Гладкий анализ бесконечно малых - Википедия - Smooth infinitesimal analysis

Гладкий анализ бесконечно малых это современная переформулировка исчисление с точки зрения бесконечно малые. На основе идей Ф. В. Лавер и используя методы теория категорий, он просматривает все функции как быть непрерывный и не может быть выражена в терминах дискретный сущности. Теоретически это подмножество синтетическая дифференциальная геометрия.

В Nilsquare или же нильпотентный бесконечно малые числа ε куда ε² = 0 верно, но ε = 0 не обязательно одновременно быть истинным.

Обзор

Этот подход отходит от классической логики, используемой в традиционной математике, отрицая закон исключенного среднего, например, НЕТ (а ≠ б) не подразумевает а = б. В частности, в теории гладкого инфинитезимального анализа можно доказать для всех бесконечно малых ε, НЕТ (ε ≠ 0); тем не менее, доказуемо неверно, что все бесконечно малые равны нулю.[1] Можно видеть, что закон исключенного третьего не может выполняться из следующей основной теоремы (опять же, понимаемой в контексте теории гладкого инфинитезимального анализа):

Каждая функция, чья домен является р, то действительные числа, непрерывна и бесконечно дифференцируемый.

Несмотря на это, можно попытаться определить разрывную функцию ж(Икс), указав, что ж(Икс) = 1 для Икс = 0 и ж(Икс) = 0 для Икс 0. Если бы соблюдался закон исключенного третьего, то это была бы полностью определенная прерывистая функция. Однако есть много Икс, а именно бесконечно малые, такие, что ни Икс = 0 ни Икс 0, поэтому функция не определена на действительных числах.

В типичном модели гладкого инфинитезимального анализа бесконечно малые не обратимы, и поэтому теория не содержит бесконечных чисел. Однако есть также модели, которые включают обратимые бесконечно малые.

Существуют и другие математические системы, которые включают бесконечно малые величины, в том числе нестандартный анализ и сюрреалистические числа. Гладкий инфинитезимальный анализ похож на нестандартный анализ в том, что (1) он предназначен для использования в качестве основы для анализ и (2) бесконечно малые величины не имеют конкретных размеров (в отличие от случайных величин, в которых типичная бесконечно малая величина равна 1 / ω, где ω - порядковый номер фон Неймана ). Однако гладкий анализ бесконечно малых отличается от нестандартного анализа тем, что в нем используется неклассическая логика и отсутствует принцип передачи. Некоторые теоремы стандартного и нестандартного анализа неверны в гладком инфинитезимальном анализе, в том числе теорема о промежуточном значении и Парадокс Банаха – Тарского. Заявления в нестандартный анализ можно перевести в утверждения о пределы, но то же самое не всегда верно в гладком анализе бесконечно малых.

Интуитивно гладкий анализ бесконечно малых можно интерпретировать как описание мира, в котором линии состоят из бесконечно малых отрезков, а не из точек. Эти сегменты можно считать достаточно длинными, чтобы иметь определенное направление, но недостаточно длинными, чтобы их можно было изогнуть. Построение разрывных функций не удается, потому что функция отождествляется с кривой, а кривую нельзя построить поточечно. Мы можем представить себе провал теоремы о промежуточном значении как результат способности бесконечно малого отрезка пересекать линию. Точно так же парадокс Банаха – Тарского не работает, потому что объем не может быть разбит на точки.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Белл, Джон Л. (2008). Учебник по анализу бесконечно малых, 2-е издание. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521887182.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка