Предел (математика) - Limit (mathematics)

В математика, а предел это значение, которое функция (или последовательность ) "приближается", когда ввод (или индекс) "приближается" к некоторым ценность.^[1] Ограничения важны для исчисление и математический анализ, и используются для определения непрерывность, производные, и интегралы.

Концепция предел последовательности далее обобщается на понятие предела топологическая сеть, и тесно связан с предел и прямой предел в теория категорий.

В формулах предел функции обычно записывается как

{ Displaystyle lim _ {х к с} е (х) = L,}

и читается как "предел $ж$ из $Икс$ так как $Икс$ подходы $c$ равно $L$ ". Тот факт, что функция $ж$ приближается к пределу $L$ так как $Икс$ подходы $c$ иногда обозначается стрелкой вправо (→), например:

{ Displaystyle е (х) к L { текст {as}} от х к с}

который гласит " ${ displaystyle f (x)}$ как правило ${ displaystyle L}$ так как ${ displaystyle x}$ как правило ${ displaystyle c}$ ".^[2]

Предел функции

Всякий раз, когда точка

Икс

находится на расстоянии

δ

из

c

, Значение

ж (Икс)

находится на расстоянии

ε

из

L

.

Для всех

Икс > S

, Значение

ж (Икс)

находится на расстоянии

ε

из

L

.

Предположим $ж$ это функция с действительным знаком и $c$ это настоящий номер. Интуитивно говоря, выражение

{ Displaystyle lim _ {х к с} е (х) = L}

Значит это $ж (Икс)$ можно сделать как можно ближе к $L$ по желанию, сделав $Икс$ достаточно близко к $c$ .^[3] В этом случае приведенное выше уравнение можно интерпретировать как «предел $ж$ из $Икс$ , так как $Икс$ подходы $c$ , является $L$ ".

Огюстен-Луи Коши в 1821 г.,^[4] с последующим Карл Вейерштрасс, формализовали определение предела функции, которая стала известна как (ε, δ) -определение предела. В определении используется $ε$ (строчная греческая буква эпсилон)^[2] для представления любого небольшого положительного числа, так что " $ж (Икс)$ становится произвольно близким к $L$ " Значит это $ж (Икс)$ в конечном итоге лежит в интервале $(L - ε, L + ε)$ , который также можно записать со знаком абсолютного значения как $| ж (Икс) - L | <ε$ .^[4] Фраза "как $Икс$ подходы $c$ "означает, что мы ссылаемся на значения $Икс$ , расстояние от которого $c$ меньше положительного числа $δ$ (строчная греческая буква дельта) - то есть значения $Икс$ в любом $(c - δ, c)$ или $(c, c + δ)$ , который можно выразить с помощью $0 < | Икс - c | <δ$ . Первое неравенство означает, что расстояние между $Икс$ и $c$ больше, чем $0$ и это $Икс \neq c$ , а второй указывает, что $Икс$ находится на расстоянии $δ$ из $c$ .^[4]

Приведенное выше определение предела верно, даже если $ж (c) \neq L$ . Действительно, функция $ж$ не нужно даже определять в $c$ .

Например, если

{ Displaystyle f (x) = { гидроразрыва {x ^ {2} -1} {x-1}}}

тогда $ж (1)$ не определено (см. неопределенные формы ), но как $Икс$ движется произвольно близко к 1, $ж (Икс)$ соответственно приближается к 2:^[5]

ж(0.9)	ж(0.99)	ж(0.999)	ж(1.0)	ж(1.001)	ж(1.01)	ж(1.1)
1.900	1.990	1.999	неопределенный	2.001	2.010	2.100

Таким образом, $ж (Икс)$ можно сделать сколь угодно близким к пределу 2 - просто сделав $Икс$ достаточно близко к $1$ .

Другими словами, ${ displaystyle lim _ {x to 1} { frac {x ^ {2} -1} {x-1}} = 2}$ .

Это также можно вычислить алгебраически, как ${ displaystyle { frac {x ^ {2} -1} {x-1}} = { frac {(x + 1) (x-1)} {x-1}} = x + 1}$ для всех действительных чисел $Икс \neq 1$ .

Теперь, поскольку $Икс + 1$ непрерывно в $Икс$ на 1, теперь мы можем подключить 1 для $Икс$ , что приводит к уравнению ${ displaystyle lim _ {x to 1} { frac {x ^ {2} -1} {x-1}} = 1 + 1 = 2}$ .

Помимо пределов при конечных значениях, функции также могут иметь пределы на бесконечности. Например, рассмотрим функцию

{ Displaystyle е (х) = {2х-1 над х}}

где:

ж(100) = 1.9900
ж(1000) = 1.9990
ж(10000) = 1.9999

Так как $Икс$ становится чрезвычайно большим, значение $ж (Икс)$ приближается к 2, а значение $ж (Икс)$ можно сделать как можно ближе к 2, сделав $Икс$ достаточно большой. Так что в этом случае предел $ж (Икс)$ так как $Икс$ приближается к бесконечности - 2, или в математической записи

{ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {2x-1} {x}} = 2.}

Предел последовательности

Рассмотрим следующую последовательность: 1.79, 1.799, 1.7999, ... Можно заметить, что числа «приближаются» к 1.8, пределу последовательности.

Формально предположим $а 1, а 2, ...$ это последовательность из действительные числа. Можно констатировать, что реальное число $L$ это предел этой последовательности, а именно:

{ displaystyle lim _ {n to infty} a_ {n} = L}

который читается как

"Предел а_п так как п приближается к бесконечности равно L"

если и только если

Для каждого настоящий номер

ε> 0

, существует натуральное число

N

такой, что для всех

п > N

, у нас есть

| а п - L | <ε

.^[6]

Интуитивно это означает, что в конечном итоге все элементы последовательности сколь угодно близки к пределу, поскольку абсолютная величина $| а п - L |$ это расстояние между $а п$ и $L$ . Не у каждой последовательности есть предел; если да, то это называется сходящийся, а если нет, то это расходящийся. Можно показать, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Предел последовательности и предел функции тесно связаны. С одной стороны, предел при $п$ приближается к бесконечности последовательности ${а п}$ просто предел на бесконечности функции $а (п)$ - определено на натуральные числа ${п}$ . С другой стороны, если $Икс$ является областью определения функции $ж (Икс)$ и если предел как $п$ приближается к бесконечности $ж (Икс п)$ является $L$ для каждый произвольная последовательность точек ${Икс п}$ в ${Икс - {Икс 0}}$ который сходится к $Икс 0$ , то предел функции $ж (Икс)$ так как $Икс$ подходы $Икс 0$ является $L$ .^[7] Одна такая последовательность была бы ${Икс 0 + 1/ п}$ .

Ограничение как «стандартная часть»

В нестандартный анализ (который включает гиперреальный расширение системы счисления), предел последовательности ${ Displaystyle (а_ {п})}$ можно выразить как стандартная часть ценности ${ displaystyle a_ {H}}$ естественного продолжения последовательности на бесконечном сверхъестественный показатель п = H. Таким образом,

{ displaystyle lim _ {n to infty} a_ {n} = operatorname {st} (a_ {H})}

.

Здесь стандартная функция части "st" округляет каждое конечное гиперреалистическое число до ближайшего действительного числа (разница между ними равна бесконечно малый ). Это формализует естественное интуитивное предположение, что для «очень больших» значений индекса члены последовательности «очень близки» к предельному значению последовательности. И наоборот, стандартная часть гиперреального ${ displaystyle a = [a_ {n}]}$ представленный в ультрастепенной конструкции последовательностью Коши ${ Displaystyle (а_ {п})}$ , это просто предел этой последовательности:

{ displaystyle operatorname {st} (a) = lim _ {n to infty} a_ {n}}

.

В этом смысле переход к пределу и переход к стандартной части эквивалентны процедурам.

Сходимость и фиксированная точка

Формальное определение сходимости можно сформулировать следующим образом. ${ displaystyle {{p} _ {n}}}$ так как ${ displaystyle n}$ идет от ${ displaystyle 0}$ к ${ displaystyle infty}$ - последовательность, сходящаяся к ${ displaystyle p}$ , с участием ${ displaystyle {p} _ {n} neq p}$ для всех ${ displaystyle n}$ . Если положительные константы ${ displaystyle lambda}$ и ${ displaystyle alpha}$ существовать с

{ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} { frac { left | {p} _ {n + 1} -p right |} {{ left | {p} _ {n} -p справа |} ^ { alpha}}} = lambda}

тогда ${ displaystyle {{p} _ {n}}}$ так как ${ displaystyle n}$ идет от ${ displaystyle 0}$ к ${ displaystyle infty}$ сходится к ${ displaystyle p}$ порядка ${ displaystyle alpha}$ , с константой асимптотической ошибки ${ displaystyle lambda}$ .

Учитывая функцию ${ displaystyle f}$ с фиксированной точкой ${ displaystyle p}$ , есть хороший контрольный список для проверки сходимости последовательности ${ displaystyle p_ {n}}$ .

1) Сначала проверьте, что p действительно является фиксированной точкой:

{ Displaystyle f (p) = p}

2) Проверить линейную сходимость. Начни с поиска

{ Displaystyle влево | е ^ { простое} (р) вправо |}

. Если....

${ Displaystyle влево \| е ^ { простое} (р) вправо \| в (0,1)}$	то есть линейная сходимость
${ Displaystyle влево \| е ^ { простое} (р) вправо \|> 1}$	серия расходится
${ Displaystyle влево \| е ^ { простое} (р) вправо \| = 0}$	то есть хотя бы линейная сходимость а может что-то получше, выражение надо проверить на квадратичную сходимость

3) Если обнаруживается, что есть что-то лучше линейного, выражение следует проверить на квадратичную сходимость. Начни с поиска

{ Displaystyle влево | е ^ { простое простое} (р) право |}

Если....

${ Displaystyle влево \| е ^ { простое простое} (р) право \| neq 0}$	то имеет место квадратичная сходимость при условии, что ${ Displaystyle е ^ { прайм прайм} (р)}$ непрерывно
${ Displaystyle влево \| е ^ { простое простое} (р) право \| = 0}$	тогда есть что-то даже лучше, чем квадратичная сходимость
${ Displaystyle влево \| е ^ { простое простое} (р) право \|}$ не существует	то есть сходимость лучше, чем линейная, но все же не квадратичная

^[8]

Вычислимость предела

Пределы бывает сложно вычислить. Существуют предельные выражения, для которых модуль сходимости является неразрешимый. В теория рекурсии, то предельная лемма доказывает, что с помощью ограничений можно закодировать неразрешимые проблемы.^[9]

Смотрите также

Асимптотический анализ: метод описания ограничивающего поведения
- Обозначение Big O: используется для описания ограничивающего поведения функции, когда аргумент стремится к определенному значению или бесконечности
Предел Банаха определенная на банаховом пространстве ${ displaystyle ell ^ { infty}}$ что расширяет обычные пределы.
Последовательность Коши
- Полное метрическое пространство
Сходимость случайных величин
Сходящаяся матрица
Предел в теории категорий
- Прямой лимит
- Обратный предел
Предел функции
- Односторонний предел: любой из двух пределов функций действительной переменной Икс, так как Икс приближается к точке сверху или снизу
- Список лимитов: список ограничений для общих функций
- Теорема сжатия: находит предел функции путем сравнения с двумя другими функциями
Предельная точка
Ограничение установлено
Ограничьте высшее и ограничьте низшее
Режимы схождения
- An аннотированный указатель
Скорость сходимости: скорость, с которой сходящаяся последовательность приближается к своему пределу

Заметки

^ Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансцендентальные теории (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 978-0-495-01166-8.
^ ^а ^б «Список математических и аналитических символов». Математическое хранилище. 2020-05-11. Получено 2020-08-18.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Определение Эпсилон-Дельта». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-18.
^ ^а ^б ^c Ларсон, Рон; Эдвардс, Брюс Х. (2010). Исчисление одной переменной (Девятое изд.). Брукс / Коул, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2.
^ «предел | Определение, пример и факты». Энциклопедия Британника. Получено 2020-08-18.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Предел». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-18.
^ Апостол (1974 г., стр. 75–76).
^ Численный анализ, 8-е издание, Бремя и дела, Раздел 2.4 Анализ ошибок для итерационных методов
^ Рекурсивно перечислимые множества и степени, Соаре, Роберт И.

использованная литература

Апостол, Том М. (1974), Математический анализ (2-е изд.), Менло-Парк: Эддисон-Уэсли, LCCN 72011473

внешние ссылки

Математические слова: Предел

[1] Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансцендентальные теории (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 978-0-495-01166-8.

[:0-2] а ^б «Список математических и аналитических символов». Математическое хранилище. 2020-05-11. Получено 2020-08-18.

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Определение Эпсилон-Дельта». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-18.

[Larson-4] а ^б ^c Ларсон, Рон; Эдвардс, Брюс Х. (2010). Исчисление одной переменной (Девятое изд.). Брукс / Коул, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2.

[5] «предел | Определение, пример и факты». Энциклопедия Британника. Получено 2020-08-18.

[6] Вайсштейн, Эрик В. «Предел». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-18.

[7] Апостол (1974 г., стр. 75–76).

[8] Численный анализ, 8-е издание, Бремя и дела, Раздел 2.4 Анализ ошибок для итерационных методов

[9] Рекурсивно перечислимые множества и степени, Соаре, Роберт И.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]