Сходящаяся матрица - Convergent matrix

В числовая линейная алгебра, а сходящаяся матрица матрица, сходящаяся к нулевая матрица под матричное возведение в степень.

Задний план

Когда последовательные степени матрица Т становятся маленькими (то есть, когда все записи Т приближаются к нулю, при повышении Т в последовательные степени) матрица Т сходится к нулевой матрице. А регулярное расщепление из неособый матрица А приводит к сходящейся матрице Т. Полусходящееся разбиение матрицы А приводит к полусходящейся матрице Т. Генерал итерационный метод сходится для каждого начального вектора, если Т сходится, и при определенных условиях, если Т полусходится.

Определение

Мы называем п × п матрица Т а сходящаяся матрица если

 

 

 

 

(1)

для каждого я = 1, 2, ..., п и j = 1, 2, ..., п.[1][2][3]

пример

Позволять

Вычисление последовательных степеней Т, мы получаем

и в целом

поскольку

и

Т - сходящаяся матрица. Обратите внимание, что ρ(Т) = 1/4, где ρ(Т) представляет собой спектральный радиус из Т, поскольку 1/4 единственный собственное значение из Т.

Характеристики

Позволять Т быть п × п матрица. Следующие свойства эквивалентны Т являясь сходящейся матрицей:

  1. за некую естественную норму;
  2. по всем естественным нормам;
  3. ;
  4. для каждого Икс.[4][5][6][7]

Итерационные методы

Генерал итерационный метод включает в себя процесс, который преобразует система линейных уравнений

 

 

 

 

(2)

в эквивалентную систему вида

 

 

 

 

(3)

для какой-то матрицы Т и вектор c. После начального вектора Икс(0) выбирается последовательность приближенных векторов решения, генерируемая путем вычисления

 

 

 

 

(4)

для каждого k ≥ 0.[8][9] Для любого начального вектора Икс(0), последовательность определяется (4), для каждого k ≥ 0 и c ≠ 0, сходится к единственному решению уравнения (3) если и только если ρ(Т) <1, т. Е. Т - сходящаяся матрица.[10][11]

Регулярное расщепление

А расщепление матрицы - выражение, представляющее данную матрицу как сумму или разность матриц. В системе линейных уравнений (2) выше, с А невырожденная, матрица А можно разделить, то есть записать как разность

 

 

 

 

(5)

так что (2) можно переписать как (4) над. Выражение (5) это регулярное расщепление A если и только если B−10 и C0, это, B−1 и C есть только неотрицательные записи. Если расщепление (5) - регулярное расщепление матрицы А и А−10, тогда ρ(Т) <1 и Т - сходящаяся матрица. Следовательно, метод (4) сходится.[12][13]

Полусходящаяся матрица

Мы называем п × п матрица Т а полусходящаяся матрица если предел

 

 

 

 

(6)

существуют.[14] Если А возможно единственное число, но (2) непротиворечиво, т. е. б находится в диапазоне А, то последовательность, определяемая формулой (4) сходится к решению (2) для каждого Икс(0) если и только если Т полусходится. В этом случае расщепление (5) называется полусходящееся расщепление из А.[15]

Смотрите также

Заметки

использованная литература

  • Бэрден, Ричард Л .; Фэрс, Дж. Дуглас (1993), Численный анализ (5-е изд.), Бостон: Принл, Вебер и Шмидт, ISBN  0-534-93219-3.
  • Исааксон, Юджин; Келлер, Герберт Бишоп (1994), Анализ численных методов., Нью-Йорк: Дувр, ISBN  0-486-68029-0.
  • Карл Д. Мейер младший; Р. Дж. Племмонс (сентябрь 1977 г.). «Сходящиеся степени матрицы с приложениями к итерационным методам для сингулярных линейных систем». Журнал SIAM по численному анализу. 14 (4): 699–705. Дои:10.1137/0714047.
  • Варга, Ричард С. (1960). «Факторизация и нормализованные итерационные методы». В Лангере, Рудольф Э. (ред.). Краевые задачи в дифференциальных уравнениях.. Мэдисон: University of Wisconsin Press. С. 121–142. LCCN  60-60003.
  • Варга, Ричард С. (1962), Матричный итерационный анализ, Нью-Джерси: Прентис-Холл, LCCN  62-21277.