Конформная карта - Conformal map

Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под конформной картой

{ displaystyle f}

(Нижний). Видно, что

{ displaystyle f}

отображает пары линий, пересекающихся под углом 90 °, в пары кривых, все еще пересекающиеся под углом 90 °.

В математика, а конформная карта это функция что локально сохраняет углы, но не обязательно длины.

Более формально, пусть ${ displaystyle U}$ и ${ displaystyle V}$ быть открытыми подмножествами ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ . Функция ${ displaystyle f: U to V}$ называется конформный (или же сохраняющий угол) в точке ${ displaystyle u_ {0} in U}$ если он сохраняет углы между направленными кривые через ${ displaystyle u_ {0}}$ , а также сохранение ориентации. Конформные карты сохраняют как углы, так и форму бесконечно малых фигур, но не обязательно их размер или кривизна.

Конформное свойство можно описать в терминах Якобиан производная матрица преобразование координат. Преобразование конформно, если якобиан в каждой точке является положительным скаляром, умноженным на a матрица вращения (ортогональный с определителем). Некоторые авторы определяют конформность, чтобы включить отображения с изменением ориентации, якобианы которых могут быть записаны как любое скалярное произведение, умноженное на любую ортогональную матрицу.^[1]

Для двумерных отображений конформные отображения (сохраняющие ориентацию) в точности являются локально обратимыми. комплексный аналитический функции. В трех и более измерениях, Теорема Лиувилля резко ограничивает конформные отображения несколькими типами.

Понятие конформности естественным образом обобщается на отображения между Риманов или же полуримановы многообразия.

Конформные карты в двух измерениях

Если ${ displaystyle U}$ является открытое подмножество комплексной плоскости ${ displaystyle mathbb {C}}$ , затем функция ${ displaystyle f: U to mathbb {C}}$ конформно если и только если это голоморфный и это производная везде отличен от нуля на ${ displaystyle U}$ . Если ${ displaystyle f}$ является антиголоморфный (сопрягать к голоморфной функции), он сохраняет углы, но меняет их ориентацию.

В литературе есть другое определение конформности: отображение ${ displaystyle f}$ которая взаимно однозначна и голоморфна на открытом множестве на плоскости. Теорема об открытом отображении вынуждает обратную функцию (определенную на образе ${ displaystyle f}$ ) быть голоморфным. Таким образом, по этому определению отображение конформно если и только если он биголоморфен. Два определения конформных отображений не эквивалентны. Взаимно однозначность и голоморфность подразумевают наличие ненулевой производной. Однако экспоненциальная функция является голоморфной функцией с ненулевой производной, но не взаимно однозначна, поскольку является периодической.^[2]

В Теорема римана отображения, один из важных результатов комплексный анализ, заявляет, что любое непустое открытое односвязный собственное подмножество ${ displaystyle mathbb {C}}$ признает биективный конформная карта к открытому единичный диск в ${ displaystyle mathbb {C}}$ .

Глобальные конформные отображения на сфере Римана

Карта Сфера Римана на сам по себе конформен тогда и только тогда, когда он Преобразование Мёбиуса.

Комплексное сопряжение преобразования Мёбиуса сохраняет углы, но меняет ориентацию. Например, инверсия круга.

Конформные карты в трех или более измерениях

Риманова геометрия

В Риманова геометрия, два Римановы метрики ${ displaystyle g}$ и ${ displaystyle h}$ на гладком многообразии ${ displaystyle M}$ называются конформно эквивалентный если ${ displaystyle g = uh}$ для некоторой положительной функции ${ displaystyle u}$ на ${ displaystyle M}$ . Функция ${ displaystyle u}$ называется конформный фактор.

А диффеоморфизм между двумя римановыми многообразиями называется конформная карта если возвращенная метрика конформно эквивалентна исходной. Например, стереографическая проекция из сфера на самолет дополнен точка в бесконечности является конформным отображением.

Также можно определить конформная структура на гладком многообразии как класс конформно эквивалентных Римановы метрики.

Евклидово пространство

А классическая теорема из Джозеф Лиувиль показывает, что в более высоких измерениях конформных карт гораздо меньше, чем в двух измерениях. Любая конформная карта на участке Евклидово пространство размерности три или больше можно составить из трех типов преобразований: гомотетия, изометрия, а специальное конформное преобразование.

Приложения

Картография

В картография, несколько названных картографические проекции, в том числе Проекция Меркатора и стереографическая проекция конформны. Они обладают тем свойством, что искажение форм можно сделать настолько маленьким, насколько желательно, сделав диаметр отображаемой области достаточно малым.

Физика и инженерия

Конформные отображения неоценимы для решения инженерных и физических задач, которые могут быть выражены в терминах функций комплексной переменной, но демонстрируют неудобную геометрию. Выбрав подходящее отображение, аналитик может превратить неудобную геометрию в гораздо более удобную. Например, можно рассчитать электрическое поле, ${ displaystyle E (z)}$ , возникающий от точечного заряда, расположенного вблизи угла двух проводящих плоскостей, разделенных определенным углом (где ${ displaystyle z}$ - комплексная координата точки в 2-м пространстве). Эта проблема как таковой в закрытом виде решать довольно коряво. Однако, используя очень простое конформное отображение, неудобный угол отображается на один из точных ${ displaystyle pi}$ радианы, что означает, что угол двух плоскостей преобразуется в прямую линию. В этой новой области довольно легко решить задачу (задача расчета электрического поля, создаваемого точечным зарядом, расположенным возле проводящей стенки). Решение получено в этой области, ${ Displaystyle E (ш)}$ , а затем сопоставлен с исходным доменом, отметив, что ${ displaystyle w}$ была получена как функция (а именно., то сочинение из ${ displaystyle E}$ и ${ displaystyle w}$ ) из ${ displaystyle z}$ откуда ${ Displaystyle E (ш)}$ можно рассматривать как ${ Displaystyle Е (вес (г))}$ , который является функцией ${ displaystyle z}$ , исходный координатный базис. Обратите внимание, что это приложение не противоречит тому факту, что конформные отображения сохраняют углы, они делают это только для точек внутри своей области, а не на границе. Другой пример - применение техники конформного отображения для решения краевая задача из плескание жидкости в танках.^[3]

Если функция гармонический (то есть удовлетворяет Уравнение Лапласа ${ displaystyle nabla ^ {2} f = 0}$ ) над плоской областью (которая является двумерной) и преобразуется через конформное отображение в другую плоскую область, преобразование также является гармоническим. По этой причине любая функция, которая определяется потенциал могут быть преобразованы конформным отображением и по-прежнему управляться потенциалом. Примеры в физика уравнений, определяемых потенциалом, включают электромагнитное поле, то гравитационное поле, И в динамика жидкостей, потенциальный поток, что является приближением к потоку жидкости в предположении постоянного плотность, нуль вязкость, и безвихревой поток. Одним из примеров гидродинамического применения конформной карты является Преобразование Жуковского.

Для дискретных систем Keyvan^[4] представили способ преобразования дискретных систем корневой локус в непрерывный корневой локус через хорошо известное конформное отображение в геометрии (также известное как инверсионное отображение ).

Уравнения Максвелла

Большая группа конформных отображений для связывания решений Уравнения Максвелла был идентифицирован Эбенезер Каннингем (1908) и Гарри Бейтман (1910). Их обучение в Кембриджском университете дало им возможность с метод оплаты имиджа и связанные с ними методы изображения сфер и инверсии. Как рассказывает Эндрю Уорвик (2003) Мастера теории:^[5]

Каждое четырехмерное решение может быть обращено в четырехмерную гиперсферу псевдорадиуса

{ displaystyle K}

чтобы создать новое решение.

Уорвик выделяет эту «новую теорему относительности» как кембриджский ответ Эйнштейну, основанный на упражнениях с использованием метода инверсии, таких как Джинсы Джеймса Хопвуда учебник Математическая теория электричества и магнетизма.

Общая теория относительности

В общая теория относительности, конформные отображения - самый простой и, следовательно, наиболее распространенный тип причинных преобразований. Физически они описывают разные вселенные, в которых все одни и те же события и взаимодействия все еще (причинно) возможны, но для этого необходима новая дополнительная сила (т. Е. Повторение всех тех же траекторий потребует отклонения от геодезический движение, потому что метрический тензор отличается). Его часто используют, чтобы попытаться сделать модели поддающимися расширению за пределы особенности кривизны, например, чтобы позволить описание вселенной еще до Большой взрыв.

Псевдориманова геометрия

В дифференциальной геометрии отображение конформно когда углы сохранены. Когда угол связан с метрикой, достаточно, чтобы отображение привело к метрике, которая пропорциональна исходной, как выражено выше для римановой геометрии или в случае конформное многообразие с типом метрический тензор используется в общая теория относительности. Элементарное рассмотрение поверхность отображение и линейная алгебра потенциально выявляют три типа углов: круговой угол, гиперболический угол, и склон:

Предполагать ${ displaystyle f: U rightarrow mathbb {C}}$ отображение поверхностей, параметризованное ${ Displaystyle (х, у)}$ и ${ Displaystyle (и, v)}$ . В Матрица якобиана из ${ displaystyle f}$ состоит из четырех частные производные из ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle v}$ относительно ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ .

Если якобиан ${ displaystyle g}$ имеет ненулевой детерминант, тогда ${ displaystyle f}$ является конформный по отношению к одному из трех типов углов, в зависимости от вещественная матрица выраженный якобианом ${ displaystyle g}$ .

Действительно, любой такой ${ displaystyle g}$ лежит в особом планарный коммутативный подкольцо, и ${ displaystyle g}$ имеет полярное разложение определяется параметрами радиального и углового характера. Радиальный параметр соответствует отображение сходства и может быть принят за 1 для целей конформной экспертизы. Угловой параметр ${ displaystyle g}$ бывает одного из трех типов: наклонный, гиперболический или круговой:

Когда подкольцо изоморфно двойной номер самолет, тогда ${ displaystyle g}$ действует как картирование сдвига и сохраняет двойной угол.
Когда подкольцо изоморфно расщепленное комплексное число самолет, тогда ${ displaystyle g}$ действует как сжатие и сохраняет гиперболический угол.
Когда подкольцо изоморфно обычному комплексное число самолет, тогда ${ displaystyle g}$ действует как вращение и сохраняет круговой угол.

При описании аналитических функции двумерной переменной, У. Бенчивенга и Дж. Фокс написали о конформных отображениях, сохраняющих гиперболический угол. В целом дробно-линейное преобразование на любом из перечисленных типов комплексной плоскости обеспечивает конформное отображение.

Смотрите также

Теорема Каратеодори - Конформная карта непрерывно продолжается до границы
Диаграмма Пенроуза
Отображение Шварца – Кристоффеля - конформное преобразование верхней полуплоскости внутрь простого многоугольника
Специальная линейная группа - преобразования, сохраняющие объем (в отличие от углов) и ориентацию

дальнейшее чтение

Альфорс, Ларс В. (1973), Конформные инварианты: разделы геометрической теории функций, Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., МИСТЕР 0357743
Константин Каратеодори (1932) Конформное представление, Кембриджские трактаты по математике и физике
Шансон, Х. (2009), Прикладная гидродинамика: введение в идеальные и реальные потоки жидкости, CRC Press, Taylor & Francis Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц, ISBN 978-0-415-49271-3
Черчилль, Руэль В. (1974), Комплексные переменные и приложения, Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-010855-4
E.P. Долженко (2001) [1994], «Конформное отображение», Энциклопедия математики, EMS Press
Рудин, Вальтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, МИСТЕР 0924157
Вайсштейн, Эрик В. «Конформное отображение». MathWorld.

внешняя ссылка

Интерактивная визуализация множества конформных карт
Конформные карты Майкл Тротт, Вольфрам Демонстрационный проект.
Конформное отображение изображений текущего потока в различной геометрии без магнитного поля и с магнитным полем Герхарда Брунталера.
Конформное преобразование: от круга к квадрату.
Графический редактор конформных карт онлайн.
Joukowski Transform Interactive WebApp
Конформное отображение, нарисованное М. К. Эшер

[1] Блэр, Дэвид (2000-08-17). Теория инверсии и конформное отображение. Студенческая математическая библиотека. 9. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. Дои:10.1090 / stml / 009. ISBN 978-0-8218-2636-2. S2CID 118752074.

[2] Ричард М. Тимони (2004), Теорема римана отображения из Тринити-колледж, Дублин

[3] Колаи, Амир; Ракхеджа, Субхаш; Ричард, Марк Дж. (2014-01-06). «Область применимости линейной теории выплескивания жидкости для прогнозирования переходного бокового выплескивания и устойчивости автоцистерн к качению». Журнал звука и вибрации. 333 (1): 263–282. Bibcode:2014JSV ... 333..263K. Дои:10.1016 / j.jsv.2013.09.002.

[4] Нури, Кейван (2020). "Псевдо S-plane Отображение корневого годографа Z-плоскости". Asme Imece2020. Дои:10.1115 / IMECE2020-23096 (неактивно 2020-09-03).CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на сентябрь 2020 г. (связь)

[5] Уорвик, Эндрю (2003). Магистр теории: Кембридж и подъем математической физики. Издательство Чикагского университета. стр.404–424. ISBN 978-0226873756.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]