфной функции ж на кольцо ${ Displaystyle А (0, R, infty)}$ (с центром в 0, с внутренним радиусом ${ displaystyle R}$ и бесконечный внешний радиус), остаток на бесконечности функции ж можно определить в терминах обычного остаток следующее:

${ displaystyle operatorname {Res} (f, infty) = - operatorname {Res} left ({1 over z ^ {2}} f left ({1 over z} right), 0 верно)}$

Таким образом, можно перенести изучение ${ displaystyle f (z)}$ в бесконечности к изучению ${ displaystyle f (1 / z)}$ в происхождении.

Обратите внимание, что ${ displaystyle forall r> R}$, у нас есть

${ displaystyle operatorname {Res} (f, infty) = {- 1 over 2 pi i} int _ {C (0, r)} f (z) , dz}$

Мотивация

Сначала можно было догадаться, что определение остатка f (z) на бесконечности должен быть просто остаток f (1 / z) в г = 0. Однако причина, которую мы рассматриваем вместо -f (1 / z) / z² в том, что не берутся остатки функции, но из дифференциальные формы, т.е. остаток f (z) dz на бесконечности - это остаток f (1 / z) d (1 / z) = - f (1 / z) dz / z² в г = 0.

Смотрите также

• Сфера Римана
• Алгебраическое многообразие
• Теорема об остатке

Рекомендации

• Мюррей Р. Шпигель, Комплексы переменных, Шаум, ISBN  2-7042-0020-3
• Анри Картан, Теория элементов аналитических функций и комплексов переменных, Герман, 1961
• Марк Дж. Абловиц и Атанассиос С. Фокас, Комплексные переменные: введение и приложения (второе издание), 2003 г., ISBN  978-0-521-53429-1, P211-212.