Двойной номер - Dual number

В линейная алгебра, то двойные числа продлить действительные числа присоединяя один новый элемент $ε$ (эпсилон) со свойством $ε 2 = 0$ ( $ε$ является нильпотентный ). Таким образом, умножение двойственных чисел дается выражением

{ Displaystyle (a + b varepsilon) (c + d varepsilon) = ac + (ad + bc) varepsilon}

(а добавление производится покомпонентно).

Набор двойных чисел образует особую двумернуюразмерный коммутативный единый ассоциативная алгебра над реальными числами. Каждое двойное число имеет вид $z = а + bε$ где $а$ и $б$ однозначно определенные действительные числа. Двойные числа также можно рассматривать как внешняя алгебра одномерного векторного пространства; общий случай $п$ размеры приводят к Числа Грассмана.

В алгебра двойных чисел - это кольцо это местное кольцо так как главный идеал Сгенерированно с помощью $ε$ это единственный максимальный идеал. Двойные числа образуют коэффициенты из двойные кватернионы.

Словно сложные числа и разделенные комплексные числа двойственные числа образуют алгебра которая является двумерной над полем действительных чисел.

История

Двойные числа были введены в 1873 г. Уильям Клиффорд, и использовались в начале двадцатого века немецким математиком Эдуард Этюд, который использовал их для представления двойного угла, который измеряет относительное положение двух наклонных линий в пространстве. Исследование определило двойной угол как $ϑ + dε$ , где $ϑ$ угол между направлениями двух линий в трехмерном пространстве и $d$ расстояние между ними. В $п$ -мерное обобщение, Число Грассмана, был представлен Герман Грассманн в конце 19 века.

Линейное представление

С помощью матрицы, двойные числа могут быть представлены как

{ displaystyle varepsilon = { begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}} quad { text {and}} quad a + b varepsilon = { begin {pmatrix} a & b 0 & a конец {pmatrix}}.}

Альтернативное представление, обозначенное как ${ textstyle { hat { varepsilon}} _ {-}}$ ^[1] (с первым, отмеченным также как ${ textstyle { hat { varepsilon}} _ {+}}$ ):

{ displaystyle { hat { varepsilon}} _ {-} = { begin {pmatrix} 0 & 0 1 & 0 end {pmatrix}} = { hat { varepsilon}} _ {+} ^ { operatorname { T}} quad { text {and}} quad a + b { hat { varepsilon}} _ {-} = { begin {pmatrix} a & 0 b & a end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} a & b 0 & a end {pmatrix}} ^ { operatorname {T}}.}

Затем сумма и произведение двойных чисел вычисляются с помощью обычного матрица сложения и матричное умножение; обе операции коммутативны и ассоциативны в алгебре двойственных чисел.

Это соответствие аналогично обычному матричное представление комплексных чисел.Однако это не единственное представление с 2 × 2 вещественные матрицы, как показано на профиль вещественных матриц 2 × 2.

Геометрия

«Единичный круг» двойных чисел состоит из чисел с $а = \pm1$ поскольку они удовлетворяют $zz * = 1$ где $z * = а - bε$ . Однако обратите внимание, что

{ displaystyle e ^ {b varepsilon} = left ( sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { left (b varepsilon right) ^ {n}} {n!}} right) = 1 + b varepsilon,}

так что экспоненциальная карта применяется к $ε$ - ось покрывает только половину «круга».

Позволять $z = а + bε$ . Если $а \neq 0$ и $м = б / а$ , тогда $z = а (1 + mε)$ это полярное разложение двойного числа $z$ , а наклон $м$ это его угловая часть. Концепция вращение в плоскости двойственных чисел эквивалентен вертикали картирование сдвига поскольку $(1 + pε)(1 + qε) = 1 + (п + q) ε$ .

В абсолютное пространство и время то Преобразование Галилея

{ displaystyle left (t ', x' right) = (t, x) { begin {pmatrix} 1 & v 0 & 1 end {pmatrix}} ,,}

это

{ displaystyle t '= t, quad x' = vt + x,}

связывает систему координат покоя с движущейся системой отсчета скорость $v$ . С двойными числами $т + xε$ представляющий События вдоль одного измерения пространства и времени то же преобразование производится с умножением на $1 + vε$ .

Циклы

Учитывая два двойных числа $п$ и $q$ , они определяют набор $z$ такая, что разница в наклонах («угол Галилея») между линиями от $z$ к $п$ и $q$ постоянно. Этот набор представляет собой цикл в двузначной плоскости; поскольку уравнение, устанавливающее постоянную разницу в наклонах линий, является квадратное уровненеие в реальной части $z$ , цикл - это парабола. «Циклическое вращение» двойной числовой плоскости происходит как движение его проективная линия. Согласно с Исаак Яглом,^[2]^:92–93 цикл $Z = {z : у = αx 2}$ инвариантна относительно композиции сдвига

{ displaystyle x_ {1} = x, quad y_ {1} = vx + y}

с перевод

{ displaystyle x '= x_ {1} = { frac {v} {2a}}, quad y' = y_ {1} + { frac {v ^ {2}} {4a}}.}

Эта композиция представляет собой циклическое вращение; концепция получила дальнейшее развитие в Kisil.^[3]

Алгебраические свойства

В абстрактная алгебра термины, двойные числа можно описать как частное из кольцо многочленов $ℝ [Икс]$ посредством идеальный генерируется многочлен $Икс 2$ ,

{ displaystyle mathbb {R} [X] / left (X ^ {2} right).}

Образ $Икс$ в частном $ε$ . Из этого описания ясно, что двойственные числа образуют коммутативное кольцо с участием характеристика 0. Унаследованное умножение придает двойственным числам структуру коммутатора и ассоциативная алгебра над реалами второго измерения. Алгебра не а алгебра с делением или поле поскольку элементы формы $0 + bε$ не обратимы. Все элементы этой формы делители нуля (также см. раздел "Деление "). Алгебра двойственных чисел изоморфна внешняя алгебра из $ℝ 1$ .

Обобщение

Такую конструкцию можно провести и в более общем плане: для коммутативное кольцо $р$ можно определить двойственные числа над $р$ как частное из кольцо многочленов $р [Икс]$ посредством идеальный $(Икс 2)$ : изображение $Икс$ тогда имеет квадрат равный нулю и соответствует элементу $ε$ сверху.

Двойственные числа над произвольным кольцом

Это кольцо и его обобщения играют важную роль в алгебраической теории производные и Дифференциалы Kähler (чисто алгебраический дифференциальные формы ). А именно, касательное расслоение схемы над аффинной базой $р$ можно отождествить с точками $Икс (р [ε])$ . Например, рассмотрим аффинную схему

{ displaystyle X = operatorname {Spec} (S) = operatorname {Spec} left ({ frac { mathbb {C} [x, y]} {(xy)}} right) in ({ operatorname {Sch}} / mathbb {C}) _ { text {Zar}}}

Напомним, что карты $Spec (ℂ [ε]) \to Икс$ эквивалентны картам $S \to ℂ [ε]$ . Затем каждая карта $φ$ можно определить как отправку генераторов

{ displaystyle { begin {align} varphi (x) & = x_ {0} + x_ {1} varepsilon varphi (y) & = y_ {0} + y_ {1} varepsilon end { выровнено}}}

где отношение

{ displaystyle { begin {align} varphi (xy) & = varphi (x) varphi (y) & = (x_ {0} + x_ {1} varepsilon) (y_ {0} + y_ {1} varepsilon) & = x_ {0} y_ {0} + (x_ {0} y_ {1} + x_ {1} y_ {0}) varepsilon & = 0 end {выровнено} }}

держит. Это дает нам представление о $TX$ так как

{ displaystyle TX = { text {Spec}} left ({ frac { mathbb {C} [x_ {0}, y_ {0}, x_ {1}, y_ {1}]} {(x_ { 0} y_ {0}, x_ {0} y_ {1} + x_ {1} y_ {0})}} right)}

Явные касательные векторы

Например, касательный вектор в точке ${ Displaystyle (х, у) в Х}$ можно найти, ограничив

${ displaystyle TX | _ {(x, y)} = { text {Spec}} left ({ frac { mathbb {C} [x_ {0}, y_ {0}, x_ {1}, y_ {1}]} {(x_ {0} y_ {0}, x_ {0} y_ {1} + x_ {1} y_ {0}, x_ {0} -x, y_ {0} -y)}} правильно)}$

и взяв точку в волокне. Например, над началом координат ${ displaystyle (0,0)}$ , это дается схемой

${ displaystyle { begin {align} TX | _ {(0,0)} & cong { text {Spec}} left ({ frac { mathbb {C} [x_ {0}, y_ {0 }, x_ {1}, y_ {1}]} {(x_ {0} y_ {0}, x_ {0} y_ {1} + x_ {1} y_ {0}, x_ {0}, y_ {0 })}} right) & cong { text {Spec}} left ({ frac { mathbb {C} [x_ {1}, y_ {1}]} {(0 cdot y_ { 1} + x_ {1} cdot 0)}} right) & cong { text {Spec}} ( mathbb {C} [x_ {1}, y_ {1}]) end {выровнено }}}$

и касательный вектор ${ displaystyle x: { text {Spec}} ( mathbb {C} [ varepsilon]) to X}$ задается морфизмом колец ${ displaystyle x ^ {*}}$ отправка

${ displaystyle { begin {align} x & mapsto 0+ varepsilon x_ {1} y & mapsto 0+ varepsilon y_ {1} end {выравнивается}}}$

В точке ${ displaystyle (а, 0)}$ касательное пространство

${ displaystyle { begin {align} TX | _ {(a, 0)} & cong { text {Spec}} left ({ frac { mathbb {C} [x_ {0}, y_ {0 }, x_ {1}, y_ {1}]} {(x_ {0} y_ {0}, x_ {0} y_ {1} + x_ {1} y_ {0}, x_ {0} -a, y_ {0})}} right) & cong { text {Spec}} left ({ frac { mathbb {C} [x_ {1}, y_ {1}]} {(a cdot y_ {1})}} right) & cong { text {Spec}} ( mathbb {C} [x_ {1}]) end {align}}}$

следовательно, касательный вектор ${ displaystyle x: { text {Spec}} ( mathbb {C} [ varepsilon]) to X}$ задается морфизмом колец ${ displaystyle x ^ {*}}$ отправка

${ Displaystyle { begin {выровнено} x & mapsto a + varepsilon x_ {1} y & mapsto 0 end {выровнено}}}$

чего и следовало ожидать. Обратите внимание, что это дает только один свободный параметр, по сравнению с последним вычислением, показывая, что касательное пространство имеет только размерность один, как и ожидалось, поскольку это гладкая точка размерности один.

Над любым кольцом $р$ , двойное число $а + bε$ это единица измерения (т.е. мультипликативно обратимый) тогда и только тогда, когда $а$ единица в $р$ . В этом случае обратное $а + bε$ является $а -1 - ба -2 ε$ . Как следствие, мы видим, что двойственные числа над любыми поле (или любой коммутативный местное кольцо ) образуют локальное кольцо с максимальным идеалом главный идеал Сгенерированно с помощью $ε$ .

Более узкое обобщение - введение $п$ антикоммутирующие генераторы; эти Числа Грассмана или сверхчисла, обсуждается ниже.

Двойные числа с произвольными коэффициентами

Существует более общая конструкция двойственных чисел с более общими бесконечно малыми коэффициентами. Учитывая кольцо ${ displaystyle R}$ и модуль ${ displaystyle I}$ , есть кольцо ${ displaystyle R [I]}$ называется кольцом двойственных чисел, которое имеет следующие структуры:

Он имеет основную ${ displaystyle R}$ -модуль ${ Displaystyle R oplus I}$
Структура алгебры задается умножением колец ${ Displaystyle (г, я) cdot (г ', я') = (р-р ', ри' + р'и)}$ для ${ displaystyle r, r ' in R}$ и ${ displaystyle i, i ' in I}$

Это обобщило предыдущую конструкцию, где ${ Displaystyle I = R}$ дает кольцо ${ Displaystyle R [R]}$ который имеет ту же структуру умножения, что и ${ Displaystyle R [ varepsilon]}$ поскольку любой элемент ${ displaystyle f + varepsilon g}$ это просто сумма двух элементов в ${ displaystyle R}$ , но второй индексируется в другой позиции.

Двойное количество шкивов

Если у нас есть топологическое пространство ${ displaystyle X}$ со связкой колец ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ и пачка ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ -модули ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ , есть связка колец ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {X} [{ mathcal {I}}]}$ чьи разделы над открытым набором ${ Displaystyle U подмножество X}$ находятся ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (U) [{ mathcal {I}} (U)]}$ . Это очевидным образом обобщается на окольцованных топоев в Теория топоса.

Двойные числа на схеме

Схема - частный пример окольцованного пространства. ${ displaystyle (X, { mathcal {O}} _ {X})}$ . Эту же конструкцию можно использовать для построения схемы ${ displaystyle X [{ mathcal {I}}]}$ базовое топологическое пространство которого задается формулой ${ displaystyle X}$ но чей пучок колец ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {X} [{ mathcal {I}}]}$ .

Суперпространство

Двойные числа находят применение в физика, где они представляют собой один из простейших нетривиальных примеров суперпространство. Эквивалентно, они сверхчисла всего с одним генератором; сверхчисла обобщают концепцию на $п$ отдельные генераторы $ε$ , каждый антикоммутирующий, возможно, $п$ до бесконечности. Суперпространство слегка обобщает сверхчисла, допуская несколько коммутирующих измерений.

Мотивация введения двойственных чисел в физику следует из Принцип исключения Паули для фермионов. Направление по $ε$ называется «фермионным» направлением, а реальная составляющая - «бозонным» направлением. Фермионное направление получило свое название от того факта, что фермионы подчиняться принципу исключения Паули: при обмене координатами квантово-механическая волновая функция меняет знак и, таким образом, обращается в нуль, если две координаты сближаются; эта физическая идея фиксируется алгебраическим соотношением $ε 2 = 0$ .

Дифференциация

Одно применение двойных чисел автоматическая дифференциация. Рассмотрим действительные двойные числа выше. Для любого действительного полинома $п (Икс) = п 0 + п 1 Икс + п 2 Икс 2 + ... + п п Икс п$ , легко расширить область определения этого многочлена с вещественных до двойственных чисел. Тогда у нас есть такой результат:

{ displaystyle { begin {align} P (a + b varepsilon) = {} & p_ {0} + p_ {1} (a + b varepsilon) + cdots + p_ {n} (a + b varepsilon ) ^ {n} [5pt] = {} & p_ {0} + p_ {1} a + p_ {2} a ^ {2} + cdots + p_ {n} a ^ {n} + p_ {1 } b varepsilon + 2p_ {2} ab varepsilon + cdots + np_ {n} a ^ {n-1} b varepsilon [5pt] = {} & P (a) + bP ^ { prime} ( а) varepsilon, end {align}}}

где $п'$ является производной от $п$ .^[4]

Вычисляя двойные числа, а не действительные числа, мы можем использовать это для вычисления производных многочленов.

В более общем смысле, мы можем расширить любую (аналитическую) действительную функцию на двойственные числа, посмотрев на ее Серия Тейлор:

{ displaystyle f (a + b varepsilon) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {f ^ {(n)} (a) b ^ {n} varepsilon ^ {n} } {n!}} = f (a) + bf '(a) varepsilon,}

так как все условия привлечения $ε 2$ или больше тривиально равны 0 по определению $ε$ .

Вычисляя композиции этих функций по двойственным числам и исследуя коэффициент при $ε$ в результате мы обнаруживаем, что автоматически вычислили производную композиции.

Аналогичный метод работает для многочленов от $п$ переменных, используя внешнюю алгебру $п$ -мерное векторное пространство.

Деление

Деление двойных чисел определяется, когда действительная часть знаменателя отлична от нуля. Процесс деления аналогичен сложное деление в том, что знаменатель умножается на его сопряжение, чтобы исключить нереальные части.

Следовательно, разделив уравнение вида

{ displaystyle { frac {a + b varepsilon} {c + d varepsilon}}}

умножаем верх и низ на сопряжение знаменателя:

{ displaystyle { begin {align} { frac {a + b varepsilon} {c + d varepsilon}} & = { frac {(a + b varepsilon) (cd varepsilon)} {(c + d varepsilon) (cd varepsilon)}} [5pt] & = { frac {ac-ad varepsilon + bc varepsilon -bd varepsilon ^ {2}} {c ^ {2} + cd varepsilon -cd varepsilon -d ^ {2} varepsilon ^ {2}}} [5pt] & = { frac {ac-ad varepsilon + bc varepsilon -0} {c ^ {2} -0} } [5pt] & = { frac {ac + varepsilon (bc-ad)} {c ^ {2}}} [5pt] & = { frac {a} {c}} + { frac {bc-ad} {c ^ {2}}} varepsilon end {выровнено}}}

который определяется когда $c$ ненулевой.

Если же, с другой стороны, $c$ равно нулю, а $d$ нет, то уравнение

{ displaystyle {a + b varepsilon = (x + y varepsilon) d varepsilon} = {xd varepsilon +0}}

не имеет решения, если $а$ ненулевой
иначе решается любым двойственным числом вида $б / d + yε$ .

Это означает, что нереальная часть «частного» является произвольной, и поэтому деление не определено для чисто нереальных двойственных чисел. Действительно, они (тривиально) делители нуля и четко сформировать идеальный ассоциативного алгебра (и поэтому кольцо ) двойственных чисел.

Проективная линия

Идею проективной прямой над двойственными числами выдвинул Грюнвальд.^[5] и Коррадо Сегре.^[6]

Так же, как Сфера Римана нужен северный полюс точка в бесконечности закрыть сложная проективная линия, так что линия на бесконечности удается закрыть плоскость двойных чисел до цилиндр.^[2]^:149–153

Предположим $D$ кольцо двойных чисел $Икс + yε$ и $U$ это подмножество с $Икс \neq 0$ . потом $U$ это группа единиц из $D$ . Позволять $B = {(а, б) \in D \times D : а \in U или б \in U}$ . А связь определяется на B следующим образом: $(а, б) ~ (c, d)$ когда есть $ты$ в $U$ такой, что $ua = c$ и $уб = d$ . Это отношение фактически отношение эквивалентности. Точки проективной прямой над $D$ находятся классы эквивалентности в $B$ в этом отношении: $п (D) = B /~$ . Они представлены проективные координаты $[а, б]$ .

Рассмотрим встраивание $D \to п (D)$ от $z \to [z, 1]$ . Тогда очки $[1, п]$ , для $п 2 = 0$ , находятся в $п (D)$ но не являются изображением какой-либо точки под вложением. $п (D)$ отображается на цилиндр от проекция: Проведите цилиндр, касательный к плоскости с двойными числами на прямой ${yε : у \in ℝ}$ , $ε 2 = 0$ . Теперь возьмите противоположную линию на цилиндре за ось карандаш самолетов. Плоскости, пересекающие плоскость с двойными числами и цилиндр, обеспечивают соответствие точек между этими поверхностями. Плоскость, параллельная плоскости двойных чисел, соответствует точкам $[1, п]$ , $п 2 = 0$ в проективной прямой над двойственными числами.

Приложения в механике

Двойные числа находят применение в механика, особенно для кинематического синтеза. Например, двойные числа позволяют преобразовать уравнения ввода / вывода сферической связи с четырьмя стержнями, которая включает только ротоидальные соединения, в пространственный механизм с четырьмя стержнями (ротоид, ротоид, ротоид, цилиндр). Дуализированные углы состоят из примитивной части, углов и двойной части, имеющей единицы длины.^[7]

Смотрите также

использованная литература

^ Dattoli, G .; Licciardi, S .; Pidatella, R.M .; Сабия, Э. (июль 2018 г.). «Гибридные комплексные числа: матричная версия». Успехи в прикладных алгебрах Клиффорда. 28 (3): 58. Дои:10.1007 / s00006-018-0870-у. ISSN 0188-7009.
^ ^а ^б Яглом, И. М. (1979). Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа. Springer. ISBN 0-387-90332-1. Г-Н 0520230.
^ Кисиль, В. В. (2007). «Изобретая колесо, параболическое». arXiv:0707.4024 [математика ].
^ Берляндия, Гавард. «Автоматическое дифференцирование» (PDF). Получено 13 мая 2013.
^ Грюнвальд, Йозеф (1906). "Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie". Monatshefte für Mathematik. 17: 81–136.
^ Сегре, Коррадо (1912). "XL. Le geometrie proiettive nei campi di numeri duali". Опере. Также в Атти делла Реале Accademia della Scienze di Torino 47.
^ Анхелес, Хорхе (1998), Анхелес, Хорхе; Захариев, Евтим (ред.), "Применение двойственной алгебры к кинематическому анализу", Вычислительные методы в механических системах: анализ механизмов, синтез и оптимизация, Серия НАТО ASI, Springer Berlin Heidelberg, стр. 3–32, Дои:10.1007/978-3-662-03729-4_1, ISBN 9783662037294

дальнейшее чтение

Бенчивенга, Ульдерико (1946). "Sulla rappresentazione geometrya delle algebre doppie dotate di modulo". Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli. 3. 2 (7). Г-Н 0021123.
Клиффорд, Уильям Кингдон (1873 г.). «Предварительный набросок би-кватернионов». Труды Лондонского математического общества. 4: 381–395.
Харкин, Энтони А .; Харкин, Джозеф Б. (2004). «Геометрия обобщенных комплексных чисел» (PDF). Математический журнал. 77 (2): 118–129.
Миллер, Уильям; Бенинг, Рошель (1968). «Гауссовы, параболические и гиперболические числа». Учитель математики. 61 (4): 377–382.
Этюд, Эдуард (1903). Geometrie der Dynamen. п. 196. От Историко-математические монографии Корнелла в Корнелл Университет.
Яглом, Исаак (1968). Комплексные числа в геометрии. Академическая пресса. п.12 –18.
""Высшее «касательное пространство». math.stackexchange.com.

[1] Dattoli, G .; Licciardi, S .; Pidatella, R.M .; Сабия, Э. (июль 2018 г.). «Гибридные комплексные числа: матричная версия». Успехи в прикладных алгебрах Клиффорда. 28 (3): 58. Дои:10.1007 / s00006-018-0870-у. ISSN 0188-7009.

[yaglom-2] а ^б Яглом, И. М. (1979). Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа. Springer. ISBN 0-387-90332-1. Г-Н 0520230.

[3] Кисиль, В. В. (2007). «Изобретая колесо, параболическое». arXiv:0707.4024 [математика ].

[4] Берляндия, Гавард. «Автоматическое дифференцирование» (PDF). Получено 13 мая 2013.

[5] Грюнвальд, Йозеф (1906). "Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie". Monatshefte für Mathematik. 17: 81–136.

[6] Сегре, Коррадо (1912). "XL. Le geometrie proiettive nei campi di numeri duali". Опере. Также в Атти делла Реале Accademia della Scienze di Torino 47.

[7] Анхелес, Хорхе (1998), Анхелес, Хорхе; Захариев, Евтим (ред.), "Применение двойственной алгебры к кинематическому анализу", Вычислительные методы в механических системах: анализ механизмов, синтез и оптимизация, Серия НАТО ASI, Springer Berlin Heidelberg, стр. 3–32, Дои:10.1007/978-3-662-03729-4_1, ISBN 9783662037294

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Число системы
Счетные множества	Натуральные числа ( ${ Displaystyle mathbb {N}}$ ) Целые числа ( ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ ) Рациональное число ( ${ displaystyle mathbb {Q}}$ ) Конструируемые числа Алгебраические числа ( ${ displaystyle mathbb {A}}$ ) Периоды Вычислимые числа Определимые действительные числа Арифметические числа Гауссовские целые числа
Композиционные алгебры	Алгебры с делением: Действительные числа ( ${ Displaystyle mathbb {R}}$ ) Сложные числа ( ${ Displaystyle mathbb {C}}$ ) Кватернионы ( ${ displaystyle mathbb {H}}$ ) Октонионы ( ${ displaystyle mathbb {O}}$ )
Трещина типы	над ${ Displaystyle mathbb {R}}$ : Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит-октонионы над ${ Displaystyle mathbb {C}}$ : Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные числа Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионы ( ${ Displaystyle mathbb {S}}$ ) Сплит-бикватернионы Мультикомплексные номера Геометрическая алгебра Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени
Другие типы	Количественные числительные Иррациональные числа Нечеткие числа Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Сюрреалистические числа Трансцендентные числа Порядковые номера п-адический числа (п-адический соленоиды ) Сверхъестественные числа Сверхреальные числа
Классификация Список

Бесконечно малые
История	Адекватность Обозначения Лейбница Интегральный символ Критика нестандартного анализа Аналитик Метод механических теорем Принцип Кавальери Метод неделимых
Связанные отрасли	Нестандартный анализ Нестандартное исчисление Теория внутреннего множества Синтетическая дифференциальная геометрия Гладкий анализ бесконечно малых Конструктивный нестандартный анализ Теория бесконечно малых деформаций (физика)
Формализации	Дифференциалы Гиперреальные числа Двойные числа Сюрреалистические числа
Индивидуальные концепции	Стандартная функция детали Принцип передачи Hyperinteger Теорема об увеличении Монада Внутренний набор Поле Леви-Чивита Сверхконечное множество Закон непрерывности Переполнение Микропрерывность Трансцендентальный закон однородности
Математики	Готфрид Вильгельм Лейбниц Авраам Робинсон Пьер де Ферма Огюстен-Луи Коши Леонард Эйлер
Учебники	Анализируйте des Infiniment Petits Элементарное исчисление Cours d'Analyse