Картирование сдвига - Википедия - Shear mapping

Горизонтальный сдвиг плоскости с коэффициентом м = 1,25, что иллюстрируется его влиянием (зеленым цветом) на прямоугольную сетку и некоторые цифры (синим цветом). Черная точка - это начало.

В плоская геометрия, а картирование сдвига это линейная карта который смещает каждую точку в фиксированном направлении на величину, пропорциональную ее подписанное расстояние от линия то есть параллельно в этом направлении и проходит через начало координат.^[1] Этот тип сопоставления также называется трансформация сдвига, трансвекция, или просто стрижка.

Примером может служить отображение, которое берет любую точку с координаты ${ Displaystyle (х, у)}$ к точке ${ Displaystyle (х + 2у, у)}$. В этом случае смещение горизонтальное, фиксированная линия - это ${ displaystyle x}$-оси, а расстояние со знаком - это ${ displaystyle y}$ координировать. Обратите внимание, что точки на противоположных сторонах опорной линии смещаются в противоположных направлениях.

Карты сдвига не следует путать с вращения. Применение карты сдвига к набору точек плоскости изменит все углы между ними (кроме прямые углы ), а длина любого отрезок это не параллельно направлению смещения. Поэтому он обычно искажает форму геометрической фигуры, например, превращает квадраты в неквадратные. параллелограммы, и круги в эллипсы. Однако стрижка сохраняет площадь геометрических фигур и выравнивания и относительных расстояний коллинеарен точки. Картирование сдвига - основное различие между вертикальным и наклонный (или курсивный) стили буквы.

В динамика жидкостей карта сдвига изображает поток жидкости между параллельными пластинами в относительном движении.

Такое же определение используется в трехмерная геометрия, за исключением того, что расстояние измеряется от фиксированной плоскости. Трехмерное преобразование сдвига сохраняет объем твердых фигур, но изменяет площади плоских фигур (кроме тех, которые параллельны смещению). Это преобразование используется для описания ламинарный поток жидкости между пластинами, одна движется в плоскости выше и параллельно первой.

В общем ${ displaystyle n}$-размерный Декартово пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$, расстояние отсчитывается от фиксированного гиперплоскость параллельно направлению смещения. Это геометрическое преобразование линейное преобразование из ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ что сохраняет ${ displaystyle n}$-размерный мера (гиперобъем) любого набора.

Определение

Горизонтальный и вертикальный сдвиг плоскости

Через картирование сдвига закодированный в SVG,
а прямоугольник становится параллелограмм.

В плоскости ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2} = mathbb {R} times mathbb {R}}$, а горизонтальный сдвиг (или же сдвиг параллельно к Икс ось) - это функция, которая принимает общую точку с координатами ${ Displaystyle (х, у)}$ к точке ${ Displaystyle (х + мой, у)}$; куда ${ displaystyle m}$ фиксированный параметр, называемый коэффициент сдвига.

Эффект этого сопоставления заключается в смещении каждой точки по горизонтали на величину, пропорциональную ее ${ displaystyle y}$ координировать. Любая точка над ${ displaystyle x}$- ось смещена вправо (увеличивая ${ displaystyle x}$) если ${ displaystyle m> 0}$, и влево, если ${ displaystyle m <0}$. Точки под ${ displaystyle x}$-оси движутся в противоположном направлении, а точки на оси остаются неподвижными.

Прямые линии, параллельные ${ displaystyle x}$-оси остаются на месте, в то время как все остальные линии поворачиваются на различные углы относительно точки, в которой они пересекают ${ displaystyle x}$-ось. Вертикальные линии, в частности, становятся косой линии с склон ${ displaystyle 1 / m}$. Следовательно, коэффициент сдвига ${ displaystyle m}$ это котангенс угла ${ displaystyle varphi}$ по которому наклоняются вертикальные линии, называемые угол сдвига.

Если координаты точки записаны как вектор-столбец (2 × 1 матрица ) сдвиговое отображение можно записать как умножение по Матрица 2 × 2:

${ displaystyle { begin {pmatrix} x ^ { prime} y ^ { prime} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} x + my y end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & m 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} x y end {pmatrix}}.}$

А вертикальный сдвиг (или сдвиг параллельно ${ displaystyle y}$-axis) линий аналогична, за исключением того, что роли ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ поменяны местами. Это соответствует умножению координатного вектора на транспонированная матрица:

${ displaystyle { begin {pmatrix} x ^ { prime} y ^ { prime} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} x mx + y end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 m & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} x y end {pmatrix}}.}$

Вертикальный сдвиг смещает точки справа от ${ displaystyle y}$ось вверх или вниз, в зависимости от знака ${ displaystyle m}$. Он оставляет вертикальные линии неизменными, но наклоняет все остальные линии относительно точки, где они встречаются с ${ displaystyle y}$-ось. В частности, горизонтальные линии наклоняются под углом сдвига. ${ displaystyle varphi}$ стать линиями с наклоном ${ displaystyle m}$.

Общие карты сдвига

Для векторное пространство V и подпространство W, фиксатор сдвига W переводит все векторы в направлении, параллельном W.

Точнее, если V это прямая сумма из W и W ′, и мы запишем векторы как

v = ш + w ′

соответственно, типичная фиксация сдвига W является L куда

L(v) = (Mw + Mw ′) = (ш + Mw ′)

куда M является линейным отображением из W ′ в W. Поэтому в блочная матрица термины L можно представить как

${ displaystyle { begin {pmatrix} I&M 0 & I end {pmatrix}}}$

Приложения

Следующие применения карты сдвига были отмечены Уильям Кингдон Клиффорд:

«Последовательность ножниц позволит нам свести любую фигуру, ограниченную прямыми линиями, к треугольнику равной площади».

«... мы можем разрезать любой треугольник на прямоугольный, и это не изменит его площади. Таким образом, площадь любого треугольника равна половине площади прямоугольника на том же основании и с высотой, равной перпендикуляру на основание с противоположного угла ".^[2]

Свойство сохранения площади при отображении сдвига можно использовать для результатов, касающихся площади. Например, теорема Пифагора был проиллюстрирован с помощью карты сдвига^[3] а также связанные теорема о среднем геометрическом.

Алгоритм благодаря Алан В. Пэт использует последовательность из трех сопоставлений сдвига (горизонтальное, вертикальное, затем снова горизонтальное) для поворота цифровое изображение на произвольный угол. Алгоритм очень прост в реализации и очень эффективен, так как каждый шаг обрабатывает только один столбец или одну строку пиксели вовремя.^[4]

В типография, нормальный текст, преобразованный с помощью преобразования сдвига, приводит к косой тип.

В доэйнштейновской Галилея относительность, преобразования между системы отсчета карты сдвига называются Галилеевы преобразования. Их также иногда можно увидеть при описании движущихся опорных кадров относительно «предпочтительного» кадра, иногда называемого абсолютное время и пространство.

Смотрите также

• Матрица сдвига
• Матрица трансформации

Рекомендации