Сходящаяся матрица - Convergent matrix
В числовая линейная алгебра, а сходящаяся матрица матрица, сходящаяся к нулевая матрица под матричное возведение в степень.
Задний план
Когда последовательные степени матрица Т становятся маленькими (то есть, когда все записи Т приближаются к нулю, при повышении Т в последовательные степени) матрица Т сходится к нулевой матрице. А регулярное расщепление из неособый матрица А приводит к сходящейся матрице Т. Полусходящееся разбиение матрицы А приводит к полусходящейся матрице Т. Генерал итерационный метод сходится для каждого начального вектора, если Т сходится, и при определенных условиях, если Т полусходится.
Определение
Мы называем п × п матрица Т а сходящаяся матрица если
(1)
для каждого я = 1, 2, ..., п и j = 1, 2, ..., п.[1][2][3]
пример
Позволять
Вычисление последовательных степеней Т, мы получаем
и в целом
поскольку
и
Т - сходящаяся матрица. Обратите внимание, что ρ(Т) = 1/4, где ρ(Т) представляет собой спектральный радиус из Т, поскольку 1/4 единственный собственное значение из Т.
Характеристики
Позволять Т быть п × п матрица. Следующие свойства эквивалентны Т являясь сходящейся матрицей:
Итерационные методы
Генерал итерационный метод включает в себя процесс, который преобразует система линейных уравнений
(2)
в эквивалентную систему вида
(3)
для какой-то матрицы Т и вектор c. После начального вектора Икс(0) выбирается последовательность приближенных векторов решения, генерируемая путем вычисления
(4)
для каждого k ≥ 0.[8][9] Для любого начального вектора Икс(0) ∈ , последовательность определяется (4), для каждого k ≥ 0 и c ≠ 0, сходится к единственному решению уравнения (3) если и только если ρ(Т) <1, т. Е. Т - сходящаяся матрица.[10][11]
Регулярное расщепление
А расщепление матрицы - выражение, представляющее данную матрицу как сумму или разность матриц. В системе линейных уравнений (2) выше, с А невырожденная, матрица А можно разделить, то есть записать как разность
(5)
так что (2) можно переписать как (4) над. Выражение (5) это регулярное расщепление A если и только если B−1 ≥ 0 и C ≥ 0, это, B−1 и C есть только неотрицательные записи. Если расщепление (5) - регулярное расщепление матрицы А и А−1 ≥ 0, тогда ρ(Т) <1 и Т - сходящаяся матрица. Следовательно, метод (4) сходится.[12][13]
Полусходящаяся матрица
Мы называем п × п матрица Т а полусходящаяся матрица если предел
(6)
существуют.[14] Если А возможно единственное число, но (2) непротиворечиво, т. е. б находится в диапазоне А, то последовательность, определяемая формулой (4) сходится к решению (2) для каждого Икс(0) ∈ если и только если Т полусходится. В этом случае расщепление (5) называется полусходящееся расщепление из А.[15]
Смотрите также
- Метод Гаусса – Зейделя
- Метод Якоби
- Список матриц
- Нильпотентная матрица
- Последовательное чрезмерное расслабление
Заметки
- ^ Бремя и ярмарки (1993, п. 404)
- ^ Исааксон и Келлер (1994, п. 14)
- ^ Варга (1962 г., п. 13)
- ^ Бремя и ярмарки (1993, п. 404)
- ^ Исааксон и Келлер (1994, стр. 14,63)
- ^ Варга (1960 г., п. 122)
- ^ Варга (1962 г., п. 13)
- ^ Бремя и ярмарки (1993, п. 406)
- ^ Варга (1962 г., п. 61)
- ^ Бремя и ярмарки (1993, п. 412)
- ^ Исааксон и Келлер (1994, стр. 62–63).
- ^ Варга (1960 г., стр. 122–123).
- ^ Варга (1962 г., п. 89)
- ^ Мейер и Племмонс (1977), п. 699)
- ^ Мейер и Племмонс (1977, п. 700)
использованная литература
- Бэрден, Ричард Л .; Фэрс, Дж. Дуглас (1993), Численный анализ (5-е изд.), Бостон: Принл, Вебер и Шмидт, ISBN 0-534-93219-3.
- Исааксон, Юджин; Келлер, Герберт Бишоп (1994), Анализ численных методов., Нью-Йорк: Дувр, ISBN 0-486-68029-0.
- Карл Д. Мейер младший; Р. Дж. Племмонс (сентябрь 1977 г.). «Сходящиеся степени матрицы с приложениями к итерационным методам для сингулярных линейных систем». Журнал SIAM по численному анализу. 14 (4): 699–705. Дои:10.1137/0714047.
- Варга, Ричард С. (1960). «Факторизация и нормализованные итерационные методы». В Лангере, Рудольф Э. (ред.). Краевые задачи в дифференциальных уравнениях.. Мэдисон: University of Wisconsin Press. С. 121–142. LCCN 60-60003.
- Варга, Ричард С. (1962), Матричный итерационный анализ, Нью-Джерси: Прентис-Холл, LCCN 62-21277.