Интегральная теорема Коши - Википедия - Cauchys integral theorem

В математика, то Интегральная теорема Коши (также известный как Теорема Коши – Гурса) в комплексный анализ, названный в честь Огюстен-Луи Коши (и Эдуард Гурса ), является важным утверждением о линейные интегралы за голоморфные функции в комплексная плоскость. По сути, он говорит, что если два разных пути соединяют одни и те же две точки, и функция голоморфный везде между двумя путями, то два интеграла по путям функции будут одинаковыми.

Заявление

Формулировка на просто связанных областях

Позволять ${ Displaystyle U substeq mathbb {C}}$ быть односвязный открыто установить, и пусть ${ displaystyle f: U to mathbb {C}}$ быть голоморфная функция. Позволять ${ displaystyle ! , gamma: [a, b] к U}$ - гладкая замкнутая кривая. Потом:

{ displaystyle int _ { gamma} f (z) , dz = 0.}

(Условие, что ${ displaystyle U}$ быть односвязный Значит это ${ displaystyle U}$ не имеет "дыр" или, другими словами, что фундаментальная группа из ${ displaystyle U}$ тривиально.)

Общая формулировка

Позволять ${ Displaystyle U substeq mathbb {C}}$ быть открытый набор, и разреши ${ displaystyle f: U to mathbb {C}}$ быть голоморфная функция. Позволять ${ displaystyle ! , gamma: [a, b] к U}$ - гладкая замкнутая кривая. Если ${ Displaystyle ! , gamma}$ является гомотопный к постоянной кривой, то:

{ displaystyle int _ { gamma} f (z) , dz = 0.}

(Напомним, что кривая гомотопный к постоянной кривой, если существует гладкая гомотопия от кривой к постоянной кривой. Интуитивно это означает, что можно сжать кривую в точку, не покидая пространства.) Первая версия является частным случаем этого, потому что на односвязный установлена, каждая замкнутая кривая гомотопный к постоянной кривой.

Основной пример

В обоих случаях важно помнить, что кривая ${ displaystyle gamma}$ не окружайте никаких «дыр» в области, иначе теорема не применима. Известный пример - следующая кривая:

{ Displaystyle гамма (т) = е ^ {это} четырехъядерный т в влево [0,2 пи вправо]}

,

который очерчивает единичный круг. Здесь следующий интеграл

{ displaystyle int _ { gamma} { frac {1} {z}} , dz = 2 pi i neq 0}

,

отличен от нуля. Интегральная теорема Коши здесь неприменима, поскольку ${ Displaystyle f (z) = 1 / z}$ не определен в ${ displaystyle z = 0}$ . Интуитивно ${ displaystyle gamma}$ окружает «дыру» в области ${ displaystyle f}$ , так ${ displaystyle gamma}$ нельзя уменьшить до точки, не покидая пространства. Таким образом, теорема неприменима.

Обсуждение

В качестве Эдуард Гурса Как показал, интегральная теорема Коши может быть доказана только при условии, что комплексная производная ж′(z) существует везде в U. Это важно, потому что тогда можно доказать Интегральная формула Коши для этих функций, и из этого вывести эти функции бесконечно дифференцируемый.

Условие, что U быть односвязный Значит это U не имеет "дыр" или, в гомотопия условия, что фундаментальная группа из U тривиально; например, каждый открытый диск ${ Displaystyle U_ {z_ {0}} = {z: | z-z_ {0} | <г }}$ , за ${ displaystyle z_ {0} in mathbb {C}}$ , квалифицируется. Состояние критическое; учитывать

{ Displaystyle гамма (т) = е ^ {это} четырехъядерный т в влево [0,2 пи вправо]}

который очерчивает единичную окружность, а затем интеграл по путям

{ displaystyle oint _ { gamma} { frac {1} {z}} , dz = int _ {0} ^ {2 pi} { frac {1} {e ^ {it}}} (т.е. ^ {it} , dt) = int _ {0} ^ {2 pi} i , dt = 2 pi i}

не равно нулю; интегральная теорема Коши здесь неприменима, поскольку ${ Displaystyle f (z) = 1 / z}$ не определен (и, конечно, не голоморфен) в ${ displaystyle z = 0}$ .

Одним из важных следствий теоремы является то, что интегралы по путям голоморфных функций на односвязных областях могут быть вычислены способом, известным из основная теорема исчисления: позволять U быть односвязный открытое подмножество из C, позволять ж : U → C - голоморфная функция, и пусть γ - кусочно непрерывно дифференцируемый путь в U с начальной точкой а и конечная точка б. Если F это сложный первообразный из ж, тогда

{ Displaystyle int _ { gamma} f (z) , dz = F (b) -F (a).}

Интегральная теорема Коши верна при более слабой гипотезе, чем приведенная выше, например данный U, односвязное открытое подмножество C, мы можем ослабить предположения до ж быть голоморфным на U и продолжаю ${ displaystyle textstyle { overline {U}}}$ и ${ displaystyle gamma}$ исправляемая простая петля в ${ displaystyle textstyle { overline {U}}}$ .^[1]

Интегральная теорема Коши приводит к Интегральная формула Коши и теорема о вычетах.

Доказательство

Если предположить, что частные производные голоморфной функции непрерывны, интегральная теорема Коши может быть доказана как прямое следствие Теорема Грина и тот факт, что реальная и мнимая части ${ displaystyle f = u + iv}$ должен удовлетворить Уравнения Коши – Римана в области, ограниченной ${ displaystyle gamma}$ , и тем более в открытом районе U этого региона. Коши предоставил это доказательство, но позже оно было доказано Гурса, не требуя техники векторного исчисления или непрерывности частных производных.

Мы можем разбить подынтегральное выражение ${ displaystyle f}$ , а также дифференциал ${ displaystyle dz}$ на их реальную и мнимую составляющие:

{ displaystyle displaystyle f = u + iv}

{ displaystyle displaystyle dz = dx + i , dy}

В этом случае мы имеем

{ Displaystyle oint _ { gamma} е (z) , dz = oint _ { gamma} (u + iv) (dx + i , dy) = oint _ { gamma} (u , dx-v , dy) + i oint _ { gamma} (v , dx + u , dy)}

К Теорема Грина, тогда мы можем заменить интегралы вокруг замкнутого контура ${ displaystyle gamma}$ с интегралом площадей во всей области ${ displaystyle D}$ что заключено в ${ displaystyle gamma}$ следующее:

{ displaystyle oint _ { gamma} (u , dx-v , dy) = iint _ {D} left (- { frac { partial v} { partial x}} - { frac { partial u} { partial y}} right) , dx , dy}

{ displaystyle oint _ { gamma} (v , dx + u , dy) = iint _ {D} left ({ frac { partial u} { partial x}} - { frac { partial v} { partial y}} right) , dx , dy}

Но поскольку действительная и мнимая части функции, голоморфной в области ${ displaystyle D}$ , ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle v}$ должен удовлетворить Уравнения Коши – Римана там: